SPRAWOZDANIE z ćw. nr 53A Temat: Prawo Ohma dla prądu przemiennego	LABORATORIUM z FIZYKI OGÓLNEJ INSTYTUT FIZYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ
Alicja Lipień Wydział Chemiczny Rok I	Data wykonania ćw. 20.04.2011 r.

1.Wstęp

Prąd to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych np. elektronów w metalu. NatęŜenie prądu jest wprost proporcjonalne do średniej prędkości uporządkowanego ruchu ładunków. JeŜeli prędkość ta jest stała w czasie, to natęŜenie prądu jest stałe a gdy zmienna – zmienne. W szczególnym przypadku ładunki w swoim ruchu uporządkowanym mogą poruszać się ruchem harmonicznie zmiennym – wtedy mamy prąd przemienny.

JeŜeli w obwodzie prądu stałego znajdzie się kondensator, to prąd stały nie popłynie ze względu na przerwę w obwodzie. Prąd zmienny będzie płynął, gdyŜ nośniki prądu płyną raz w jedną a raz w drugą stronę ładując naprzemiennie okładki kondensatora. Na wykresie przedstawiającym zależność napiecia i natężenia od czasu, maksima natęŜenia prądu pojawiają się wcześniej niŜ maksima napięcia o ¼ okresu t.j. napięcie na kondensatorze jest opóźnione w fazie o π/2 względem natęŜenia prądu. W momencie, gdy kondensator jest maksymalnie naładowany (maksima zaleŜności U(t)) prąd nie płynie a zmienia kierunek na przeciwny. Stosunek maksymalnych wartości napięcia do natęŜenia prądu (a takŜe stosunek wartości skutecznych tych wielkości) nazywa się oporem pojemnościowym, który dla kondensatora o pojemności C wynosi:

X_C=$\frac{1}{2\text{πfC}}$

W układzie prądu zmiennego do którego włączono cewkę indukcyjną o indukcyjności L powstaje siła elektromotoryczna samoindukcji. Napięcie na cewce jest co do wartości równe tej sile elektromotorycznej lecz ma przeciwny znak.

Na wykresie zaleŜności napięcia i natęŜenia prądu od czasu, maksima natęŜenia prądu pojawiają się później niŜ maksima napięcia o ¼ okresu t.j. natęŜenie prądu płynącego przez cewkę jest, opóźnione w fazie o π/2 względem napięcia na cewce. Stosunek maksymalnych wartości napięcia do natęŜenia prądu (a takŜe stosunek wartości skutecznych tych wielkości) nazywa się oporem indukcyjnym, który dla cewki o indukcyjności L wynosi

X_L= 2πf L.

Dla prądu przemiennego, gdy obwód zawiera szeregowo połączone: opór R, opór pojemnościowy X_C i indukcyjny X_L (bądź jeden z tych dwóch oporów), ze względu na przesunięcie fazowe, natęŜenie prądu nie jest proporcjonalne do napięcia w dowolnej chwili czasu, co świadczy o tym iż prawo Ohma dla pradu stalego nie jest spełnione. MoŜna natomiast pokazać, że spełnione jest tzw. „prawo Ohma dla prądu przemiennego”

Jeżeli do zacisków układu złożonego z szeregowo połączonych: rezystancji R, pojemności C i indukcyjności L przyłożymy siłę elektromotoryczną sinusoidalnie zmienną:

U=U₀sin ωt,

 

to w układzie popłynie prąd sinusoidalnie zmienny o natężeniu:

 

I=I₀sin (ωt+ϕ),

 

ϕ - przesunięcie fazowe między natężeniem prądu a siłą elektromotoryczną.

 

Między I₀ i E₀ zachodzi związek:     I₀=$\frac{U_{0}}{Z0}$

 

Powyższa zależność przedstawia prawo Ohma dla prądu przemiennego. Łatwo zauważyć, że rolę rezystancji w tym układzie prądu przemiennego spełnia Z zwane zawadą. Można wykazać, że jej wartość w takim układzie wynosi:                                                                                 

Z = [R² + (ωL - 1/ωC)² ]^1/2

 

Jeżeli obwód składa się z połączonych szeregowo rezystancji R i indukcyjności L wówczas zawadę możemy opisać wzorem:                           

 

Z = ( R²  + (ωL)² )^1/2

 

Przekształcając ten wzór możemy wyznaczyć indukcyjność L:

                                                                                                    

L= 1/2πf ^. [ (U/I)² - (R_L+R)² ]^1/2

 

W przypadku obwodu zawierającego rezystancję R i pojemność C zawada wyraża się wzorem :

                                         Z= (R²  +  (1/ωC)² )^1/2

 

Na podstawie tego wzoru możemy wyznaczyć pojemność C:

 

C=  1/(2πf ((U/I)² - R²   )^1/2 ).

