LABORATORIUM Z FIZYKI

„Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła fizycznego.”

Wykonał:

Marcin Cackowski

Płock, 04.04.2013

1. Schemat stanowiska pomiarowego:

1. Definicje wielkości mierzonych w ćwiczeniu:

Wahadło jest to ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. Rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł matematyczne i fizyczne. Do wykonania ćwiczenia laboratoryjnego „Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła fizycznego.” Posługujemy się jak jest już to zawarte w tytule wahadłem fizycznym.

Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad swoim środkiem ciężkości.

$$T = 2*\pi*\sqrt{\frac{I}{\text{mgx}}}$$

x - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,

g - przyspieszenie ziemskie,

I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,

m - masa ciała.

Wielkością jaką mamy za zadanie pomierzyć jest przyśpieszenie grawitacyjne ziemi. Przyspieszenie grawitacyjne  nazywamy przyspieszenie ciał wynikające z przyciągania grawitacyjnego. W warunkach spadku swobodnego ciał jest ono po prostu przyspieszeniem ich ruchu. W sytuacji statycznej, np. ciała spoczywającego na poziomej powierzchni, przyspieszenie grawitacyjne odpowiada za mierzony ciężar.

Wzór na przyśpieszenie grawitacyjne:

a₂ – przyspieszenie grawitacyjne ciała 2 przyciąganego przez ciało 1

G – stała grawitacji

m₁ – masa ciała wytwarzającego pole grawitacyjne

r – odległość między środkami przyciągających się ciał

1. Zestawienie tabelaryczne wyników pomiarów oraz wyników obliczeń:

1. Dla każdego położenia x obliczam wartość średnią okresu wahnięć ze wzoru:

Obliczone wartości średnie znajduja się w tabeli w pkt.3

1. Dla każdego położenia x obliczam niepewność pomiarową typu A ze wzoru:

Obliczone niepewności typu A dla każdego pomiaru przedstawione są w tabeli wyników w pkt.3

1. Dla każdego położenia x obliczam niepewność całkowitą ze wzoru:

Obliczone niepewności całkowite znajdują się w tabeli w pkt.3

1. Obliczam wartość średnią i niepewność całkowitą okresu drgań ze wzorów:

Obliczone wartości średnie okresu oraz jego niepewności znajdują się w tabeli w pkt.3

1. Zestawienie tabelaryczne danych wprowadzonych do programy Matex:

1. Tworzymy wykres zależności T(α)

Tworzymy go ze wzoru:

W programie Matex wprowadzamy go w postaci:

T(α)= a*SQRT((x^3+(1-x)^3)/(0.5-x))

Parametr α jest to stosunek długości do punktu jego zawieszenia od końca jego długości do całkowitej długości $\alpha = \frac{X}{L}$

1. Dane obliczone za pomocą program Matex

Parametr a =1,6155 ± 8,5064*10⁻⁴

Chi2=2,08*10²

Nfd= 11

$$\frac{chi2}{\text{nfd}} = \frac{2,08*10\hat{}2}{11} = 18,91 > 1$$

1. Obliczamy przyśpieszenie ziemskie za pomocą wzoru:

$$a = 2*\pi\sqrt{\frac{L}{3*g}}$$

Po przekształceniu:

$$g = \frac{4{*\pi}^{2}*L}{{3a}^{2}}$$

Więc:

$$g = \frac{4{*\pi}^{2}*L}{{3a}^{2}} = \frac{4*\pi^{2}*2^{2}}{{3*1,6154}^{2}} = 10,086\ \frac{m}{s^{2}}$$

Obliczamy z prawa propagacji niepewność u(g)

$$u\left( g \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial g}{\partial L} \right)^{2}{u\left( L \right)}^{2} + \left( \frac{\partial g}{\partial a} \right)^{2}{u(a)}^{2}}$$

Stąd:

$$u\left( g \right) = \sqrt{\left( \frac{4*\pi^{2}}{3*a^{2}} \right)^{2}*u\left( L \right)^{2} + \left( \frac{- 8*\pi^{2}*L}{3*a^{3}} \right)^{2}*u(a)\hat{}2}$$

Więc:

$$u\left( g \right) = \sqrt{\left( \frac{4*\pi^{2}}{3*{1,6154}^{2}} \right)^{2}\left( 0.002 \right)^{2} + \left( \frac{- 8*\pi^{2}*2}{3*{1,6154}^{3}} \right)^{2}{(8,5064*10^{- 4})}^{2}} = 0,014647\frac{m}{s^{2}}$$

Więc stąd otrzymaliśmy wynik końcowy:

$$\left( \mathbf{g \pm u}\left( \mathbf{g} \right) \right)\mathbf{= (}\mathbf{10,086\ }\mathbf{\pm 0,015)}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$$

Dla porównania do większości obliczeń uwzględniających przyspieszenie grawitacyjne ziemi przyjmujemy jego wartość:

$$g = 9,81\frac{m}{s^{2}}$$

1. Wnioski:

• Celem ćwiczenia było wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego oraz pomocniczych przyrządów pomiarowych(stoper taśma miernicza). Dla poszczególnych położeń wahadła(x) mierzyliśmy trzykrotnie czas 20 wahnięć a następnie obliczaliśmy okres drgań wahadła. Na tej podstawie możemy stwierdzić iż okres drgań zmienia się i zależy od długości wahadła.

• Wszystkie pomiary są obarczone niepewnością pomiarową typu A oraz B, Natomiast niepewność całkowita pomiarów obliczona została z prawa sumowania wariacji.

• Dzięki otrzymanym wynikom pomiarów oraz niezbędnych obliczeń mogliśmy wyznaczyć wartośc przyśpieszenia ziemskiego które wyniosło g=$(10,086\ \pm 0,015)\frac{m}{s^{2}}$. Porównując je do ogólnie przyjętej wartości do różnych obliczeń(wartość tablicowa) która wynosi g=9,81$\frac{m}{s^{2}}$ możemy stwierdzić iż wartość ta nie odbiega o więcej niż 5% od wartości tablicowej.

• Mimo niewielkiej rozbieżności wartości przyśpieszenia obliczonego przez nas od wartości tablicowej wynik ten jest mało prawdopodobny i należało by go odrzucić ze względu n dużą wartość stosunku:

$$\frac{chi2}{\text{nfd}} = \frac{2,08*10\hat{}2}{11} = 18,91 > 1$$

• Na wartość stosunki chi2/nfd ma wielkie znaczenie czynnik ludzki przy wykonywaniu ćwiczenia (refleks osoby wykonującej ćwiczenie przy pomiarach czasu oraz nie zawsze wychylenie wahadła o tę samą wartość)

• Niepewność przyśpieszenia ziemskiego obliczyliśmy z prawa propagacji. Na wynik końcowy większy wpływ ma niepewność pomiaru długości wahadła niż niepewność parametru a obliczonego przy pomocy programu Matex.