Rozwiązanie zadania

Równanie ogólne:

$$4\left( \frac{dx(t)}{\text{dt}} \right)^{2} + 5x\left( t \right) = \frac{dy^{2}(t)}{dt^{2}} + y^{3}\left( t \right).$$

Sprowadzamy do postaci:

$$\frac{dy^{2}(t)}{dt^{2}} + y^{3}\left( t \right) - 4\left( \frac{\text{dx}\left( t \right)}{\text{dt}} \right)^{2} - 5x\left( t \right) = 0.$$

Co można zapisać (dla uproszczenia):

$$\ddot{y} + y^{3} - 4{\dot{x}}^{2} - 5x = 0$$

Wszystko po lewej stronie jest funkcją F, innymi słowy:

$$F\left( \ddot{y},y,\dot{x},x \right) = \ddot{y} + y^{3} - 4{\dot{x}}^{2} - 5x$$

Teraz należy wykonać proces linearyzacji i w pierwszym kroku oblicza się pochodne (wszystkie oczywiście w punkcie pracy):

$$\frac{\text{dF}}{d\ddot{y}} = 1$$

$$\frac{\text{dF}}{dy} = 3{y_{0}}^{2}$$

$$\frac{\text{dF}}{d\dot{x}} = - 8{\dot{x}}_{0}$$

$$\frac{\text{dF}}{dx} = - 5$$

Teraz można zapisać równanie w postaci:

$$F = 1 \bullet \Delta\ddot{y} + 3{y_{0}}^{2} \bullet \Delta y - 8{\dot{x}}_{0} \bullet \Delta\dot{x} - 5\Delta x$$

Podstawiamy teraz punkt pracy P(1/5 ; 1). Trzeba pamiętać, że kropka oznacza pochodną po czasie i jako, że punkt x₀=1/5 to jego pochodna wynosi 0 (bo nie ma zmiennej czasowej).

$$F = \Delta\ddot{y} + 3\Delta y - 8 \bullet 0 \bullet \Delta\dot{x} - 5\Delta x$$

Wiadomo, że:

$$\Delta\ddot{y} = \ddot{y} - \ddot{y_{0}}$$

Δy = y − y₀

Δx = x − x₀

Podstawiając to do powyższego równania otrzymamy:

$$F = \left( \ddot{y} - \ddot{y_{0}} \right) + 3\left( y - y_{0} \right) - 5\left( x - x_{0} \right)$$

Znowu przypominamy sobie o punktach pracy i pamiętamy, że pochodna w punkcie pracy „y” też jest równa 0 (bo y=1 i nie zawiera zmiennej t), ostatecznie:

$$F = \left( \ddot{y} - \ddot{0} \right) + 3\left( y - 1 \right) - 5\left( x - \frac{1}{5} \right)$$

No i po uporządkowaniu mamy nowe zlinearyzowane równanie, wokół punktu pracy x₀, y₀

$$F = \ddot{y} + 3y - 5x - 4$$