 

Spis przyrządów użytych w doświadczeniu:

1. Generator napięcia sinusoidalnego PO 21

2. Woltomierz napięcia przemiennego. (typ M3860D)

3. Miliamperomierz prądu przemiennego. (typ M3860D)

4. Opornik dekadowy

5. Zestaw pojemności

6. Zestaw indukcyjności

Wybrany opór wewnętrzny: R= 500Ω

Wybrana częstotliwość : f = 500Hz

Wybrane typy kondensatory i cewki indukcyjnej: C₁₁, L₁₄ 

Opór wybranej cewki indukcyjnej: R_L= (51,5 +/- 0,5) Ω

2. Pomiary

• RC

Lp.	Usk [V]	∆Usk [V] ·10¯²	ZU [V]	Isk [A] ·10¯³	∆Isk [A] ·10¯³	ZI [A] ·10¯³
1	2,133	1,8	0,4	0,90	0,32	400
2	3,958	3,2		1,73	0,33
3	6,00	5,1	4,0	2,65	0,34
4	8,01	7,0		3,56	0,36
5	10,4	9,0		4,59	0,40
6	11,88	10		5,24	0,40
7	14,09	12		6,20	0,40
8	15,84	13		6,98	0,41
9	17,95	15		7,89	0,42
10	19,91	17		8,76	0,44
11	22,24	18		9,77	0,45
12	25,03	21		10,99	0,50

Tabela przedstawiająca zależność natężenia skutecznego od napięcia skutecznego w układzie RC

• RL

L.p.	Usk [V]	∆Usk [V] ·10¯²	ZU [V]	Isk [A] ·10¯³	∆Isk [A] ·10¯³	ZI [A]
1	0,022	0,05	0,40	0,02	0,3	400·10¯³
2	1,956	1,6		3,56	0,4
3	4,08	3,6	4,00	7,30	0,5
4	6,15	5,3		11,0	0,5
5	8,19	7,0		14,6	0,6
6	10,14	8,5		18,1	0,6
7	12,04	10		21,49	0,7
8	14,30	12		25,51	0,7
9	16,11	14		28,76	0,8
10	18,02	15		32,16	0,8
11	20,2	17		36,05	0,9
12	22,01	18		39,27	0,9
13	24,02	20		42,8	1,0
14	25,00	21		44,6	1,0

Tabela przedstawiająca zależność natężenia skutecznego od napięcia skutecznego w układzie RL

• RLC

L.p.	Usk [V]	∆Usk [V] ·10¯²	ZU [V]	Isk [A] ·10¯³	∆Isk [A] ·10¯³	ZI [A]
1	0,027	0,06	0,40	0,00	0	400·10¯³
2	1,98	1,6		0,9	0,32
3	3,995	3,3		1,85	0,33
4	5,96	5,1	4,00	2,74	0,35
5	8,01	5,7		3,69	0,36
6	10,28	8,6		4,73	0,37
7	12,33	11		5,67	0,39
8	14,09	12		6,46	0,40
9	16,20	14		7,40	0,42
10	17,93	15		8,20	0,43
11	19,88	17		9,10	0,44
12	21,83	18		10,0	0,45
13	24,21	20		11,08	0,50
14	24,93	21		11,40	0,50

Tabela przedstawiająca zależność natężenia

skutecznego od napięcia skutecznego w układzie RLC

• Zawady i obliczone wartości

ZC [Ω]	∆Zc [Ω]	C [F]	∆C [F]	$\frac{C}{C}$ [%]	ZL [Ω]	∆ZL [Ω]	L [H]	∆L [H]	$\frac{L}{L}$ [%]	Z1 [Ω]	∆Z1 [Ω]	Z2 [Ω]	Z2  [Ω]
2274	4,4	1,43 ·10¯⁷	3 ·10¯¹⁰	0,21	561	0,3	3,27 ·0¯²	1,4 ·10¯³	4,3	2187	2,4	2195	150

3. Analiza niepewności pomiarowych

∆R_L = 0, 5Ω niepewność wartości oporności cewki indukcyjnej (podana)

∆R = 0.1%R niepewność wartości oporności włączonego do układu opornika

∆U_sk = 0,8%U+3dgt

Dla zakresu 400mV: dgt=100μV

Dla zakresu 4V: dgt=1mV

niepewność wartości napięcia wynikająca z niedokładności miernika

∆I_sk = 1,5%I + 3dgt

(dla zakresu 400mV: dgt=100μA)

niepewność wartości natężenia wynikająca z niedokładności miernika

∆Z_C niepewność zawady pojemnościowej otrzymana metodą regresji liniowej

∆C =C $\frac{Z_{C}{Z}_{C} + RR}{Z_{C}^{2} - R}$ niepewność pojemności kondensatora

