Spadanie swobodne

Cel ćwiczenia

Obserwacja swobodnego spadania przy użyciu elektronicznej rejestracji czasu przelotu kuli przez punkty pomiarowe. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego.

Wprowadzenie

Ruch swobodny to ruch, w którym na ciało nie działają żadne siły oprócz grawitacji. Swobodne spadanie to ruch swobodny wzdłuż prostej pionowej. Na małych odległościach swobodne spadanie jest ruchem przyspieszonym ze stałym przyspieszeniem ziemskim g niezależnym od rodzaju ciała.

W naszym doświadczeniu ciałem jest kula spadająca wzdłuż łaty geodezyjnej. Na łacie w trzech miejscach o współrzędnych x₁, x₂ i x₃ znajdują się trzy fotokomórki. Każda składa się z reflektorka wytwarzającego strumień światła oraz fotodiody. Fotodiody połączone są szeregowo. Ponieważ są oświetlone, przepływa przez nie prąd tworzony przez elektrony wyzwolone w objętości czynnej fotodiod przez fotony światła. Spadająca kula przerywa strumień światła, co powoduje zmniejszenie generacji nośników prądu w jednej z fotodiod i w konsekwencji zmniejszenie prądu płynącego przez obwód. Zgodnie z prawem Ohma zmniejszenie prądu w obwodzie powoduje zmniejszenie napięcia na oporze R połączonym szeregowo z układem diod do wartości bliskiej zeru.

Przebieg napięcia na oporze R rejestrowany jest przy użyciu komputera z kartą oscyloskopową. Kartę można uważać za szybki woltomierz, który w zadanym krótkim czasie wykonuje na przykład 8192 pomiary napięcia i wyświetla je na monitorze komputera w formie krzywej U(t). Na krzywej widać trzy skierowane w dół piki odpowiadające przelotowi kuli przez kolejne fotokomórki. Szerokość kolejnych pików maleje, gdyż prędkość kuli rośnie.

Wskazane jest stosowanie jednoznacznego kryterium odczytu współrzędnej czasowej. Można na przykład odczytywać czas, w którym napięcie spada do połowy wartości maksymalnej U_max. Odpowiada to w przybliżeniu chwili czasu, w której spadająca kula przesłania do połowy strumień światła padającego na fotodiodę.

Niech współrzędne x₁, x₂, x₃ odpowiadają położeniu fotokomórek na łacie geodezyjnej, t₁, t₂, t₃ oznaczają odpowiadające im czasy, x₀ i v₀ położenie początkowe oraz prędkość początkową.

Dla każdego z trzech punktów pomiarowych możemy zapisać równanie ruchu jednostajnie przyspieszonego:

!Nieoczekiwany koniec formułyPowyższe formuły tworzą układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi x₀, v₀ i g.

Rozwiązanie układu umożliwia wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego:

Pomiar przy użyciu kul wykonanych z materiałów o różnej gęstości wskazuje na systematyczne różnice otrzymanych wartości przyspieszenia ziemskiego. Jest to związane z wpływem oporu powietrza. Jest on tym większy, im lżejsza kula, gdyż rośnie wtedy stosunek siły oporu powietrza (takiej samej) do siły grawitacji (proporcjonalnej do ρ).

Wpływ oporu powietrza można wyeliminować sporządzając wykres uzyskanych wartości przyspieszenia ziemskiego w funkcji odwrotności oporu g(1/ρ) i wykonując na nim ekstrapolację przez punkty pomiarowe do wartości 1/ρ = 0, to jest dla granicznego przypadku nieskończonej gęstości kuli.

Ta metoda eliminacji wpływu oporu powietrza jest próbą kontroli czynnika zakłócającego eksperyment przez badanie wpływu jego wielkości na rezultat pomiaru.

Wyniki pomiarów

Pomiar czasu wykonano z dokładnością do 1ms.

Pomiar odległości wykonano z dokładnością do 1mm.

nr	odległość punktu kontrolnego (m)	czas osiągnięcia punktu kontrolnego [ms]
	(od początku ruchu)	mosiądz	aluminium	tekstolit
1	0,230	122	135	122
2	0,685	429	291	282
3	1,335	430	439	434

Łatwo zauważyć, że w przypadku pomiaru czasów dla kulki z mosiądzu, wyniki są obarczone błędem grubym (wynikłym zapewne z pośpiechu przy zapisywaniu wyników). Pomiar ten odrzucamy i jego wyników nie bierzemy pod uwagę.

nr	odległość punktu kontrolnego [m]	czas osiągnięcia punktu kontrolnego [ms]
	{od początku ruchu)	mosiądz
1	0,20	166
2	0,70	349
3	1,43	512

(identyczne, podpisane wyniki pomiarów znajdują się w załączniku 1)

Tablicowe wartości gęstości materiałów, z których zostały wykonane kulki:

mosiądz	8,3 g/cm3
aluminium	2,7 g/cm3
tekstolit	1,7 g/cm3

Opracowywanie wyników

Do obliczenia przyspieszenia g, dla kulek stosujemy wzór:

gdzie:

t_i - czas dotarcia kulki do i-tego punkty pomiarowego

x_i - odległość i-tego punktu pomiarowego do początku ruchu

Wyniki obliczeń przy wykorzystaniu zmierzonych parametrów zamieszczono w tabeli:

kulka mosiężna	10,20
kulka aluminiowa	9,71
kulka z tekstolitu	9,23

Z prawa przenoszenia błędu dokładność pomiaru wyraża się wzorem:

,

gdzie x₁ =x₂=x₃ =0.001m, t₁ =t₂=t₃ =0.001s

Dokładność (w )wyliczonych wartości g dla kulek przedstawia poniższa tabela:

kulka mosiężna	0,3
kulka aluminiowa	0,4
kulka z tekstolitu	0,3

Sporządzony wykres (załącznik 2) pokazuje zależność przyspieszenia g do odwrotności gęstości materiału, z których wykonane są kulki.

Współrzędne odpowiadające kulką przedstawia tabela:

	*10^8	g
kulka mosiężna	1,20	10,1
kulka aluminiowa	3,70	9,7
kulka z tekstolitu	5,88	9,2

Graficzna ekstrapolacja do wartości 1/ρ =0 daje w wyniku (g=10,3).

Otrzymany wynik znacznie różni się od wartości tabelarycznej (g=9,807). Tak duża niedokładność otrzymanej wartości wynika głównie z bardzo dużej niedokładności pomiarów g dla każdej z kulek. Przyjęliśmy ponadto, że siła oporu powietrza jest stała, czyli nie zmienia się wraz z prędkością kulek. Należało wykonać więcej pomiarów dla każdej z kulek w celu zwiększenia dokładności pomiarów.

---