PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA

im. Stanisława Staszica w Pile

INSTYTUT POLITECHNICZNY

KIERUNEK: BUDOWNICTWO

Wytrzymałość Materiałów

Ćwiczenie nr 4

Temat :

1. Wyznaczyć naprężenia normalne w najbardziej wytężonym przekroju zginanej belki stalowej. Obliczenia przeprowadzić w układzie osi centralnych oraz głównych centralnych.

2.Sporządzić wykres naprężeń normalnych w przekroju najbardziej wytężonym.

Nazwisko i Imie	Marcin Stolp
Rok/ grupa	Rok 2
Rok akademicki	2012/2013
Ocena

Dane:

HEB 200 ½ IPE 200

h = 200 mm h = 100 mm

bf = 200 mm e = 2,25 cm

tw = 9,0 mm A = 14,2 cm²

tf = 15 mm Ix = 117 cm⁴

A = 78,1 cm² Iy = 71,2 cm⁴

Ix = 5700 cm⁴ tw = 5,6 mm

Iy = 2000 cm⁴ tf = 8,5 mm

M_A=1*4,5*2,25+$\frac{0,5*4,5}{2}*\frac{1}{3}*4,5 = 13,5\text{kN}$

Położenie środka ciężkości

A= A₁ + A₂ = 78,1 + 14,2 = 92,3 cm²

Sx₃ = A₁ * $\frac{h_{1}}{2} + \ A_{2\ \ }*\left( \ h_{2} - \ \frac{\text{tw}_{2}}{2} \right) = 78,1*\ \frac{20}{2} + 14,2*\left( \ 20 - \ \frac{0,56}{2} \right) = 78*10 + \ \ 14,2*19,72 = 781 + 280,\ 024 = 1061,\ 024\ \text{cm}$³

Sy₃= A₁*$\frac{\text{bf}}{2} + A_{2}*\text{bf} + \left( 10 - 2,25 \right) = 78,\ 1*10 + 14,2*27,75 = 781 + 394,\ 05 = 1175,\ 05\ \text{cm}^{3}$

Xc=$\frac{\text{Sy}3}{A} = \ \frac{1175,05}{92,3} = 12,730\ \text{cm}$

Yc=$\frac{\text{Sx}3}{A} = \frac{1061,024}{92,3} = 11,495\ \text{cm}$

Centralny moment bezwładności przekroju

Ix=Ix₁+A₁(yc-$\frac{h_{1}}{2})$²$+ Ix_{2} + A_{2}*{(h_{1} - \text{yc} - \frac{\text{tw}_{2}}{2})}_{}$² =5700+78,1(11,495-10)²+117+14,2(20-11,495-$\frac{0,56}{2})$² = 6952,194 cm⁴

Iy=Iy₁+A₁(Xc-bf/2)²+Iy₂ +A₂(bf₁+h₁-e₂-x_c)²=2000+78,1(12,73-10)²+71,2
+14,2(20+10-2,25-12,730)²=5856,79 cm⁴

Ixy= Ix₁y₁+A₁(xc-$\frac{b_{1}}{2})\left( \text{yc} - \frac{h_{1}}{2} \right) - Ix_{2}y_{2} + A_{2}\left( b_{1} + \frac{h_{2}}{2} - \text{xc} - e_{2} \right)(h_{1} - \text{yc} - \frac{\text{tw}_{2}}{2})$=78,1(12,73-10)(11,495-10)+14,2(20+10-12,732-2,25)(20-11,495-$\frac{0,56}{2}) = 2072,780\ cm^{4}$

Iη=$\frac{\text{Ix} + \text{Iy}}{2} + \sqrt{{(\frac{\text{Ix} - \text{Iy})}{2}}^{2} + \text{Ixy}^{2} =}\frac{6952,194 + 5856,79}{2} + \sqrt{{(\frac{6952,194 - 5856,79}{2})}^{2} + {2072,78}^{2}} = 8548,415\ \text{cm}^{4}$

Iξ=$\frac{Ix + \text{Iy}}{2} - \sqrt{{(\frac{\text{Ix} - \text{Iy})}{2}}^{2} + \text{Ixy}^{2} =}\frac{6952,194 + 5856,79}{2} + \sqrt{{(\frac{6952,194 - 5856,79}{2})}^{2} + {2072,78}^{2}} = 4260,575\ \text{cm}^{4}$

Kąt obrotu układu głównego

Tgαy=$- \frac{2\text{Ixy}}{\text{Ix} - \text{Iy}}$= $- \frac{2*2072,78}{6952,194 - 5856,79} = - 3,784$

2ϕ1=arctg(-3,784)=75,198/2=-37,59^o

(Ix-Iy)cos2y1-2Ixy*sin2y1=(6952,194-5856,79)*cos(-75,196)-2*2072,78-sin(-75,196)=1095,39*(-0,204)-4156,56*(-0,978)=4287,841 cm⁴

