Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Laboratorium Filtrów Analogowych i Cyfrowych	Dzień tygodnia: Godz:
Wykonał:		Nr ćwiczenia: 4 Temat: Projekt filtru cyfrowego NOI. Metoda przekształcenia biliniowego.
Data wykonania:		Ocena:

1. Założenia projektowe - punkt 1.

- fp = 1 kHz

- fs = 3 kHz

- Ap = 1,5 dB

- As = 60 dB

- ft = 2fs

2. Obliczenia wstępne

Rząd filtru Czebyszewa I rodzaju wyznaczono przy pomocy funkcji cheb1ord(). Otrzymano wynik n=5. Przy pomocy funkcji cheby1() uzyskano współczynniki licznika i mianownika funkcji transmitancji H(s). Przy pomocy funkcji residue() oraz residuez() uzyskano współczynniki licznika i mianownika funkcji transmitancji filtru cyfrowego H_D(z) zaprojektowanego na podstawie prototypu analogowego metodą zachowania charakterystyki impulsowej. Aby pasmo przepustowe filtru cyfrowego powstałego z prototypu analogowego przy pomocy metody biliniowej było zgodne z założeniami, wprowadzono poprawkę na pulsację graniczną:

,

gdzie T oznacza okres próbkowania (1/ft), a ω_p=2·π·fp.

Przy pomocy funkcji bilinear() uzyskano współczynniki licznika i mianownika funkcji transmitancji filtru cyfrowego w oparciu o przekształcenie biliniowe z prototypu analogowego.

3. Charakterystyka amplitudowa, odpowiedź impulsowa, bieguny funkcji transmitancji

Odpowiedź impulsową filtrów cyfrowych otrzymano przy pomocy funkcji impz(), filtru analogowego przy pomocy funkcji impulse(). Należy pamiętać, iż odpowiedź impulsowa filtru cyfrowego różni się od odpowiedzi impulsowej prototypu analogowego amplitudą, która jest odwrotnie-proporcjonalna do okresu próbkowania. Z tego względu odpowiedzi impulsowe przedstawione na rysunku nr 2 zostały przeskalowane, by można je było wizualnie porównywać. Na rysunku nr 3 przedstawiono bieguny funkcji transmitancji H_D(z).

Rys. 1. Charakterystyki amplitudowe filtrów

Rys. 2. Odpowiedzi impulsowe filtrów

Rys. 3. Bieguny funkcji transmitancji filtrów cyfrowych

Rys. 4. Bieguny funkcji transmitancji prototypu analogowego

4. Założenia projektowe - punkt 2.

- f_p- = 1,2 kHz

- f_p+ = 1,6 kHz

- f_s- = 0,8 kHz

- f_s+ = 2 kHz

- As = 40 dB

- Ap = 2,5 dB

- ft = 4f_s+

5. Obliczenia wstępne

Rząd filtru Cauera wyznaczono przy pomocy funkcji ellipord(). Otrzymano wynik n=3. Przy pomocy funkcji ellip() uzyskano współczynniki licznika i mianownika funkcji transmitancji H(s). Przy pomocy funkcji residue() oraz residuez() uzyskano współczynniki licznika i mianownika funkcji transmitancji filtru cyfrowego H_D(z) zaprojektowanego na podstawie prototypu analogowego metodą zachowania charakterystyki impulsowej. Aby pasmo przepustowe filtru cyfrowego (metoda biliniowa) powstałego z prototypu analogowego było zgodne z założeniami, wprowadzono poprawki na pulsacje graniczne:

,

.

gdzie T oznacza okres próbkowania (1/ft), a ω_p=2·π·fp.

Przy pomocy funkcji bilinear() uzyskano współczynniki licznika i mianownika funkcji transmitancji filtru cyfrowego w oparciu o przekształcenie biliniowe z prototypu analogowego.

6. Charakterystyka amplitudowa, odpowiedź impulsowa, bieguny funkcji transmitancji

Rys. 5. Charakterystyki amplitudowe

Rys. 6. Odpowiedzi impulsowe

Rys. 7. Bieguny funkcji transmitancji filtrów cyfrowych

Rys. 8. Bieguny funkcji transmitancji prototypu analogowego

7. Wnioski

W punkcie 2. wyznaczono funkcję transmitancji analogowego filtru Czebyszewa I rodzaju, który był prototypem do wyznaczenia funkcji transmitancji H_D(z) filtrów cyfrowych. Aby pasmo przepustowe zaprojektowanego metodą biliniową filtru cyfrowego było zgodne z założeniami należało wprowadzić poprawkę na pulsację graniczną ω_p. Nie zastosowanie poprawki powodowało przesunięcie charakterystyki w kierunku niższych pulsacji, co jest widoczne na rysunkach nr 1 oraz 5. Filtr zbudowany w oparciu o metodę biliniową ma bardziej stromą charakterystykę przejściową niż jego odpowiednik zaprojektowany metodą zachowania charakterystyki impulsowej (rys. 1, 5). Metoda biliniowa nie zachowuje kształtu odpowiedzi impulsowej w stosunku do prototypu analogowego, co można zauważyć na rysunkach nr 2 oraz 6. Analizując położenie biegunów filtrów cyfrowych (rys. 3, 7) stwierdzono, że skonstruowane filtry są stabilne, ponieważ ich bieguny leżą wewnątrz koła jednostkowego. Zauważono, że filtr pasmowoprzepustowy Butterworth'a spełniający wymagania z punktu nr 4 wymagał rzędu filtru n = 5, natomiast filtr Cauera spełniał założenia dla n = 3. Należy pamiętać, iż charakterystyka amplitudowa filtrów cyfrowych NOI zbudowanych na podstawie prototypu analogowego może nie spełniać założeń projektowych, mimo poprawnych charakterystyk filtru analogowego. Jest to skutek powielania się charakterystyk amplitudowych z każdą wielokrotnością ft w wyniku operacji próbkowania. Powstaje z tego powodu efekt nakładania charakterystyk (aliasing). Można wówczas np. zwiększyć częstotliwość próbkowania.

---