Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych. Innymi słowy pewnej wielkości (jakiemuś człowiekowi, liczbie, chwili czasu, punktowi płaszczyzny) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana liczba, wartość waluty

wg. notowań giełdowych, liczba rzeczywista).
Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (ilość rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego którego wartości

są zdarzeniami losowymi z funkcją która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystapienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopoobieństwa).
W praktyce dziedziną, na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest szeregiem czasowym) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest polem losowym). Jako przykłady szeregów czasowych można podać: fluktuacje giełdowe, sygnały, takie jak mowa, dźwięk i wideo, dane medyczne takie jak EKG i EEG, ciśnienie krwi i temperatura ciała, losowe ruchy takie jak ruchy Browna. Przykładami pól losowych są statyczne obrazy, losowe krajobrazy i układ składników w niejednorodnych materiałach.

Definicja

Matematycznie, proces stochastyczny jest zazwyczaj definiowany jako rodzina zmiennych losowych:

\left( X_t, t \isin T \right)

gdzie: X_t - zmienna losowa, zaś T to zbiór indeksów procesu stochastycznego.
Zmienne muszą być określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej.
Zbiór wartości zmiennych losowych X_t nazywamy przestrzenią stanów procesu stochastycznego, zaś pojedyncza wartość zmiennej losowej to stan procesu stochastycznego.
Procesy stochastyczne zdefiniowane na dyskretnej przestrzeni stanów nazywane są łańcuchami.
Definicja obejmuje ideę funkcji losowej w następujący sposób. Aby z funkcji

f   D → R

z dziedziną funkcji D i obrazem

R zrobić funkcję losową, należy wszystkie wartości funkcji f(x) we wszystkich punktach D zamienić na zmienne losowe z wartościami w R. Dziedzina D staje się zbiorem indeksów procesu stochastycznego, zaś proces stochastyczny jest zdeterminowany przez połączone dystrybuanty różnych zmiennych losowych f(x).
Należy jednak zauważyć, że definicja procesu stochastycznego jako rodziny

zmiennych losowych jest o wiele bardziej ogólna niż przypadek, kiedy indeksami są punkty dziedziny funkcji losowej.

Implikacje definicji

Oczywiście matematyczna definicja funkcji dopuszcza przypadek "funkcja ze zbioru {1,...,n} w R jest wektorem w Rⁿ", więc wielowymiarowa zmienna losowa stanowi specjalny przypadek procesu stochastycznego.

Interesujące przypadki specjalne

• procesy Bernoulliego

• procesy Wienera

• procesy Markowa to takie, w których przyszłość

jest warunkowo niezależna od przeszłości przy danej teraźniejszości.

• procesy Poissona

• procesy homogeniczne: proces, gdzie dziedzina posiada pewną symetrię i skończenie-wymiaroww rozkłady prawdopodobieństwa także mają tę symetrię. Specjalny przypadek obejmuje proces stacjonarny.

• procesy z niezależnymi przyrostami: procesy, gdzie dziedzina jest przynajmniej częściowo uporządkowana i jeśli x₁ <...< x_n, wszystkie zmienne f(x_k+1) − f(x_k) są niezależne. Specjalnym przykładem są łańcuchy Markowa.

• procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni S

• procesy Gaussa: procesy, gdzie wszystkie liniowe kombinacje współrzędnych są zmiennymi losowymi z rozkładem normalnym

• procesy Gaussa-Markowa: procesy, które są jednocześnie procesami Gaussa i Markowa

• procesy Martingale'a

• procesy Galtona-Watsona

• paradoks windy

• proces gałązkowy

Przykłady

• błądzenie losowe

Model deterministyczny to model matematyczny, który danemu na wejściu zdarzeniu jednoznacznie przypisuje konkretny stan. Opis modelu nie zawiera żadnego elementu losowości. Oznacza to, że ewolucja układu w modelu deterministycznym jest z góry przesądzona i zależy wyłącznie od parametrów początkowych lub ich wartości poprzednich.

