Europejskie Warsztaty Inteligentnej Spekulacji

w/g Andre Kostolanego i Warrena Buffeta

Czyli jak zarobić na kryzysach

Kapitał nominalny po n latach przy kapitalizacji ciągłej, stopie procentowej przy rocznej wpłacie na początku roku K_o

K_o = Kwota wpłaty

p = Oprocentowanie roczne

n = Ilość lat oszczędzania

K_n = Kapitał końcowy po n latach

K_n= K_o*(exp(p*n)-1)/(exp(p)-1)

Pochodzenie (wyprowadzenie) wzoru)

Procent składany

Wpłacamy pieniądze i po każdym roku bank lub inna instytucja finansowa nalicza nam stały procent (sobie o wiele wyższy) otrzymujemy

Jeśli na początku roku wpłacimy Ko

To po 1 roku bank doda nam p* K_o

Razem z suma wpłaty mamy po roku

K₁ = K_o+ p* K_o czyli K_o*(1+p)

W drugim roku startujemy z K₁

Wiec bank nalicza nam p procent na K₁

w efekcie nalicza wiec p* K₁

Kapitał po drugim roku zatem jest równy

K₁ + p* K₁ = K₁( 1+ p)

Ponieważ K₁ = K_o*(1+p)

Wiec

K₂ = K_o*(1+p)²

Powtarzając rozumowanie

Otrzymujemy po n latach

K₂ = K_o*(1+p)ⁿ

Możnaby na tym poprzestać, ale wzór ten jest za bardzo zrozumiały, czyli nie budzi należytego podziwu

Wiec doradcy spekulacyjni wymyślili oprocentowanie ciągłe, czyli

Stopa procentowa nadal jest stała p

ale kapitał przyrasta Wam (i przede wszystkim bankowi i doradcy spekulacyjnemu) w każdej milionowej i trylionowej i jeszcze mniejszej cześć sekundy

tyle ze nie o p lecz o milionową i trylionową i jeszcze mniejszą cześć p.

Matematycznie oznacza to iż wzrasta w 1/k części sekundy o p/k

Stad w ciągu roku wzrośnie

K₁ = K_o *( 1+p/k) ^k

Tesli teraz będziemy zmniejszali k to matematycznie przechodzimy w granicy ∞

Lim K_o *( 1+p/k) ^k

K  ∞

Lim K_o *[( 1+p/k) ^k/p]^p

K  ∞

K_o *{Lim [( 1+p/k) ^k/p]}^p

K  ∞

Obliczajmy

Lim ( 1+p/k) ^k/p

K  ∞

Podstawiając

k/p =x

otrzymujemy

Lim ( 1+1/x) ^x = e

x  ∞

Euler zauważył ze jest to kolejna liczba niewymierna taka jak π

lub

2

na jego chwale została nazwana liczba Eulera e

w przybliżeniu e=2,81.......

Stad nasz kapitał z pierwszej wpłaty po roku jest wart K₁ = K_o e ^p

a po n latach

K_N1 = K_o e ^p*n

Do tego dochodzi kapitał z drugiej raty który leży na koncie o rok krócej czyli n-1 lat

K_N2 = K_o e ^p*(n-1)

Podobnie z 3-ciej

K_N3 = K_o e ^p*(n-2)

i z ostatniej n-1 (z przedostatniego roku zbieractwa, czyli polecanego przez doradcow spekulacyjnych wieloletniego, oszczedzania)

K_Nn-1= K_o e ^p

Sumując wszystkie kwoty otrzymujemy

K_N = K_o e ^p + K_o e ^2p + K_o e ^3p + …….K_o e ^np

K_N = K_o*( e ^p + e ^2p + e ^3p + ……. e ^np )

(e ^p + e ^2p + e ^3p + ……. e ^np )

postęp geometryczny o wyrazie początkowym a_o =1

i ilorazie q=e ^p

S_n = (qⁿ -1)/(q-1)

Podstawiając z powrotem q=e ^p otrzymujemy

K_N= K_o* (exp(p*N)-1)/(exp(p)-1)

Na zasadzie prostych, ale dozwolonych działań możemy obliczyć po ilu latach zgromadzi się potrzebny kapitał

N= 1/p*ln[K_N/K₀*(e^p - 1) + 1]

F4 =K_o =Kwota wpłaty K_o

G4 =p =Oprocentowanie roczne

H4 =n =Ilość lat oszczędzania

I4 =K_n =Kapitał końcowy po n latach

Oszczędzamy co miesiąc K_m:

Wprowadzamy

Zamiast N n1=N*12

K_N= K_o* (exp(p*N*12)-1)/(exp(p)-1)

I4=F4*(EXP(G4*H4)-1)/(EXP(G4/12)-1))

---