UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY IM. J. I J. ŚNIADECKICH W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ TELEKOMUNIKACJI, INFORMATYKI I ELEKTROTECHNIKI

INSTYTUT INŻYNIERII ELEKTRYCZNEJ

PROJEKT 1 Analiza liniowego obwodu elektrycznego prądu stałego z wieloma wymuszeniami

Autor projektu: Mariusz Jacob /imię i nazwisko/

Rok akademicki 2013\2014 Semestr II

Data oddania projektu ....................................... Data przyjęcia projektu .......................................

Spis treści

Treść zadania projektowego………………………………………………………….. str.3

1. Metoda praw Kirchhoffa…………………………………………………………… str.4

1.1 Wyznaczenie kierunków prądów gałęziowych……………………………………. str.4

1.2 Obliczenia wartości rozpływu prądów gałęziowych z wyznaczników macierzy

oraz z zapisanych równań I prawa Kirchhoffa……………………………………. str.5

1.3 Spadek napięcia na poszczególnych rezystancjach obwodu………………………. str.6

1.4 Moc wydzielona na poszczególnych rezystancjach obwodu………………………. str.6

1.5 Moc źródeł obwodu………………………………………………………………… str.7

1.6 Bilans mocy obwodu……………………………………………………………….. str.7

2. Metoda oczkowa.......................................................................................................... str.8

2.1 Wyznaczenie kierunku prądów oczkowych………………………………………. str.8

2. Obliczenia wartości rozpływu prądów oczkowych z wyznaczników macierzy…… str.9

3.Badanie symulacyjne……………………………………………………………….. str.10

1. Modelowanie obwodu elektrycznego z użyciem oprogramowania TCad…………. str.10

4.Literatura – programy……………………………………………………………… str.14

I. Dla danego obwodu elektrycznego obliczyć:

1. rozpływ prądów,

2. spadki napięć,

3. moc wydzieloną na rezystancji,

4. bilans mocy.

II. Obliczenia rozpływy prądów przeprowadzić dla dowolnie wybranych dwóch metod:

1. stosując prawa Kirchhoffa,

2. za pomocą metody oczkowej,

3. za pomocą metody węzłowej.

Rys.1 Obwód elektryczny

Dane:

R₁=1Ω, R₂=2 Ω, R₃=3Ω, R₄=4Ω, R₅=5Ω, R₆=6Ω, R₇=7Ω, R₈=8Ω,

E₁=10V, E₄=40V, E₅=50V, E₇=70V, J=1A

Dla ujednolicenia obwodu na rys.1 źródło prądowe zastąpiono źródłem napięciowym.

a) b)

Rys.2 a) szeregowo połączone źródło napięciowego E i rezystor R₈, b)równolegle połączone źródło prądowego J i rezystor R₈

Wartość źródła napięciowego obliczono z danych:

E = J*R₈=1A * 8Ω = 8V

Otrzymano następujący schemat obwodu:

Rys.3 Obwód po przekształceniach.

Ad. II. Obliczenia dla rozpływu prądów.

1. Metoda praw Kirchhoffa.

1.1 Wyznaczenie kierunków prądów gałęziowych.

Kolorem zielonym oznaczono kierunek obchodzenia oczka.

Rys.4 Obwód z zaznaczonymi prądami gałęziowymi.

$$\left\{ \begin{matrix} I_{1} = I_{2} + I_{3} \\ I_{3} + I_{5} = I_{6} \\ I_{5} = I_{7} + I_{8} \\ \left( R_{1} + R_{2} + R_{3} \right)I_{1} + R_{8}I_{2} = E - E_{1} \\ {- R}_{8}I_{2} + R_{4}I_{3} + R_{5}I_{6} + R_{6}I_{4} = E_{4} - E_{5} - E_{} \\ {- R}_{5}I_{6} - R_{7}I_{7} = 50 \\ {- R}_{7}I_{7} = 70 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} I_{1} = I_{2} + I_{3} \\ I_{3} + I_{5} = I_{6} \\ I_{5} = I_{7} + I_{8} \\ 6I_{1} + 8I_{2} = 8 - 10 \\ - 8I_{2} + 4I_{3} + 5I_{6} + 6I_{4} = 40 - 50 - 8 \\ - 5I_{6} - 7I_{7} = 50 \\ - 7I_{7} = 70 \\ \end{matrix} \right.\ $$