Model deterministyczny jest użytecznym i najczęściej stosowanym modelem w opisie wielu zjawisk fizycznych, biologicznych, socjologicznych czy ekonomicznych. Stanowi też ważne narzędzie w procesie optymalizacji, znajdując zastosowanie m.in. w ekonomii matematycznej i analizach w zarządzaniu. Często ma on formę układu równań różniczkowych bądź różnicowych.

Przykładem modelu deterministycznego może być wyznaczenie siły na podstawie znanej masy i przyśpieszenia, wyznaczenie opadu na podstawie znajomości temperatury i wilgotności lub określenie liczby ludności na podstawie znajomości liczby domów i mieszkańców w domach, itd.

W szczególnych przypadkach małe odchylenia wartości wejściowych mogą prowadzić do dużych zmian w wynikach końcowych. Mówimy wtedy o modelu chaosu deterministycznego (porównaj efekt motyla). Przykładem modelu chaosu deterministycznego jest np. prognoza pogody (deterministyczne metody wiązek).

Modele deterministyczne mające zmienną czasową nazywa się modelami prognostycznymi. Jeżeli zjawisko jest opisane na podstawie zmiennych otrzymanych w wyniku modelu prognostycznnego to jest to tzw. zmienna diagnostyczna. Opis deterministyczny można przeciwstawić modelowi probabilistycznemu, takiemu jak proces stochastyczny, w którym wyniki początkowe opisują wyniki końcowe z pewnym prawdopodobieństwem.

UKŁADY DETERMINISTYCZNE

Wyniki skupu skórek zajęczych i rysich w Kanadzie na przestrzeni kilkudziesięciu lat.

Model Lotki-Volterry

Model Lotki- Volterry jest to model reprezentujący stosunki na linii Drapieżnik-Ofiara, a zmiany w ich populacji są reprezentowane za pomocą równań różniczkowych Eulera.

Model Lotki - Volterry jest przykładem procesu deterministycznego, czyli takiego w którym nawet niewielka zmiana jakiegokolwiek parametru, powoduje drastyczną zmianę w zachowaniu się modelu. Model ten stworzono, by pokazać, jak populacja Drapieżników zmniejszy się lub nawet wyginie wraz z brakiem pożywienia (Ofiar) oraz jak populacja Ofiar wzrośnie przy niedostatku Drapieżników.

Ukazuje on wszystkie relacje między dwoma gatunkami, wpływ wielkości jednej populacji na drugą.

dx/dt= (a-by)x

dy/dt=(cx-d)y

x(t)- populacja ofiar

y(t)- populacja drapieżników

a-częstość narodzin ofiar lub współczynnik przyrostu ofiar

b- częstość umierania ofiar na skutek drapieżców

c- częstość narodzin drapieżników

d- częstość umierania drapieżników

Model Lotki-Volterry można uważać za trochę wyidealizowany, bądź niedokładny. Poza oddziaływaniami między populacjami trzeba uwzględnić zjawiska zachodzące wewnątrz populacji (rywalizacja międzygatunkowa, przepełnione środowisko)

Wielogatunkowe układy ekologiczne

Analiza układów dynamicznych

Równowaga w układach dynamicznych

Układy dynamiczne mają z reguły ograniczoną odporność na zewnętrznie spowodowane zmiany i po przekroczeniu pewnych granic zmian parametrów układ może zmienić się gwałtowniej przechodząc zmianę jakościową w wyniku czego mamy do czynienia z zupełnie innym stanem równowagi. Ściślej, mówimy, że układ jest w stanie równowagi chwiejnej, gdy wystarczy niewielka zmiana do wyprowadzenia go ze stanu równowagi (odpowiada to maksimum energii), obojętnej, gdy niewielka zmiana powoduje niewielką zmianę stanu układu, ale nadal jest to stan równowagi (energia stała na otoczeniu), trwałej lub metatrwałej gdy po dokonaniu niewielkiej zmiany układ powraca do stanu początkowego (odpowiednio globalne i lokalne minimum energii)

