Knut Mateusz data: 27.10.2011
Kolasiński Michał

Nr 8

Temat: Wyznaczenie momentu bezwładności metodą dynamiczną.

1. Cel ćwiczenia:
   Celem ćwiczenia jest poznanie jednej z metod wyznaczania momentu bezwładności tj metody dynamicznej

2. Definicja wyznaczanej wielkości

a) moment bezwładności – jest to miara bezwładności w ruchu obrotowym względem danej osi obrotu. Moment bezwładności informuje nas o tym jak trudno wprawić dane ciało w ruch obrotowy lub zmienić jego prędkość kątową poprzez działanie momentu siły. Moment bezwładności zależy od następujących czynników: osi obrotu, rozmieszczenia masy względem osi obrotu

I = mr²

I – moment bezwładności

m – masa

r – odległość od osi obrotu

b) Twierdzenie Steinera- moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentów bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami

I = I_s + md²

I_s - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała

m - masa ciała

d – odległość między osiami

3. Wykonywanie pomiaru:

1. Zmierzyć suwmiarką średnicę osi krzyżaka i wyznaczyć promień r osi

2. Rozmieścić obciążniki B w jednakowej skrajnej odległości od osi krzyżaka(L+R) oraz tak aby układ był w równowadze obojętnej

3. Zmierzyć długość h sznurka i nawinąć go jedną warstwą na oś krzyżaka

4. Puścić krzyżak swobodnie i zmierzyć czas opadania ciężarka do całkowitego rozwinięcia się sznurka

5. Obliczyć ze wzoru moment bezwładności krzyżaka

6. Przeprowadzić kilka pomiarów i obliczeń momentu bezwładności dla innych położeń obciążników, przesuwając je o 0,01 m w kierunku środka

7. Sporządzić wykres zależności momentu bezwładności I od położenia obciążników

4. Opracowanie wyników doświadczenia:

1. wyprowadzenie wzoru

E_p = mgh

$$E_{1} = \frac{1}{2}I\omega^{2}$$

$$E_{2} = \frac{1}{2}mv^{2}$$

E = E₁ + E₂

$$mgh = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}\text{Iω}^{2}$$

v = at

$$s = \ \frac{at^{2}}{2}$$

$$h = \frac{\text{gt}^{2}}{2}$$

$$v = \frac{2h}{t}$$

$$\omega = \frac{v}{r}$$

$$I = \frac{mr^{2}(\text{gt}^{2} - 2h)}{2h}$$

I –moment bezwładności

m – masa ciała

r – odległość od osi obrotu

1. wyprowadzenie jednostki

$$\left\lbrack I \right\rbrack = \left\lbrack \frac{kg \times m^{2}\left( \frac{kg \times m}{s^{2}} \times s^{2} - m \right)}{m} \right\rbrack = \left\lbrack {kg \times m}^{2} \right\rbrack$$

1. wyprowadzenie wzoru na niepewność standartową

$$u\left( I \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\partial I}{\partial r} \right)^{2}u_{r}^{2} + \left( \frac{\partial I}{\partial t} \right)^{2}u_{t}^{2} + \left( \frac{\partial I}{\partial h} \right)^{2}u_{h}^{2}}$$

$$\frac{\partial I}{\partial r} = \ \frac{m\left( \text{gt}^{2} - 2h \right)}{2h}2r = \frac{m\left( \text{gt}^{2} - 2h \right)}{h}r$$

$$\frac{\partial I}{\partial h} = \frac{1}{2}mr^{2}gt^{2}\frac{- 1}{h^{2}} = - \frac{mr^{2}gt^{2}}{{2h}^{2}}$$

$$\frac{\partial I}{\partial t} = \frac{\text{mg}r^{2}}{2h}2t = \frac{\text{mg}r^{2}t}{h}$$

4. Tabela z pomiarami:
   Tabela 1

Lp.	L+R	m	R	h	t	E
	[ m ]	[kg ]	[ m ]	[ m ]	[ s ]	[kgm ]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5. Przyrządy do pomiaru i ich dokładności:
   - suwmiarka

- stoper

- przymiar wstęgowy

5. Wnioski: