Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery

Laboratorium

Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu

SPRAWOZDANIE

Ćwiczenie nr 5

Temat ćwiczenia: Analiza korelacyjna i regresyjna.

Wykonawca:

Imię i Nazwisko: Agata Matras

Nr indeksu: 192901

Wydział: Mechaniczno – Energetyczny

Rok studiów: I

Data wykonania ćwiczenia: 18.04.2013r.

Imię i Nazwisko prowadzącego: Dr inż. Monika Tkaczuk – Serafin

Data oddania sprawozdania: 16.05.2013r.

Ocena:

Poprawa:

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika korelacji serii pomiarów napięcia termoelektrycznego w funkcji temperatury dla termoelementu typu K, oraz obliczenie funkcji regresji.

1. Opis przebiegu ćwiczenia

Przebieg ćwiczenia polegał odczytywaniu z multimetra, dla odpowiednich temperatur ustawionych na piecyku, wartości napięcia termoelektrycznego dla spoin odniesienia umieszczonych w lodzie t₀ = 0 i w otoczeniu t₀ równym temperaturze otoczenia.

1. Wyniki pomiarów

Tabela 1. Wyniki pomiarów odczytanych z multimetra dla odpowiednich spoin (przy ustalonej temperaturze na piecyku).

Lp.	Piecyk Fluke tp/	E′ dla t0 = temp.otoczenia/mV	E dla t0 = 0 [lod]/mV
1.	100	3, 208	4, 079
2.	125	4, 140	5, 025
3.	150	5, 199	6, 081
4.	175	6, 170	7, 054
5.	200	7, 000	7, 900

1. Opracowanie wyników.

   1. Błąd systematyczny.

Błąd systematyczny wyznacza się z równania:

_sE = E^′ − E

gdzie: E′– napięcie termoelektryczne dla spoiny odniesienia w otoczeniu

E – napięcie termoelektryczne dla spoiny odniesienia w lodzie

_sE₁ = E^′₁ − E₁ = 3, 208 − 4, 079 = −0, 871mV

Tabela 2. Błąd systematyczny dla wszystkich pomiarów.

Lp.	sE/mV
1.	−0, 871
2.	−0, 885
3.	−0, 882
4.	−0, 884
5.	−0, 900

1. Współczynnik korelacji liniowej r dla spoiny odniesienia w lodzie.

Współczynnik korelacji liniowej r określa równanie:

$$r = \frac{\sum_{}^{}{\left( E_{i} - \overset{\overline{}}{E} \right)\left( {t_{p}}_{i} - \overset{\overline{}}{t_{p}} \right)}}{\sqrt{\sum_{}^{}\left( E_{i} - \overset{\overline{}}{E} \right)^{2}\sum_{}^{}\left( {t_{p}}_{i} - \overset{\overline{}}{t_{p}} \right)^{2}}}$$

gdzie: E_i – pojedyncze wartości napięcia termoelektrycznego dla spoiny odniesienia w lodzie

$\overset{\overline{}}{E}$ – wartość średnia napięcia termoelektrycznego dla spoiny odniesienia w lodzie

t_pi– pojedyncze wartości temperatur na piecyku Fluke

$\overset{\overline{}}{t_{p}}$ – wartość średnia temperatur na piecyku Fluke

$$\overset{\overline{}}{E} = \frac{\sum_{}^{}E_{i}}{n}$$

gdzie: E_i – pojedyncze wartości napięcia termoelektrycznego dla spoiny odniesienia w lodzie

n – liczba pomiarów

$$\overset{\overline{}}{E} = \frac{4,079 + 5,025 + 6,081 + 7,054 + 7,900}{5} = \frac{30,139}{5} = 6,0278mV$$

$$\overset{\overline{}}{t_{p}} = \frac{\sum_{}^{}t_{p_{i}}}{n}$$

gdzie: t_pi – pojedyncze wartości temperatur na piecyku Fluke

n – liczba pomiarów

$$\overset{\overline{}}{t_{p}} = \frac{100 + 125 + 150 + 175 + 200}{5} = \frac{750}{5} = 150$$

Obliczenie poszczególnych członów równania.

Tabela 3. Poszczególne człony równania.