$\frac{C}{C}$ niepewność względna

Z_L  niepewność cewki indukcyjnej otrzymana metodą regresji l iniowej

∆L= L$\ \frac{Z_{L}{Z}_{L} + RR + R_{L}{R}_{L}}{Z_{L} - (R + R_{L})}$ niepewność indukcyjności cewki

∆Z₁ niepewność zawady otrzymana metodą regresji liniowej

∆Z₂ = $\frac{1}{Z_{2}}$ $\left\lbrack \left( R + R_{L} \right)\left( R + R_{L} \right) + \left| 2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC} \right|\left( 2\pi fL + \frac{C}{2\pi fC} \right) \right\rbrack$ niepewność zawady otrzymana drogą obliczeniową

∆f – przyjmuje się, że jest zaniedbywalnie mała

4. Przykładowe obliczenia

∆R=0.1%·500= 0,5 [Ω]

∆U_sk :

Dla zakresu 400mV; U₁ :   ∆U_sk = 0,8%2,133+3·10¯⁴=0,018 [V]

Dla zakresu 4V; U₃: U_sk = 0.8%·6,00+3·10¯³= 0,051 [V]

∆I_sk:

Dla zakresu 400mA; I₁: ∆I₁ = 1,5%·0,9·10¯³+3·10¯⁴=0,32·10¯³[A]

∆Z_C = 4,4 [Ω]

C=$\ \frac{1}{2\pi 500 \sqrt{\left( 2,274 10^{3} \right)^{2} - 500}}\ $= 1,43·10¯⁷ [F]

∆C = 1,43·10¯⁷ · $\frac{(2,274 10 4,4 + 500 0,5)}{\left( 2,274 10^{3} \right) - 500}\ $= 3·10¯¹⁰[F]

$\frac{C}{C}$ = $\frac{3 100}{1,43 107}$ ·100%= 0,21 %

∆Z_L = 0,3 [Ω]

L = $\frac{\sqrt{561 - (500 + 51,5)}}{2\pi 500}$ = 3,27·10¯² [H]

∆L = 3,27·10¯²· $\frac{(561 0,3 + 500 0,5 + 51,5 0,5)}{561 - (500 + 51,5)}$ = 1,4·10¯³ [H]

$\frac{L}{L}$ = $\frac{1,4 10}{3,27 10}$ ·100% = 4,3%

∆Z₁ = 2,4 [Ω]

Z₂ = $\sqrt{\left( 500 + 51,5 \right)^{2} + (2\pi 500 3,27 10 - \frac{1}{2\pi 500 1,43 {10}^{7}})}$ = 2,195·10³ [Ω]

∆Z₂ = $\frac{1}{2,195 10}$ $\left\lbrack \left( 500 + 51,5 \right)^{2}\left( 0,5 + 0,5 \right)^{2} + \left| 2\pi 500 3,27 10 - \frac{1}{2\pi 500 1,43 107} \right|(2\pi 500 1,4 10^{3} + \frac{3 100}{2\pi 500 (1,43 10^{7})} \right\rbrack$ = 150 [Ω]

5. Wnioski

Ćwiczenie miało na celu sprawdzenie prawa Ohma dla prądu sinusoidalnie zmiennego, jak również pomiar indukcyjności i pojemności cewek i kondensatorów.

Jeżeli w obwodzie wmontowany jest opór omowy oraz opory pojemnościowy i indukcyjny, to opór takiego układu nazywamy zawadą (impedancją) Z. Zależy ona od sposobu połączenia tych oporów. Oporów takich używamy do polepszenia pracy obwodu, a więc do podniesienia wartości mocy czynnej obwodu.

Błędy ΔL, ΔC i ΔZ obliczyłam metodą różniczki logarytmicznej. Błędy pomiaru I_sk oraz U_sk zaś, obliczyłam z klasy przyrządu.

Z pomiarów w układzie RLC narysowałam zależność U = f ( I). Wykres aproksymowano prostą. Do wyznaczenia zawady metodą regresji użyłam programu regresja liniowa, który wylicza współczynnik kierunkowy prostej wraz z niepewnością. Wynosi on Z₁= 2187 2,4 [Ω].

Zawada wyznaczona na podstawie obliczonych wartości L i C wynosi:

Z₂= 2195 150 [Ω].

Mimo, że wyniki się nie pokrywają, mogę powiedzieć że istnieje duża zbieżność wartości zawady wyznaczonej z charakterystyki i na podstawie obliczeń pojemności i indukcyjności. Dużo większa niepewność pomiaru wykonana metodą obliczeniową może wynikać z wielu niepewności użytych mierników.

Z uzyskanych wykresów U = f ( I ) wynika, że prąd jest wprost proporcjonalny do napięcia, czyli prawo Ohma jest spełnione dla napięcia zmiennego.