(Podobno jest to w opracowaniu Cieślik dla NBP) – Materiały i Studia zeszyt 165 – Behawioralna…

Ms165.pdf

Prosect theory – teoria perspektywy

EU = $\sum_{i}^{}{\ (\ pi\ *\ u(xi)\ ),}$

gdzie EU – oczekiwania użyteczność,

pi – prawdopodobieństwo wystąpienia i-tego wyniku.

Wybór pada na tę opcję, która wiąże się z najwyższą użytecznością. Niezwykle istotny jest przy tym fakt, że racjonalna jednostka rozważa poszczególne alternatywy zawsze w kontekście całego swojego majątku – w kategoriach absolutnych.

4 aksjomaty teorii preferencji -> eliminacja, przechodniość, dominacja, niezmienność.

Eliminacja

Własność eliminacji bywa także nazywa „zasadą rzeczy pewnej” (sure-thing principle). Ustanawia ona, że jeśli istnieje taki stan natury, który prowadzi do jednego i tego samego wyniku niezależnie od dokonywanego wyboru, wówczas wybór nie powinien zależeć od tego stanu natury. Inaczej mówiąc, stan natury, który daje ten sam wynik, niezależnie od decyzji, nie powinien mieć wpływu na preferencje.

Załóżmy, że osoba ma do wyboru dwie loterie. Pierwsza możliwość to otrzymanie A, jeśli jutro będzie padał deszcz oraz wypłata zerowa…

Przechodniość

Przechodniość powinna charakteryzować preferencje zarówno w świecie, gdzie ryzyko istnieje i w takim, gdzie go brak. Przechodniość jest warunkiem koniecznym i wystarczającym, by preferencje (np. A fi B) można było zaprezentować za pomocą uporządkowanej skali użyteczności (w przestrzeni euklidesowej) tak by u(A)>u(B). Wymóg przechodniości jest spełniony, gdy możliwe jest przypisanie użyteczności do każdej opcji niezależnie od użyteczności innych dostępnych opcji.

Dominacja

Dominacja wydaje się najbardziej intuicyjną zasadą racjonalnych preferencji. Jeśli dana alternatywa jest lepsza niż inna przynajmniej w jednym stanie natury i przynajmniej tam samo dobra we wszystkich innych stanach natury, wówczas ta opcja jest dominująca i powinna zostać wybrana. Nieco szersze pojmowanie tej własności pozwala rozważać ją w znaczeniu dominacji stochastycznej – preferencji rozkładu prawdopodobieństwa związanego z daną opcją. Opcja A jest lepsza od opcji B, gdy dystrybuanta jej rozkładu prawdopodobieństwa przesunięta w prawo w stosunku do dystrybuanty rozkładu charakteryzującego opcję B.

Niezmienność

Mimo iż niezmienność preferencji nie jest aksjomatem opisanym explicite przez von Neumanna i Morgensterna, stanowi ona podstawowy determinant normatywnego charakteru teorii oczekiwanej użyteczności. Zapewnia bowiem konsekwencję i stabilność preferencji. Fakt ten czyni ją najbardziej ogólną zasadą racjonalnego wyboru. Zasada niezmienności stanowi, że różne sposoby prezentacji tego samego problemu decyzyjnego nie wpływają na preferencje. Osoba podejmująca decyzje musi być w stanie przeniknąć otoczkę słowną, w którą „zapakowany” jest dany problem. Własność niezmienności odpowiada intuicyjnemu rozumieniu racjonalności: wybory powinny być niewrażliwe na zmiany samej formy przedstawienia alternatyw.

Zaniedbywanie prawdopodobieństwa

Zaniedbywanie prawdopodobieństwa jest dość banalnym przykładem zniekształceń preferencji w warunkach niepewności. Wiąże się ono najczęściej z nieświadomością osoby podejmującej decyzje lub z niskim stopniem zrozumienia rzeczywistości. Warto jednak przypomnieć, że rzeczywistość rozgrywa się – inaczej niż loteria – w warunkach niepewności, gdzie prawdopodobieństwo może być jedynie szacowane.

Nawet jeśli prawdopodobieństwo jest uwzględniane , istnieje możliwość przypisania mu subiektywnej wartości w zależności od rodzaju problemu decyzyjnego.

Przykład:

Dane są dwie loteria P oraz S. Loteria P charakteryzuje się wysokim prawdopodobieństwem wygranej, lecz niską możliwą wygraną. Odwrotna zależność występuje w loterii S.

Loteria P: wygrana 2 z prawd. 29/36

Loteria S: wygrana 9 z prawd. 7/36

Większość wybiera P.

Tabela 3.1. strona 78 – Paradoks Allais

Loteria X Kwota (j.p.) Prawdopodobieństwo

Opcja 1 1000 1,00

Opcja 2 1000 0,89

5000 0,10

0 0,01

Loteria Y Prawdopodobieństwo Kwota

Opcja 3 1000 0,11

1. 0,89

Opcja 4 5000 0,10

1. 0,90

Które wybieramy?

Oczekiwane użyteczności:

Opcja 1 = 1,00 u (1000)

Opcja 2 = 0,01 u(0) + 0,10 u(5000)+0,89 u(1000)

Racjonalnie jest wybrać 2 – większość wybiera jednak 1.

