I. WSTĘP TEORETYCZNY

W celu zastosowania twierdzenie Steinera, zwanego również twierdzeniem o osiach równoległych, należy wyznaczyć położenie środka masy danej bryły sztywnej.

Dla układu dyskretnego składającego się z N mas o różnych wartościach środek jego masy wyznaczamy następująco (masa całego układu M jest sumą mas składowych m_i):

Obieramy dowolny punkt w przestrzeni, który będziemy traktować jako punkt odniesienia względem, którego określimy położenie środka masy. Wektory r_i=[x_i,y_i,z_i] opiszą wówczas położenia poszczególnych mas składowych względem punktu odniesienia. Odległość środka masy od punktu odniesienia określona wektorem r_c=[x_c,y_c,z_c] wyznacza się z definicyjnej zależności:

/1/

W przypadku ciała rozciągłego, aby wyznaczyć jego środek masy należy rozłożyć go na nieskończenie wiele małych mas dm, których położenia względem punktu odniesienia są określone wektorem r=[x,y,z]. Wówczas w powyższych wzorach sumy przyjmują postać całek:

/2/

Przy czym całkowanie musi się odbyć po wszystkich elementach dm to znaczy po całej objętości ciała sztywnego. Należy zwrócić szczególną uwagę na przypadek, gdy punkt odniesienia pokrywa się ze środkiem masy. Wówczas

/3/

Wielkość fizyczna zwana momentem bezwładności określa bezwładność ciała sztywnego, gdy wykonuje ono ruch obrotowy. Wartość momentu bezwładności zależy od osi, wokół której odbywa się obrót ciała. Jeżeli znamy moment bezwładności ciała względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała, to możemy za pomocą twierdzenia Steinera obliczyć momentem bezwładności tego ciała względem innej osi równoległej do niej.

Rys.44.1. Rysunek do wyprowadzenia twierdzenia Steinera

Dla ciała przedstawionego na powyższym rysunku moment bezwładności względem osi obrotu przechodzącej przez jego środek masy (jest to oś Z) wyraża się całką:

/4/

Wyrażenie x₁² +y₁² określa odległość elementu dm od osi Z

Analogicznie możemy napisać wyrażenie na moment bezwładności względem osi obrotu Z* równoległej do osi Z i oddalonej od niej o
, gdzie współrzędne x_c i y_c określają położenie środka masy rozpatrywanego ciała w nowym gwiazdkowanym układzie współrzędnych:

/5/

Wyrażenie x₂² +y₂² określa odległość elementu dm od nowej osi Z* przy czym:

;
/6/

grupując wyrażenia otrzymujemy:

/7/

Pierwsza całka odpowiada wyjściowemu momentowi bezwładności J_Z .

Ponieważ jak zaznaczyliśmy wyżej x_c² +y_d² =d² i ∫dm=M druga całka przyjmuje postać:

Dwie ostatnie całki zerują się, gdyż spełniony jest warunek iż położenie środka masy w pierwotnym układzie odniesienia określa wektor zerowy r_c=[0,0,0]

W końcowym efekcie równanie przyjmuje postać:

/8/ Równanie to stanowi twierdzenie Steinera opisujące związek między momentami bezwładności J_z* i J_z

---