I₃ = I₄

$$\left\{ \begin{matrix} I_{1} = I_{2} + I_{3} \\ I_{3} + I_{5} = I_{6} \\ I_{5} = I_{7} + I_{8} \\ 6{(I}_{2} + I_{3}) + 8I_{2} = - 2 \\ - 8I_{2} + 4I_{3} + 5I_{6} + 6I_{3} = - 18 \\ - 5I_{6} - 7I_{7} = 50 \\ - 7I_{7} = 70 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} I_{1} = I_{2} + I_{3} \\ I_{3} + I_{5} = I_{6} \\ I_{5} = I_{7} + I_{8} \\ 14I_{2} + 6I_{3} = - 2 \\ - 8I_{2} + 10I_{3} + 5I_{6} = - 18 \\ - 5I_{6} - 7I_{7} = 50 \\ - 7I_{7} = 70 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Wyznacznik główny macierzy.

$\left| \begin{matrix} 14 & 6 & 0 & 0 \\ - 8 & 10 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 & - 7 \\ 0 & 0 & 0 & - 7 \\ \end{matrix} \right| = - 7*\left( - 1 \right)^{4 + 4}\left| \begin{matrix} 14 & 6 & 0 \\ - 8 & 10 & 5 \\ 0 & 0 & - 5 \\ \end{matrix} \right| = - 7*\left( - 940 \right) = \mathbf{6580}$

Wyznaczniki pomcnicze:

Drugi wiersz dodaję do trzeciego wiersza macierzy i zapisuję w 3 wierszu.

$\left| \begin{matrix} - 2 & 6 & 0 & 0 \\ - 18 & 10 & 5 & 0 \\ 32 & 10 & 0 & - 7 \\ 70 & 0 & 0 & - 7 \\ \end{matrix} \right| = 5*\left( - 1 \right)^{3 + 2}\left| \begin{matrix} - 2 & 6 & 0 \\ 32 & 10 & - 7 \\ 70 & 0 & - 7 \\ \end{matrix} \right| = - 5*\left( - 1456 \right) = \mathbf{7280}$

Drugi wiersz dodaję do trzeciego wiersza macierzy i zapisuję w 3 wierszu.

$\left| \begin{matrix} 14 & - 2 & 0 & 0 \\ - 8 & - 18 & 5 & 0 \\ - 8 & 32 & 0 & - 7 \\ 0 & 70 & 0 & - 7 \\ \end{matrix} \right| = 5*\left( - 1 \right)^{3 + 2}\left| \begin{matrix} 14 & - 2 & 0 \\ - 8 & 32 & - 7 \\ 0 & 70 & - 7 \\ \end{matrix} \right| = - 5*3836 = \mathbf{- 19180}$

Trzeci wiersz mnożę przez -1 i dodaję do czwartego wiersza.

$\left| \begin{matrix} 14 & 6 & - 2 & 0 \\ - 8 & 10 & - 18 & 0 \\ 0 & 0 & 50 & - 7 \\ 0 & 0 & 20 & 0 \\ \end{matrix} \right| = - 7*\left( - 1 \right)^{4 + 3}\left| \begin{matrix} 14 & 6 & - 2 \\ - 8 & 10 & - 18 \\ 0 & 0 & 20 \\ \end{matrix} \right| = - 7*\left( - 3760 \right) = \mathbf{26320}$

Drugi wiersz dodaję do trzeciego wiersza macierzy i zapisuję w 3 wierszu.