Problem Samuelsona

Rozważmy loterię polegającą na rzucie monetą: wygrana oznacza wypłatę 200$, przegrana – stratę 100$. Przed takim to wyborem postawił Paul Samuelson swojego znajomego – ekonomistę. Znajomy odrzucił zakład, zaznaczając jednocześnie, że przyjąłby 100 takich loterii. Uzasadnienie: „nie założę się, ponieważ strata 100$ ciążyłaby mi bardziej niż cieszyłaby mnie wygrana 200.” Skłoniło to Samuelsona (1963) do przeprowadzenia dowodu nieracjonalności takiego zachowania.

Wartość oczekiwań

W pierwotnej wersji modelu Kahneman i Tversky operują prostymi regularnymi loteriami (x,p ; y,q) – zwanymi oczekiwaniami (prospects) – z dwiema niezerowymi realizacjami występującymi z zadanym prawdopodobieństwem.

Dana loteria jest ściśle dodatnia, jeśli x,y > 0 i p+q=1; ściśle ujemna gdy x,y < 0 i p+q=1 oraz regularna w pozostałych przypadkach, czy jeśli p+q<1 lub x<=0<=y albo x>=0>=y

Jeśli (x,p ; y,q) jest regularną loterią to osoba podejmująca decyzje przypisze jej wartość:

V(x,p ; y,q) = pi(p) * v(x) + pi(q) * v(y),

gdzie:

pi (*) - waga decyzyjna

v(*) - postrzegana wartość danej realizacji x i y

Oraz v(0) = 0, pi(0) = 0, pi(1) = 1 do potęgi 50.

Kahneman i Tversky (1992) proponując następującą postać funkcyjną:

V(x) = x do potęgi alfa dla x>=0

-λ(-x) do potęgi beta dla x<0

gdzie,

v(x) – postrzegana wartość,

x – relatywny zysk/ relatywna strata

λ – współczynnik awersji do strat (lambda >1)

alfa, beta – parametry determinujące malejącą wrażliwość (0<alfa, beta <=1)

Na podstawie eksperymentów laboratoryjnych K i T wyznaczyli następujące poziomy parametrów funkcji wartości: lambda=2,25 oraz alfa=beta=0,88

Wykres funkcji wag prawdopodobieństwa – strona 88

Większą wagę przywiązujemy do wzrostu prawdopodobieństw w niskich (np. wzrost szans z 0 na 10%) oraz wysokich (np. z 90% szans na 100%) zakresach szans.

Omówionym własnościom odpowiada następująca postać funkcji pi(p) zaproponowana przez Preleca (2000):

pi(p) = exp {-beta(-ln p) do potęgi alfa},

Gdzie:

pi (p) – waga decyzyjna (transformacja prawdopodobieństwa)

p – prawdopodobieństwo (wyznaczone zgodnie z teorią prawdopodobieństwa)

alfa, beta – parametry funkcji większe od 0

Efekty przewartościowania wysokich oraz niskich prawdopodobieństw. Wybieramy te opcje, które bardziej „rzucają się w oczy” -> wybieramy albo (1) 100% pewność pomijając względnie wysoką szansę wyższej wygranej albo (2) skrajnie niską szansę ale na bardzo wysoką wygraną pomijając względnie niższą ale pewniejszą wygraną.

Cztery wymiary stosunku do ryzyka

Efekt odwrócenia

Loteria 1: A(5000;1,0) B(1000; 0,5)

Loteria 2: C(-5000;1,0) D(-10 000; 0,5)

Pogrubione odpowiedzi to wybory respondentów. W przypadku wygranej wolimy pewność niższej.

Jeśli zaś chodzi o stratę to liczymy na szczęście i że uda nam się straty uniknąć.

Sytuacja 1: Wyobraźmy sobie, że USA przygotowuje się do wybuchu epidemii, która ma pochłonąć 600 ofiar. Istnieją dwa alternatywne programy walki z zarazą. Szacowane konsekwencje tych programów są następujące:

Opcja 1:

Jeśli uruchomiony zostanie program A, można być pewnym, że 200 żyć ludzkich zostanie uratowanych [72%]

Jeśli uruchomiony zostanie program B z prawdopodobieństwem 1/3 uratowani zostaną wszyscy, ale też z 2/3 umrą wszyscy [28%]

Opcja 2:

Jeśli uruchomiony zostanie program C, 400 osób poniesie pewną śmierć [22%]

Jeśli program D to z prawdopodobieństwem 1/3 nie zginie nikt, zaś z 2/3 śmierć poniesie 600 osób [78%]

Po uważniejszym przeczytaniu, dochodzimy do wniosku, że zdania w obu opcjach mają dokładnie te same efekty -> całkowicie odmienne są jednak decyzje respondentów. Liczą się wrażenia jakie wywołują użyte słowa i gra na uczuciach.

Sytuacja 1: niezależnie od tego co posiadasz otrzymujesz dodatkowo 1000 jp. Dokonaj wyboru:

1. Wygrana 1000 z prawdopodobieństwem 50% [16%]

2. Pewna wygrana 500 [84%]

Sytuacja 2: niezależnie od tego, co posiadasz otrzymujesz dodatkowo 2000. Dokonaj wyboru:

1. Strata 1000 z prawdopodobieństwem 50% [69%]

2. Pewna strata 500 [31%]

Także w tej sytuacji wybory większości uczestników badania dają dowód ostrożności w dziedzinie zysków i ryzykanctwa w dziedzinie strat. Należy zauważyć, że sformułowanie A jest tożsame z C, a B z D. Problemy te można sprowadzić do identycznych postaci.