Nr ćwicz. 122	Data: 24.11.2009	Maciej Szary Piotr Węsierski	Wydział Fizyki Technicznej	Semestr III	Grupa 5
prowadzący dr E. Elantkowska	Przygotowanie:	Wykonanie:	Ocena ostat. :

Temat : Badanie właściwości żyroskopu.

1. Podstawy teoretyczne

Bryła sztywna jest to ciało fizyczne, którego elementy nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, obiekty w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie, określa się mianem ośrodków ciągłych. Bryła sztywna w ogólnym przypadku posiada sześć stopni swobody.

Moment bezwładności ciała składającego się z n punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ I = \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}r_{i}^{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ $$

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

                                          I = ∫_V r²dm                                            (2) 

Moment siły M działającej na ciało to wielkość wektorowa określona przez iloczyn wektorowy działającej siły i promienia. Wektor momentu siły jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektor siły i wektor r, a jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. W niniejszym doświadczeniu momentu siły określa wzór:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{M} = \overrightarrow{r}x\overrightarrow{F}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$

gdzie M – jest momentem siły, r – ramieniem siły, F – wypadkową działających sił.

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego. Mówi ona, że jeśli na pewne ciało, które posiada pewien swój moment bezwładności I zadziałają zewnętrzne siły, które wywrą na to ciało pewien wypadkowy moment siły M, to w wyniku tego działania ciało będzie obracać się z przyspieszeniem kątowym ε takim, że

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{M} = I\overrightarrow{\varepsilon} = \frac{d\overrightarrow{L}}{\text{dt}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ $$

Żyroskop. Bryłę sztywną o symetrii obrotowej, mogącą swobodnie obracać się wokół osi największego momentu bezwładności (oś x), nazywa się żyroskopem. Dodatkowo żyroskop może swobodnie obracać się wokół dwóch innych osi prostopadłych do osi x (osie y, z) dzięki zamocowanym go na pręcie stanowiącym dźwignię dwustronną. W przypadku przedstawionym na danym rysunku bryłą sztywną jest tarcza. Ciężar żyroskopu równoważony jest również siłą ciężkości ciężarków m_A i m_B. Układ ciężarków pozwala na precyzyjne równoważenie żyroskopu.
Ruch żyroskopu podlega zasadom dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego. Zgodnie z drugą zasadą moment siły jest proporcjonalny do przyspieszenia kątowego, jakie ten moment siły powoduje, a współczynnikiem proporcjonalności jest moment bezwładności bryły. Moment siły jest jednocześnie pochodną wektora momentu pędu względem czasu.

Rys.1 Schemat żyroskopu.

Ruch precesyjny jest to zjawisko występujące wówczas, gdy ciało obracające się dookoła osi zostanie poddane momentowi siły posiadającemu składową prostopadłą do momentu pędu. Wtedy to oś obrotu ciała zaczyna wykonywać ruch kreśląc sobą powierzchnię w kształcie bocznej powierzchni. Zjawisko to może być zaobserwowane na przykładzie wirującego bąka, którego spróbujemy wytrącić z równowagi. Zacznie się on wtedy charakterystycznie zataczać, co jest spowodowane właśnie przez precesję. Precesja powoduje także stabilność wirujących obiektów. Żyroskop zawdzięcza swoje działanie zjawisku precesji. Okres zataczania okręgu przez moment pędu ciała jest wprost proporcjonalny do prędkości kątowej ruchu obrotowego i momentu bezwładności ciała oraz odwrotnie proporcjonalny do momentu siły zaburzającej.

Nutacja - zjawisko polegające na drganiu osi obrotu ciała poddanego precesji. Nutacja pojawia się, gdy wirująca bryła nie ma osi symetrii, nie wiruje wokół osi symetrii bądź moment sił działających na bryłę (względem punktu zamocowania) nie jest równy zeru. Drgania nutacyjne występują np. w żyroskopach. Poddana jest im również oś Ziemi. Wartości nutacji są przeważnie dzielone na składowe równoległe oraz prostopadłe do ekliptyki. Składowa zgodna z płaszczyzną ekliptyki nazywana jest nutacją na długości, a prostopadła znana jest jako nachylenie nutacji.