Lp.	$$E_{i} - \overset{\overline{}}{E}$$	$${t_{p}}_{i} - \overset{\overline{}}{t_{p}}$$	$$\left( {t_{p}}_{i} - \overset{\overline{}}{t_{p}} \right)\left( E_{i} - \overset{\overline{}}{E} \right)$$	$$\left( E_{i} - \overset{\overline{}}{E} \right)^{2}$$	$$\left( {t_{p}}_{i} - \overset{\overline{}}{t_{p}} \right)^{2}$$
1.	−1, 9488	−50	97, 44	3, 79782144	2500
2.	−1, 0028	−25	25, 07	1, 00560784	625
3.	0, 0532	0	0	0, 00283024	0
4.	2, 0262	25	25, 655	1, 05308644	625
5.	1, 8722	50	93, 61	3, 50513284	2500
Σ			241, 775	9, 3644788	6250

Wynik ostateczny:

$$r = \frac{241,775}{\sqrt{9,3644788 \bullet 6250}} = \frac{241,755}{\sqrt{58527,9925}} = \frac{241,755}{241,9255929} = 0,999294853$$

1. Równanie analityczne charakterystyki dla spoiny odniesienia w lodzie, wyznaczone metodą funkcji regresji.

Równanie analityczne charakterystyki ma postać:

E = a + bt_p

gdzie: a – to współczynnik wyrażający się równaniem:

$$a = \frac{\sum_{}^{}{t_{p_{1}} - b\sum_{}^{}E_{i}}}{N}$$

b – współczynnik wyrażający się równaniem:

$$b = \frac{\sum_{}^{}{E_{i}t_{p_{i}} - \frac{1}{N}\sum_{}^{}E_{i}\sum_{}^{}t_{p_{i}}}}{\sum_{}^{}{E_{i}^{2} - \frac{1}{N}}\left( \sum_{}^{}E_{i} \right)^{2}}$$

Najpierw obliczymy współczynnik b.

Obliczenie poszczególnych członów równania.

Tabela 4. Poszczególne człony równania.

Lp.	Eitpi	Ei	tpi	Ei^2
1.	407, 9	4, 079	100	16, 638241
2.	628, 125	5, 025	125	25, 250625
3.	912, 15	6, 081	150	36, 978561
4.	1234, 45	7, 054	175	49, 758916
5.	1580	7, 900	200	62, 41
Σ	4762, 625	30, 139	750	191, 036343

Zatem:

$$b = \frac{\sum_{}^{}{E_{i}t_{p_{i}} - \frac{1}{N}\sum_{}^{}E_{i}\sum_{}^{}t_{p_{i}}}}{\sum_{}^{}{E_{i}^{2} - \frac{1}{N}}\left( \sum_{}^{}E_{i} \right)^{2}} = \frac{4762,625 - \frac{1}{5} \bullet 30,139 \bullet 750}{191,036343 - \frac{1}{5}\left( 30,139 \right)^{2}} = \frac{4762,625 - 4520,85}{191,036343 - 181,6718642} =$$

$$= \frac{241,775}{9,3644788} = 25,81830822$$

$$a = \frac{\sum_{}^{}{t_{p_{i}} - b\sum_{}^{}E_{i}}}{N} = \frac{750 - 25,81830822 \bullet 30,139}{5} = \frac{750 - 778,1379915}{5} = - 5,627598289$$

1. Wykres regresji.

Prostą regresji wyznacza równanie:

y^′ = a + bx_i = a + bE_i

gdzie: a – współczynnik

b – współczynnik

E_i – pojedyncze wartości napięcia termoelektrycznego dla spoiny odniesienia w lodzie

y′₁ = −5, 627598289 + 25, 81830822 • 4, 079 = 99, 685

Tabela 5. Wartości pod wykres regresji liniowej.