Przypadek 2 gatunków - bifurkacja Typy stabilności

Bifurkacja (łac. furca - widły, bi - dwa razy, bifurcare - rozwidlać się na dwie części, rozdwojenie, rozwidlenie, rozdzielenie, rozszczepienie) - zjawisko skokowej zmiany własności modelu matematycznego przy drobnej zmianie jego parametrów (np. warunków początkowych procesu albo warunków brzegowych). Szczególnie często spotykane i istotne jest to pojęcie przy rozwiązywaniu równań różniczkowych oraz badaniu fraktali (i teorii chaosu).

W modelu z parametrem a, a₀ jest punktem bifurkacji, jeśli w każdym jego otoczeniu istnieją dwa punkty, dla których własności modelu nie są jednakowe.

Przykład: Model opisany równaniem ax²+bx+c=0 ma bifurkację dla a=0, gdyż równanie zmienia się wtedy z kwadratowego na liniowe.

Dziwny atraktor Lorentza

Atraktor - w analizie układów dynamicznych: zbiór w przestrzeni fazowej, do którego w miarę upływu czasu zmierzają trajektorie rozpoczynające się w różnych obszarach przestrzeni fazowej.

Atraktorem może być punkt, zamknięta krzywa (cykl graniczny) lub fraktal (dziwny atraktor). Atraktor to jedno z podstawowych pojęć używanych w teorii chaosu.

Atraktor "przyciąga" znajdujące się blisko niego trajektorie, na co wskazuje jego nazwa (attract = przyciągać). Czasem stosowana jest polska nazwa : ściek. Każdy atraktor ma swój obszar przyciągania zwany basenem przyciągania (zbiór takich warunków początkowych, dla których trajektoria zmierza do atraktora). Najprostsze atraktory to punkty i cykle graniczne.

Lorentz był pierwszym meteorologiem, który odkrył, że nie sposób zrobić dobrej prognozy pogodny na dłużej niż kilka dni, bo równania opisujące stan atmosfery są chaotyczne. Mawiał, że nawet machnięcie skrzydeł motyla może wywołać w Brazylii tornado. Niezwykle małe zaburzenie może prowadzić do rewolucyjnych zmian i to zaczęto nazywać „efektem motyla”- wielka wrażliwość zachowania układów nieliniowych na niewielkie zmiany zadanych układów początkowych.

Chaos deterministyczny - przykład

Równanie iteracyjne- (powtarzanie)- kolejne przybliżanie, czyli powtarzanie pewnej wzorcowej czynności lub procesu. Iteracja do obliczania n+1 wartości wykorzystuje poprzednią n-tą iterację.

Kinematyka i dynamika - podstawowe definicje

Równania ruchu Przykład: równania ruchu dla układu N ciał oddziałujących grawitacyjnie

Równania różniczkowe

Równania różniczkowe są szeroko stosowane w różnych dziedzinach nauki i techniki. Ze względu na ich rozpowszechnienie istnieje wiele metod rozwiązywania równań różniczkowych. Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych można podzielić na kilka grup, np.. Jednokrokowe, wielokrokowe, różnicowe, typu Rungego-Kutty, interpolacyjne, ekstrapolacyjne itd..

Najprostszym równaniem różniczkowym jest równanie różniczkowe pierwszego rzędu

y⁽¹⁾(x) = f(x,y(x)) (1.391)

z warunkiem początkowym y(x₀) = y₀

Zakładamy, że

• funkcja f(x,y(x)) jest określona i ciągła w obszarze x₀ Ⴃ x Ⴃ b, -Ⴅ < y < Ⴅ, gdzie x₀ i b są skończone

• istnieje stała L > 0 taka, że dla każdego x ჎ [x₀,b] i dowolnych liczb y, zachodzi nierówność:

jest to warunek Lipschitza

Przy powyższych założeniach można udowodnić, że w przedziale [x₀,b] istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła i różniczkowalna y(x), spełniająca równanie (1.391) z danym warunkiem początkowym.