$\left| \begin{matrix} 14 & 6 & 0 & - 2 \\ - 8 & 10 & 5 & - 18 \\ - 8 & 10 & 0 & 32 \\ 0 & 0 & 0 & 70 \\ \end{matrix} \right| = 5*\left( - 1 \right)^{3 + 2}\left| \begin{matrix} 14 & 6 & - 2 \\ - 8 & 10 & 32 \\ 0 & 0 & 70 \\ \end{matrix} \right| = - 5*13160 = \mathbf{- 65800}$

1.2 Obliczenia wartości rozpływu prądów gałęziowych z wyznaczników macierzy oraz z zapisanych równań I prawa Kirchhoffa.

$$I_{2} = \frac{WI_{2}}{W} = \frac{7280}{6580} = \mathbf{1,106382979}\ \lbrack A\rbrack$$

$$I_{3} = \frac{WI_{3}}{W} = \frac{- 19180}{6580} = \mathbf{- 2,914893617}\ \lbrack A\rbrack$$

$$I_{6} = \frac{WI_{6}}{W} = \frac{26320}{6580} = \mathbf{4}\ \lbrack A\rbrack$$

$$I_{7} = \frac{WI_{7}}{W} = \frac{- 65800}{6580} = \mathbf{- 10}\ \lbrack A\rbrack$$

I₁ = I₂ + I₃ = 1, 106382979 + (−2,914893617) = −1, 808510638 [A]  

I₃ + I₅ = I₆

I₅ = I₆ − I₃ = 4 − (−2,914893617) = 6, 914893617 [A] 

I₅ = I₇ + I₈

I₈ = I₅ − I₇ = 6, 914893617 − (−10) = 16, 914893617 [A]

1.3 Spadek napięcia na poszczególnych rezystancjach obwodu.

U_R=R*I [V]

U_R1 = 1 * (−1,808510638) = −1, 808510638 [V]

U_R2 = 2 * (−1,808510638) = −3, 617021276 [V]

U_R3 = 3 * (−1,808510638) = −5, 425531914 [V]

U_R4 = 4 * (−2,914893617) = −11, 65957447 [V]

U_R5 = 5 * 4 = 20 [A]

U_R6 = 6 * −2, 914893617 = −17, 4893617 [V]

U_R7 = 7 * (−10) = −70 [V]

U_R8 = 8 * 1, 106382979 = 8, 851063832 [V]

1.4 Moc wydzielona na poszczególnych rezystancjach obwodu.

P=U*I [W]

P_R1 = ( − 1, 808510638)*(−1, 808510638)=3, 270710728 [W]

P_R2 = ( − 3, 617021276)*(−1, 808510638)=6, 541421456 [W]

P_R3 = ( − 5, 425531914)*(−1,808510638) = 9, 812132183 [W]

P_R4 = ( − 11, 65957447)*(−2,914893617) = 33, 98641919 [W]

P_R5 = 20 * 4 = 80 [W]

P_R6 = −17, 4893617 * −2, 914893617 = 50, 97962879 [W]

P_R7 = (−70) * (−10) = 700 [W]

P_R8 = 8, 851063832 * 1, 106382979 = 9, 79266637 [W]

Całkowita moc wydzielona na poszczególnych rezystancjach obwodu.

P_R1 + P_R2 + P_R3 + P_R4 + P_R5 + P_R6 + P_R7 + P_R8 = 894, 3829787 [W]

1.5 Moc źródeł obwodu.

P=E*I [W]

P_E1 = 10 * (−1,808510638) = −18, 08510638 [W]

P_E = −8 * 1, 106382979 = −8, 851063832 [W]

P_E4 = (−40) * (−2,914893617) = 116, 5957447[W]

P_E5 = 50 * 4 = 200 [W]

P_E7 = (−70) * 16, 91489362 = −1184, 042553 [W]

Całkowita moc wydzielona na źródłach

P_E1 + P_E + P_E4 + P_E5 + P_E7 = −894, 3829787 [W]

1.6 Bilans mocy obwodu.

P_R − P_E = 894, 3829787 − 894, 3829787 = 0 [W]

P_R - moc wydzielona na rezystancjach obwodu.

P_E - moc wydzielona na źródłach obwodu.

Ad. II Obliczenia dla rozpływu prądów.