W niniejszym ćwiczeniu do wyznaczania momentów I konieczne będą wzory:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }t^{2} = \frac{2I + 2mr^{2}}{\text{mg}r^{2}}h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$$

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{1}{T_{0}} = \frac{m_{1}gr_{1}}{4\pi^{2}I}T_{p}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$$

1. Wyniki pomiarów i Obliczenia

m = (0,1 ± 0,001) kg

r = (0,02 ± 0,001) m

Δh = 0,001 m

Δt = 0,1 s

Lp.	h [m]	t [s]	t^2 [s^2]
1	0,3	4,09	16,7281
2	0,37	4,82	23,2324
3	0,45	5,03	25,3009
4	0,55	5,5	30,25
5	0,6	5,81	33,7561
6	0,7	6,22	38,6884
7	0,79	6,87	47,1969
8	0,8	7,09	50,2681
9	0,91	7,22	52,1284
10	1,16	7,88	62,0944

Podstawiając wartości do wzoru (5) oraz uproszczając wartości stałe otrzymujemy zależność liniową:

Wykres 1. t² = f(T_p).

Korzystając z metody regresji liniowej oraz przekształcając wzór (5) otrzymujemy kg • m².

g=9,81 m/s²

m₁=61g ± 1g

r₁=36cm ± 0,5cm

Δt=0,3s

Lp.	T1 [s]	T2 [s]	T0 [s]	f [s^−1]	Tp [s]
1	0,091	0,121	0,106	9,433962	18,82
2	0,09	0,13	0,11	9,090909	18,02
3	0,111	0,139	0,125	8	16,1
4	0,115	0,155	0,135	7,407407	14,68
5	0,082	0,121	0,1015	9,852217	19,37
6	0,088	0,119	0,1035	9,661836	19,17
7	0,095	0,127	0,111	9,009009	17,94
8	0,085	0,12	0,1025	9,756098	19,23
9	0,113	0,142	0,1275	7,843137	15,81
10	0,106	0,136	0,121	8,264463	16,59

Podstawiając wartości do wzoru (6) oraz uproszczając wartości stałe otrzymujemy zależność liniową:

Wykres 2. T₀⁻¹=f(T_p).

Korzystając z metody regresji liniowej oraz przekształcając wzór (6) otrzymujemy kg • m².

g=9,81 m/s²

m₁=51g ± 1g

r₁=36cm ± 0,5cm

Δt=0,3s

Lp.	T1	T2	T0	f	Tp
1	0,112	0,159	0,1355	7,380074	15,59
2	0,086	0,126	0,106	9,433962	20,84
3	0,129	0,17	0,1495	6,688963	14,06
4	0,109	0,15	0,1295	7,722008	17,35
5	0,094	0,153	0,1235	8,097166	18,12

Podstawiając wartości do wzoru (6) oraz uproszczając wartości stałe otrzymujemy zależność liniową:

Wykres 3. T₀⁻¹=f(T_p).

Korzystając z metody regresji liniowej oraz przekształcając wzór (6) otrzymujemy kg • m²

Wartość średnia obliczona za pomocą programu Excel wyniosła

I = 0, 010792 kg • m².

1. Niepewności pomiarowe.

Niepewności pomiarowe w niniejszym ćwiczeniu mogą wynikać z:

- ograniczonej dokładności przyrządów

- błędu ludzkiego,

- zmiennych warunków otoczenia.

Niepewność pomiarowa momentu bezwładności uzyskanego z przekształconego równania (6) zostanie wyznaczona za pomocą odchylenia standardowego średniej, a niepewność mementu bezwładności obliczona za pomocą wzoru (5) zostanie wyznaczona różniczką zupełną.

Odchylenie standardowe średniej zostało policzone za pomocą programu Excel. Niepewności wynosi:

ΔI = 6,56 10^-3 kg m²

Niepewność wyznaczona różniczką zupełną:

$$I = \left| a_{r}\left( \frac{\text{mg}r^{2}}{2} \right) + m\left( \frac{a_{r}gr^{2}}{2} \right) + r\left( a_{r}gr - 2mr \right) \right|$$

I = 4, 51 • 10⁻⁴ + 1, 1 • 10⁻⁴ + 2, 8 • 10⁻³ = 3, 36 • 10⁻³kg•m²

Średnie moment bezwładności wyznaczony ze wzoru (5) wynosi.

I = (11 ± 3,4) 10^-3 kg m²

Moment bezwładności wyznaczony ze wzory (6) wynosi.

I= (10,8 ± 6,6) 10^-3 kg m²

1. Wnioski.

Celem ćwiczenia było wyznaczenie momentu bezwładności tarczy żyroskopu oraz obserwacja zjawiska precesji i nutacji. Doświadczenie przebiegło w sposób oczekiwany ,a wyznaczone momentów bezwładności mają bardzo zbliżone wartości co świadczyć może o poprawności przeprowadzonego doświadczenia.