Celem przybliżonego rozwiązywania równania (1.391) jest obliczenie wartości funkcji y(x) dla ciągu wartości x = x_i, i = 1,2,..., czyli znajdowanie punktów na krzywej całkowej y(x) .

Metoda Eulera

Niech będzie dane równanie różniczkowe zwyczajne wyrażone zależnością (1.391) z warunkiem początkowym y(x₀) = y_0.

Metoda Eulera polega na zastąpieniu krzywej całkowej y = y(x) prze-chodzącej przez punkt M₀(x₀,y₀), odpowiadający warunkom początkowym łamaną M₀M₁M₂,... o wierzchołkach M_i(x_i,y_i), i = 0,1,2,..., składającą się z odcinków prostych (rys. 1.17)

Punkt rozpoczęcia i-tego odcinka prostej określony jest punktem osiągnięcia przez (i-1)-szy odcinek prostej odciętej

x_i = x₀ + ih

gdzie h - stały krok obliczeń

Punkt M₀ rozpoczęcia pierwszego odcinka jest określony warunkiem początkowym (x₀,y₀) . Odcinki M_iM_i+1, i = 0,1,2,... łamanej mają współczynnik kątowy wyrażony następującą zależnoscią

Z zależności tej wynika wzór na tangens kąta nachylenia i-tego odcinka prostej:

tgၡ₀ = f(x₀,y₀)

tgၡ₁ = f(x₁,y₁)

Ze wzoru (1.394) wynika również, że wartości y_i można znaleźć z następujących wzorów

y_i+1 = y_i + ၄y_i

၄ y_i = h·f(x_i, y_i), i = 0,1,2,...

Przykład

Rozwiązać równanie różniczkowe

y⁽¹⁾(x) = 2xy(x)

z warunkiem początkowym y(0) = 1, długość kroku h = 0,1

i	x	y	f(x,y)=2xy	၄ y = h·f(x, y),
0	0	1	0	0
1	0,1	1	0,2	0,02
2	0,2	1,02	0,408	0,0408
3	0,3	1,0608	0,63648	0,063648
4	0,4	1,124448	0,8995584	0,08995584
5	0,5	1,214404	1,21440384	0,121440384
6	0,6	1,335844	1,60301307	0,160301307

Metoda Rungego-Kutty

Metoda Rungego-Kutty jest metodą jednokrokową charakteryzującą się tym, że przy obliczaniu wartości funkcji w kolejnym punkcie: x_i = x₀ + ih bierze się pod uwagę również punkty wewnątrz i-tego kroku. W zależności od tego, ile tych punktów bierze się pod uwagę, mówi się o rzędzie metody. W obecnym wykładzie wykorzystana będzie metoda Rungego-Kutty czwartego rzędu.

Niech dane będzie równanie różniczkowe pierwszego rzędu

y⁽¹⁾(x) = f(x,y(x))

z warunkiem początkowym y(x₀) = y₀

Wybierzmy krok całkowania h i wprowadźmy następujące oznaczenia x_i = x₀ + ih , y_i = y(x_i), i = 0,1,2,....

Zgodnie z metodą Rungego-Kutty czwartego rzędu kolejne wartości y_i szukanej krzywej całkowej y = y(x) znajdujemy ze wzoru

y_i+1 = y_i + ၄y_i

gdzie

oraz

)

,

(

),

,

(

),

,

(

),

,

(

)

(

3

)

(

4

)

(

2

2

1

2

1

)

(

3

)

(

1

2

1

2

1

)

(

2

)

(

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

k

y

h

x

f

h

k

k

y

h

x

f

h

k

k

y

h

x

f

h

k

y

x

f

h

k





























---