Kiedy równanie różniczkowe cząstkowe jest typu eliptycznego w ΩE, a kiedy typu parabolicznego w ΩP? Jakiego typu jest równanie Poissona? Odpowiedź uzasadnić.
Podać definicję operacji symetrycznej.
Podać definicję jednostajnej zbieżności szeregu.
Podać twierdzenie Borela.
Wykazać, że moment bezwładności masy punktowej m określony jest wzorem md2. Wykonać rysunek, na którym występują wszystkie oznaczenia potrzebne do tego dowodu.
Podać definicję klasy oryginałów.
Podać definicję macierzy ortogonalnej i twierdzenie wyrażające związek macierzy odwrotnej i macierzy transponowanej w przypadku macierzy ortogonalnej.
Udowodnić twierdzenie z pkt. 7.
Ile wektorów własnych i o jakiej własności ma operacja symetryczna A : V2→V2, gdy λ 1 ≠ λ 2. Odpowiedź uzasadnić.
Podać definicję układu ortogonalnego funkcji i sprawdzić, czy układ funkcji fn(x) = cos(nπx), n = 1, 2, 3, …, jest ortogonalny na przedziale <1,3>.
Podać i udowodnić twierdzenie dotyczące wyznacznika macierzy ortogonalnej A.
Podać twierdzenie o wektorze, który jest sumą liniowo niezależnych wektorów własnych odpowiadających tej samej wartości własnej. Dowód oraz interpretacja geometryczna (z pełnym opisem).
Podać definicję jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego.
Podać definicję operacji addytywnej.
Podać definicję tensora bezwładności masy punktowej oraz podać postać macierzy tego tensora bezwładności (nie wyprowadzać).
Podać twierdzenie przekształcenia Laplace'a.
Udowodnij, zę wyraz w drugim wierszu, trzeciej kolumnie macierzy tensora bezwładności - wynosi "-m(x2x3)”.
Podać równanie d’Alemberta wraz z warunkami.
Wykazać, że macierz A jest symetryczna dla dowolnej macierzy ortogonalnej P macierz B=P−1AP jest symetryczna.
Wykazać, że wektory własne operacji symetrycznej odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
Wykazać, że: jeżeli λ jest wektorem własnym operacji A, która jest symetryczna i $\overrightarrow{\mathbf{\text{x\ }}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{\text{a\ }}}$, to A($\overrightarrow{\mathbf{\text{x\ }}}$)$\mathbf{\ \bot}\overrightarrow{\mathbf{\text{a\ }}}$
Wykazać, że wszystkie wartości własne operacji symetrycznej są liczbami rzeczywistymi. Wskazówka: Rozważyć przypadki: A : V2→V2 , A : V3→V3
Rozpisać równanie charakterystyczne dla A : V3→V3
Korzystając z zadania nr 3 wykazać, że:
a) Jeżeli operacja A : V2→V2 jest symetryczna i ma wketor własny $\overrightarrow{\mathbf{\text{x\ }}}$, to każdy wektor $\overrightarrow{\mathbf{y}}\mathbf{\bot}\overrightarrow{\mathbf{x}\mathbf{\ }}$, jest także wektorem własnym operacji A.
b) Jeżeli operacja symetryczna A : V3→V3 ma wektor własny ${\overrightarrow{\mathbf{\text{x\ }}}}_{\mathbf{1}}$, to operacja ta przekształca wszystkie wektory leżące w płaszczyźnie prostopadłej do ${\overrightarrow{\mathbf{\text{x\ }}}}_{\mathbf{1}}$ w wektory leżące w tej płaszczyźnie.
Podać definicję przekształcenia Laplace’a.
Wyznaczyć macierz operacji identycznościowej oraz wykazać, że operacja ta w dowolnej bazie jest reprezentowana przez tę samą macierz.
Podać definicję zbieżności jednostajnej ciągu {fn(x)} i definicję zbieżności jednostajnej szeregu $\sum_{\mathbf{n = 1}}^{\mathbf{\infty}}{\mathbf{f}_{\mathbf{n}}\mathbf{(x)}}$.
Podać warunki Dirichleta.
Podać interpretację geometryczną warunku addytywności operacji liniowej i zrobić odpowiedni rysunek.
Pokazać, że niezmiennikiem zmiany bazy jest wielomian charakterystyczny.
Napisać równanie Laplace’a. Określić jego typ i zrobić odpowiedni rysunek zbioru.
Korzystając z umowy sumacyjnej Einsteina, rozpisać aijbj ,gdzie i,j=1,2
Podać definicję operacji symetrycznej.
Podać i udowodnić twierdzenie dotyczące zależności między macierzą transponowaną i macierzą odwrotną dla macierzy ortogonalnej.
Podać definicję iloczynu skalarnego dwóch funkcji.
Podać twierdzenie o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego.
Uzasadnić, że dla funkcji parzystej f(x) odpowiadający jej trygonometryczny szereg Fouriera jest odpowiedniej postaci i podać tę postać.
Podać twierdzenie o granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych.
Sformułować i udowodnić twierdzenie o sumie jednostajnie zbieżnego szeregu funkcji ciągłych.
Podać wzór na T($\overrightarrow{\text{ω\ }}$) oraz sporządzić odpowiedni rysunek.
Podać i udowodnić twierdzenie o wektorach własnych operacji symetrycznej, odpowiadających różnym wartościom własnym.
Podać i udowodnić kryterium Weierstrassa.
Podać twierdzenie o różniczkowaniu ciągu funkcyjnego.
Podać i udowodnić twierdzenie o ciągłości sumy szeregu funkcyjnego.
Podać definicję macierzy podobnej.
Podać 4 własności macierzy ortogonalnej.
Udowodnić, że wielomian charakterystyczny macierzy A jest niezmiennikiem zmiany bazy.
Wykazać, że równanie charakterystyczne operacji liniowej A nie zależy od bazy B.
Podać własności macierzy ortogonalnej dotyczące jej kolumn i zapisać ją korzystając z umowy sumacyjnej Einsteina.
Wykazać, że wartości własne operacji symetrycznej A : V2→V2 są liczbami rzeczywistymi.
Zapisać wzór na AB′=P−1ABP z wykorzystaniem umowy sumacyjnej Einsteina.
Podać związek między współrzędnymi wektora w bazie B i B′ i macierzą przejścia P.
Wyznaczyć $\overrightarrow{\mathbf{e}_{\mathbf{1}}}\mathbf{\text{\ o\ }}T(\overrightarrow{\mathbf{e}_{\mathbf{2}}\ })$ i zinterpretować otrzymany wynik.
Warunek Cauchy’ego dla ciągów funkcyjnych.