Naprężenie w układzie centralnym

Mx=M*sinα=13,5*0,5735=7,742 KN

My=-M*cosα=-13,5*0,8191=-11,057 KN

$$\sigma = - \frac{M_{x} \times I_{\text{xy}} + M_{y} \times I_{x}}{I_{x} \times I_{y} - I_{\text{xy}}^{2}} \times x + \frac{M_{y} \times I_{\text{xy}} + M_{x} \times I_{y}}{I_{x} \times I_{y} - I_{\text{xy}}^{2}} \times y$$

$$\sigma = - \frac{774,32 \times 2072,78 + \left( - 1105,855 \right) \times 6952,1942}{6952,1942*5856,79 - {2072,78}^{2}} + \frac{\left( - 1105,855 \right) \times 2072,78 + 774,32 \times 5856,79}{6952,1942*5856,79 - {2072,78}^{2}}\mathbf{= -}\frac{6083123,707}{36421124,54}x + \frac{2242835,506}{36421124,54}y = \ - 0,16702x + 0,0615y$$

Równanie osi obojętnej

$$\sigma = 0 = > y = \frac{0,16702x}{0,0615} = \mathbf{2,71577}\mathbf{x}$$

x₁ = −12, 73 cm y₁ = −11, 495

x₂ = 17, 27cm y₂ = 13, 225 ∖ nx₃ = 7, 27 cm y₃ = −11, 495

x₄ = −12, 73 cm y₄ = 8, 505

$$\sigma_{1} = 0,16702*\left( - 12,73 \right) + 0,0615*\left( - 11,495 \right)\mathbf{= - 2,8331}\mathbf{\text{\ \ }}\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{- 28,331}\mathbf{\text{\ MPa\ \ \ \ }}\mathbf{\sigma}_{\mathbf{\max}}$$

$$\sigma_{2} = 0,16702*17,27 + 0,0615*13,225 = \mathbf{3,6977}\frac{\mathbf{\text{\ \ k}}\mathbf{N}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{36,977}\mathbf{\text{\ MPa\ }}\mathbf{\sigma}_{\mathbf{\max}}$$

$$\sigma_{3} = 0,16702*7,27 + 0,0615*\left( - 11,495 \right) = \mathbf{0,507}\mathbf{\text{\ \ }}\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{5,07}\mathbf{\text{\ MPa}}$$

$$\sigma_{4} = 0,16702*\left( - 12,73 \right) + 0,0615*8,505\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,603}\frac{\mathbf{\text{\ \ \ kN}}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{6,03}\mathbf{\text{\ MPa}}$$

Naprężenia w układzie głównym centralnym

φ = 72, 59

β = 32, 59

I_η = 8548, 4158 cm⁴

I_ξ = 4260, 575cm⁴

M_ξ = −13, 5 × cosβ = −11, 374 kNm

M_η = −13, 5 × sinβ = −8,23565 kNm

Współrzędne punktów charakterystycznych

η = x × cosφ + y × sinφ

η = −x × sinφ + y × cosφ

η₁₌ − 12, 73 × cosφ + (−11,495) × sinφ = −14, 777 cm

ξ₁ = 12, 73 × sinφ + ( − 11, 495)×cosφ = 8, 707 cm

η₂₌17, 27 × cosφ + 13, 225 × sinφ = 17, 786 cm

ξ₂ = −17, 27 × sinφ + 13, 225 × cosφ = −12, 5218cm

η₃₌7, 27 × cosφ + (−11,495) × sinφ = −8, 793 cm

ξ₃ = −7, 27 × sinφ + (−11,495) × cosφ = −10, 376 cm

η₄₌ − 12, 72 × cosφ + 8, 505 × sinφ = 4, 306cm

ξ₄ = 12, 72 × sinφ + 8, 505 × cosφ = 14, 691 cm

$$\sigma = \frac{M_{\eta}}{I_{\eta}} \times \xi - \frac{M_{\xi}}{I_{\xi}} \times \eta$$

$$\sigma = \frac{- 823,565}{8548,4158} \times \xi - \frac{- 1137,4}{4260,575} \times \eta$$

σ = −0,0963412×ξ −  0, 266959×η

$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{1}}\mathbf{=} - 0,0963412*8,707 - 0,266959*\left( - 14,777 \right) = \mathbf{- 3,106}\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{- 31,06}\mathbf{\text{\ MPa}}$ $\mathbf{\sigma}_{\mathbf{2}}\mathbf{=} - 0,0963412*\left( - 12,5218 \right) - 0,266959*17,786 = \mathbf{3,5421}\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 35,421\ MPa}$ $\mathbf{\sigma}_{\mathbf{3}}\mathbf{=} - 0,0963412*\left( - 10,376 \right) - 0,266959*\left( - 8,793 \right) = \mathbf{0,515}\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 5,15\ MPa}$ $\mathbf{\sigma}_{\mathbf{4}}\mathbf{=} - 0,0963412*14,691 - 0,266959*4,3065 = \mathbf{- 1,585}\frac{\mathbf{\text{kN}}}{\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{= - 15,85\ MPa}$