§ 6. GRUPY D_nh

Podobnie jak grupy D_nd, grupy D_nh też można zbudować, jeżeli dodać do grup D_n jedną płaszczyznę symetrii σ_h, prostopadłą do osi C_n. Grupy D_nh nie są abelowymi, bo nie abelowymi są grupy wyjściowe D_n. Rozpatrzymy konstrukcje grup D_nh na przykładach.

1.Grupa D_2h. Urządzimy iloczyn kartezjański {E,
,
,
}⊗{E, σ_h} na podstawie iloczynów para za parą (
σ_h), gdzie i = x, y, z.

σ_hf(x,y,z) =
f(x,y,
) = f(
,
,
).

Stad wynika, że
σ_h = i, przy czym:

σ_h = σ_h
,
σ_hf(x,y,z) =
f(x,y,
) = f(x,
,z), co jest równoważnie odbiciu w płaszczyźnie σ^(xz).

σ_h(≡ σ^(xy)) = σ^(xz) и
σ_h = σ_h
.

Wreszcie,
σ_hf(x,y,z) =
f(x,y,
) = f(
,y,z) ≡ σ^(yz)f(x,y,z) = σ_h
f(x,y,z).

Więc, grupa D_2h zawiera trzy prostopadły nawzajem osi rotacji drugiego rzędu, trzy prostopadły nawzajem płaszczyzny odbicia, inwersję i element jednostkowy. To jest grupa abelowa, a dlatego rozkłada się w 8 klas po jednemu elementu w każdym.

2.Grupa D_3h. Dla zbudowania tej grupy wykorzystujemy iloczyn kartezjański grup D₃ i C_s: {E, C₃, C₃²,
,
,
}⊗{E, σ_h}.

Odrębne iloczyny elementów obliczymy graficzne. Dla tego rozpatrzymy przemianę trójkąta w wyniku działania elementów grupy (rys. 2. 6, znak “+” oznacza dodatnie, znak “-” - ujemne składowe.

Rys. 2. 6. Przemiana C₃σ_h.

Z rys. 2. 6 widać, że ta przemiana jest równoważna osi przemiennej S₃, C₃σ_h = S₃, przy czym C₃σ_h = σ_hC₃.

Analogicznie,
σ_h = S₃^-1 = σ_h
.

Z rys. 2. 7 zrozumiale, że przemiany
σ_h są równoważne trzem płaszczyzny symetrii pionowym:
σ_h =
= σ_h
.

Rys. 2. 7. Przemiana
σ_h.

A zatem, grupa D_3h zawiera element E, dwa elementy C₃, dwie osi przemienne S₃, trzy elementy
, trzy płaszczyzny
, jedną płaszczyzną poziomą σ_h i jej rząd jest równy 12. Te elementy są rozdzielone na klasy:

{E}, { C₃,
}, { S₃, S₃^-1}, {σ_h}, {
,
,
}, {
,
,
}.

Grupy rzędu wyższego można łatwo otrzymać analogicznie. Niżej są przytoczono przykłady molekuł o symetrii D_nh.

D_2h:

,
,

D_3h:

.
.

D_4h:

,

(konformacja ekliptyczna)

D_5h:

,

D_6h:
, D_7h:

§ 7. GRUPY S_2n

Cykliczne grupy S_2n składają się z osi przemiennych - rotacji na kąt π/n z następującym odbiciem w płaszczyźnie prostopadłej, - i ich potęgi. Potęgi parzyste elementów
(k ≤ n) są równe
.

Grupa S₂. Ta grupa składa się z elementów E i S₂ = C₂σ_h = σ_hC₂ = i, a dlatego ma często oznaczenie C_i = {E, i}. Jak już wiadomo, wszystkie grupy rzędu 2 są izomorficznymi. Grupa C_i jest izomorficzna, na przykład, grupom C_s = {E, i} i C₂ = {E, C₂}.

Grupa S₄. Elementami tej grupy są E ≡
, S₄,
≡ C₂,
≡
.

Grupa S₆: {E, S₆, C₃ ≡
, i ≡
,
≡
,
}.

Następne molekuły należą do grup symetrii S_2n:

S₂ ≡ C_i
lub

S₄
lub

S₆
lub

§ 8. PUNKTOWE GRUPY SZEŚCIENNE

Punktowe grupy sześcienne to są grupy, zawierające więcej niż jedną oś rotacji rzędu wyżej drugiego. Swoje nazwę oni otrzymali dlatego, że elementy symetrii, tworzące te grupy, wszyscy lub cząstkowo są operacjami symetrii, które łączą sześcian sam z sobą. Do nich należą dwie grupy czworo ścianowe T и T_d, i dwie oktaedryczne - O и O_h. Stosunek czworościanu do sześcianu widać z rys. 2.8.

Rys. 2. 8. Elementy symetrii grup T и T_d.

Grupa T. Grupa ta składa się tylko z rotacji, łączących czworościan sam z sobą. Jak widać z rys. 2. 8, w grupie T mieści się cztery osi C₃ (oni przechodzą przez wierzchołek czworościan i centrum ściany przeciwległej ), cztery osi
, trzy osi C₂ (przechodzą przez środki krawędźy przeciwległych) i element jednostkowy. Rząd grupy T jest równy 12, ona zawiera cztery klasy: {E}, {3C₂}, {4C₃}, {4
}.