2. Metoda oczkowa.

2.1 Wyznaczenie kierunku prądów oczkowych.

Rys.5 Obwód z zaznaczonymi prądami oczkowymi.

$$\left\{ \begin{matrix} \left( R_{1} + R_{2} + R_{3} + R_{8} \right)I_{11} - R_{8}I_{22} = - E_{1} + E \\ {- R}_{8}I_{11} + \left( R_{4} + R_{5} + R_{6} + R_{8} \right)I_{22} - R_{5}I_{33} = E_{4} - E_{5} - E \\ {- R}_{5}I_{22} + \left( R_{5} + R_{7} \right)I_{33} - R_{7}I_{44} = 50 \\ {- R}_{7}I_{33} + R_{7}I_{44} = - 70 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} 14I_{11} - 8I_{22} = - 10 + 8 \\ - 8I_{11} + 23I_{22} - 5I_{33} = 40 - 50 - 8 \\ - 5I_{22} + 12I_{33} - 7I_{44} = 50 \\ - 7I_{33} + 7I_{44} = - 70 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Wyznacznik główny macierzy.

Wiersz trzeci dodaję do wiersza czwartego i zapisuję w wierszu czwartym.

$\left| \begin{matrix} 14 & - 8 & 0 & 0 \\ - 8 & 23 & - 5 & 0 \\ 0 & - 5 & 12 & - 7 \\ 0 & 0 & - 7 & 7 \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 14 & - 8 & 0 & 0 \\ - 8 & 23 & - 5 & 0 \\ 0 & - 5 & 12 & - 7 \\ 0 & 5 & 5 & 0 \\ \end{matrix} \right| = - 7*\left( - 1 \right)^{4 + 3}\left| \begin{matrix} 14 & - 8 & 0 \\ - 8 & 23 & - 5 \\ 0 & - 5 & 5 \\ \end{matrix} \right| =$

=7 * 940 = 6580

Wyznaczniki pomocnicze.

Wiersz trzeci dodaję do wierszu czwartego i zapisuję w wierszu czwartym

$\left| \begin{matrix} - 2 & - 8 & 0 & 0 \\ - 18 & 23 & - 5 & 0 \\ 50 & - 5 & 12 & - 7 \\ - 70 & 0 & - 7 & 7 \\ \end{matrix} \right|$=$\left| \begin{matrix} - 2 & - 8 & 0 & 0 \\ - 18 & 23 & - 5 & 0 \\ 50 & - 5 & 12 & - 7 \\ - 20 & - 5 & 5 & 0 \\ \end{matrix} \right| = - 7*\left( - 1 \right)^{4 + 3}\left| \begin{matrix} - 2 & - 8 & 0 \\ - 18 & 23 & - 5 \\ - 20 & - 5 & 5 \\ \end{matrix} \right| =$

=7 * (−1700) = −11900

Wiersz trzeci dodaję do wierszu czwartego i zapisuję w wierszu czwartym

$\left| \begin{matrix} 14 & - 2 & 0 & 0 \\ - 8 & - 18 & - 5 & 0 \\ 0 & 50 & 12 & - 7 \\ 0 & - 70 & - 7 & 7 \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 14 & - 2 & 0 & 0 \\ - 8 & - 18 & - 5 & 0 \\ 0 & 50 & 12 & - 7 \\ 0 & - 20 & 5 & 0 \\ \end{matrix} \right| = - 7*\left( - 1 \right)^{4 + 3}\left| \begin{matrix} 14 & - 2 & 0 \\ - 8 & - 18 & - 5 \\ 0 & - 20 & 5 \\ \end{matrix} \right| =$

=7 * (−2740) = −19180

Wiersz trzeci dodaję do wierszu czwartego i zapisuję w wierszu czwartym

$\left| \begin{matrix} 14 & - 8 & - 2 & 0 \\ - 8 & 23 & - 18 & 0 \\ 0 & - 5 & 50 & - 7 \\ 0 & 0 & - 70 & 7 \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 14 & - 8 & - 2 & 0 \\ - 8 & 23 & - 18 & 0 \\ 0 & - 5 & 50 & - 7 \\ 0 & - 5 & - 20 & 0 \\ \end{matrix} \right| = - 7*\left( - 1 \right)^{4 + 3}\left| \begin{matrix} 14 & - 8 & - 2 \\ - 8 & 23 & - 18 \\ 0 & - 5 & - 20 \\ \end{matrix} \right| =$