Lp.	Ei	y^′
1.	4, 079	99, 685
2.	5, 025	124, 109
3.	6, 081	151, 374
4.	7, 054	176, 495
5.	7, 900	198, 337

Wykres 1. Wykres punktów pomiarowych i funkcji regresji (charakterystyki)

1. Niepewności standardowe współczynników a i b.

Niepewności standardowe współczynników a i b określają równania:

$$u_{a} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(t_{p_{i}} - y^{'})}^{2}}{N - 2}}\sqrt{\frac{1}{N} + \frac{{\overset{\overline{}}{E}}^{2}}{\sum_{}^{}\left( E_{i} - \overset{\overline{}}{E} \right)^{2}}}$$

$$u_{b} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(t_{p_{i}} - y^{'})}^{2}}{N - 2}}\frac{1}{\sqrt{\sum_{}^{}\left( E_{i} - \overset{\overline{}}{E} \right)^{2}}}$$

Obliczenie poszczególnych członów równania.

Tabela 6. Poszczególne człony równania.

Lp.	(tpi − y^′)^2	$$\left( E_{i} - \overset{\overline{}}{E} \right)^{2}$$
1.	0, 099048	3, 79782144
2.	0, 793167	1, 00560784
3.	1, 886596	0, 00283024
4.	2, 234271	1, 05308644
5.	2, 765447	3, 50513284
Σ	7, 77853	9, 3644788

Zatem:

$$u_{a} = \sqrt{\frac{7,77853}{3}}\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{{6,0278}^{2}}{9,3644788}} = \sqrt{2,592843333}\sqrt{0,2 + 3,880020834} =$$

=1, 610230832 • 2, 019906145 = 3, 252515153 ≈ 3, 3

$$u_{b} = \sqrt{\frac{7,77853}{3}}\frac{1}{\sqrt{9,3644788}} = \sqrt{2,592843333}\frac{1}{3,060143591} = 1,610230832 \bullet 0,326782051 =$$

=0, 5266194533 ≈ 0, 53

Więc:

a = −5, 6 ± 3, 3

b = 25, 82 ± 0, 53

1. Rzeczywista wartość napięcia termoelektrycznego.

Jako przykładowy punkt wybieram x₀ = 150, więc E(x₀) = 6, 081mV

Dla punktu x₀ należy obliczyć u_y′ wyrażające się równaniem:

$$u_{y'} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(t_{p_{i}} - y^{'})}^{2}}{N - 2}}\sqrt{\frac{1}{N} + \frac{\left( x_{0} - \overset{\overline{}}{E} \right)^{2}}{\sum_{}^{}\left( E_{i} - \overset{\overline{}}{E} \right)^{2}}}$$

Obliczenie poszczególnych członów równania.

Tabela 4. Poszczególne człony równania.

Lp.	(tpi − y^′)^2	$$\left( x_{0} - \overset{\overline{}}{E} \right)^{2}$$	$$\left( E_{i} - \overset{\overline{}}{E} \right)^{2}$$
1.	0, 099048	0, 00283024	3, 79782144
2.	0, 793167		1, 00560784
3.	1, 886596		0, 00283024
4.	2, 234271		1, 05308644
5.	2, 765447		3, 50513284
Σ	7, 77853		9, 3644788

A więc:

$$u_{y^{'}} = \sqrt{\frac{7,77853}{3}}\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{0,00283024}{9,3644788}} = \sqrt{2,592843333}\sqrt{0,2 + 0,0003022314493} =$$

=1, 610230832 • 0, 447551373 = 0, 720661019 ≈ 0, 73

Należy wykazać, że:

E_rz(x₀) ← E(x₀) ± u_y′

Z tablic podanych na laboratorium można odczytać, że E_rz(x₀) = 6, 138mV.

Tak więc:

6, 138mV ← (6,081±0,73)mV

1. 
   Wnioski.

• Wyznaczony współczynnik korelacji liniowej r dla spoiny odniesienia w lodzie jest bardzo bliski 1 (r = 0, 999294853), co oznacza, że punktu są bardzo dobrze skorelowane i ułożone wzdłuż pewnej prostej.

• Obliczona prosta regresji o równaniu: y^′ = a + bE_i wyraża się w postaci y^′ = −5, 627598289 + 25, 81830822E_i, i naniesiona na wykres 1 idealnie pokrywa się z punktami pomiarowymi.

• Napięcie rzeczywiste, które powinien pokazać multimetr w temperaturze 150^oC, równe E_rz = 6, 138mV, nie zostało osiągnięte nawet po uwzględnieniu niedokładności pomiaru. Otrzymany wynik był równy E = (6,081±0,73)mV.