Grupa T_d. Grupą T_d można otrzymać przyłączeniem do grupy T przynajmniej jednej płaszczyzny symetrii (rys. 2. 8). Iloczyn kartezjański elementów grup T i C_s daje 24 elementy symetrii, rozdzielone w 5 klas: {E}, {8C₃}, {3C₂}, {6σ_d}, {6S₄}. Grupa T_d jest grupą symetrii każdej molekuły, która ma w wierzchołkach czworościan grupy atomów identycznych.

Grupa O składa się z rotacji, łączących sześcian sam z sobą. Razem ona mieści 24 elementy, rozdzielone w 5 klas: {E}, {3C₂} - rotacji wzdłuż osi, przechodzących przez centrum ścian przeciwległych, {6C₄} - rotacje odnośnie tych samych osi (zawierają C₄ i
), {6C₂} - rotacji odnośnie osi, łączących środki krawędźy przeciwległych, i {8C₃} - rotacje na kąty 2π/3 oraz 4π/3 wzdłuż osi, przechodzące przez wierzchołke sześcianu.

Grupa O_h ≡ O⊗C_i. Grupa ta składa się z 48 elementów, rozdzielonych w 10 klas: {E}, {8C₃}, {6C₂}, {6C₄}, {3C₂'}, {i}, {8S₄}, {8S₆}, {3σ_h}, {6σ_d}. Niektóre z tych elementów można zobaczyć na rys. 2. 9.

Rys. 2. 9. Elementy symetrii grupy O_h.

Przykłady molekuł, mających symetrie T_d i O_h.

T_d

,
,

O_h

,
,

§ 9. PUNKTOWE GRUPY DWUDZIESTOŚCIANOWE

Grupy dwudziestościanowe - I и I_h. Grupa I składa się z 60 rotacji, łączących dwudziestościan sam z sobą (dwudziestościan prawidłowy ze ścianami trójkątnymi) lub dwunastościan (dwunastościan prawidłowy ze ścianami pięciokątnymi) (rys. 2. 10). Dwudziestościan i dwunastościan należą do pięciu doskonałych ciał Platonowskich, do których należą również czworościan, sześcian i oktaedr (ośmiościan).

Rys. 2. 10. Dwunastościan i dwudziestościan.

Grupa I zawiera sześć osi rzędu piątego, dziesięć - trzeciego, 15 - drugiego. Grupą I_h można otrzymać, przyłączając do grupy I inwersje, to znaczy, I_h = I⊗C_i, i zawiera 120 elementów symetrii, rozdzielonych w 10 klas: {E}, {12C₅}, {12
}, {20C₃}, {15C₂}, {i}, {12S₁₀}, {12
}, {20S₃}, {15σ_v}.

Te grupy są rzadko wykorzystane w ręcznikach z teorii grup. Jak zaznaczono w „Kursie fizyki teoretycznej” L. D. Landau i E. M. Lifszica, „te grupy nie mają znaczenia fizycznego, bo nie istnieją w naturze jako grupy symetrii molekuł”. Postęp w strefie chemii borowodorów, a również odkrycie fullerenu С₆₀ dowiedli błędność tej opinii. Na rys. 2. 11 przytoczono przykłady molekuł i jonów, które mają symetrie I_h.

[B₁₂H₁₂]^2-
, fulleren C₆₀

§ 10. GRUPY NIEPRZERWANE

Molekuły liniowe maja oś symetrii rzędu ∞, bo rotacja wzdłuż osi symetrii, zbiegającej z ośą molekuły, na nieskończone mały kąt, łączy molekułę samo z sobą (przy ϕ → 0, n → ∝). Ilość elementów tej grupy jest nieskończoną. Grupa, zawierająca tylko rotacje, zaznacza się jako С_∞. To jest osiowa grupa rotacji. Przyłączenie przynajmniej jednej płaszczyzny σ_v tworzy nieskończoną ilość takich płaszczyzn. Otrzymana w ten sposób grupa zaznacza się С_∞v. Grupa С_∞ jest podgrupą grupy С_∞v.

Przykłady molekuł symetrii С_∞v:

,
,
.

Grupą D_∞h można zbudować przez iloczyn kartezjański grup С_∞ i C_s. Przyłączenie płaszczyzny poziomowej σ_h tworzy inwersję i nieskończoną ilość pionowych płaszczyzn symetrii. Przykłady:

D_∞h:
,
,
.

Rotacje, łączące sferą samą z sobą, tworzą grupę О₃, która ma nazwę grupy wszystkich rotacji przestrzeni trójwymiarowej. Ona zawiera nieskończoną ilość osi С_∞.

Grupa SO(3) - grupa wszystkich rotacji i odbić przestrzeni trójwymiarowej - jest grupą symetrii maksymalnej w przestrzeni trójwymiarowej. Symetrie SO(3) mają wszystkie atomy.

30

---