=7 * (−6500) = −45500

$$\left| \begin{matrix} 14 & - 8 & 0 & - 2 \\ - 8 & 23 & - 5 & - 18 \\ 0 & - 5 & 12 & 50 \\ 0 & 0 & - 7 & - 70 \\ \end{matrix} \right| = - 111300$$

2.2 Obliczenia wartości rozpływu prądów oczkowych z wyznaczników macierzy.

$$I_{11} = \frac{WI_{11}}{W} = \frac{- 11900}{6580} = \mathbf{- 1,808510638}\mathbf{\ }\lbrack A\rbrack$$

$$I_{22} = \frac{WI_{22}}{W} = \frac{- 19180}{6580} = \mathbf{- 2,914893617}\ \lbrack A\rbrack$$

$$I_{33} = \frac{WI_{33}}{W} = \frac{- 45500}{6580} = \mathbf{- 6,914893617\ }\lbrack A\rbrack$$

$$I_{44} = \frac{WI_{44}}{W} = \frac{- 111300}{6580} = \mathbf{- 16,91489362}\ \lbrack A\rbrack$$

Z wyznaczonych prądów oczkowych wyznaczamy kolejno prądy gałęziowe, jako arytmetyczne kombinacje obliczonych prądów oczkowych. Należy uprzednio zaznaczyć zwrot prądów w poszczególnych gałęziach obwodu. Zwroty gałęziowe zostały zaznaczone podobnie jak w metodzie praw Kirchhoffa.

Rys.6 Zwroty prądów oczkowych, gałęziowych dla metody oczkowej.

I₁ = I₁₁ = −1, 808510638 [A]

I₂ = I₁₁ − I₂₂ = −1, 808510638 − (−2,914893617) = 1, 106382979 [A]

I₃ = I₂₂ = −2, 914893617 [A]

I₆ = I₂₂ + I₃₃ = 4 [A]

I₈ = −I₄₄ = −(−16,91489362)=16, 91489362 [A]

I₇ = −I₃₃ + I₄₄ = −(−6,914893617) + (−16,91489362)=−10 [A] 

Na tym etapie rozwiązywania zadania metodą oczkową można stwierdzić, że uzyskane w obliczeniach wartości prądów gałęziowych są takie same jak wartości prądów gałęziowych w metodzie praw Kirchhoffa. Dalsze obliczenia:

- spadków napięć na rezystancjach obwodu,

- mocy wydzielonej na rezystancjach,

- mocy źródeł

- bilansu mocy w obwodzie

można potraktować jako wykonane w punkcie II. podpunkt 1.3 dotyczącym obliczeń metody praw Kirchhoffa.

3. Badanie symulacyjne

   1. Modelowanie obwodu elektrycznego z użyciem oprogramowania TCad.

Komputerowe programy symulacyjne dają możliwość badania układów elektronicznych bez potrzeby zastosowania niezbędnych w laboratoriach fizycznych urządzeń pomiarowych oraz podzespołów laboratoryjnych. Obecnie powszechnie wykorzystuje się możliwości, jakie dają nam programy komputerowe wykonując za ich pomocą szereg skomplikowanych pomiarów oraz analiz, które już na etapie symulacji pozwalają projektantom wyszukać oraz poprawić ewentualne błędy. Dzięki zastosowaniu badań symulacyjnych czas wykonania projektu ulega znacznemu skróceniu a liczba błędów w projektowanym urządzeniu zostaje ograniczona do minimum.

Dla celów porównawczych uzyskanych obliczeń metodami: praw Kirchhoffa oraz metodą oczkową skorzystano z programu TCad, który pozwolił zasymulować układ projektowy. Umożliwiło to dodatkowo w sposób wizualny przedstawić oraz potwierdzić wyniki wcześniejszych obliczeń. Układ projektowy bazuje na idealnych źródłach napięciowych, nie posiadających oporności wewnętrznych. Natomiast źródła układu symulacyjnego muszą posiadać taką oporność. Dlatego w prezentowanym poniżej obwodzie symulacyjnym wartości oporności wewnętrznych źródeł ustalono na poziomie, który nie będzie wnosił zbyt dużego błędu do wyniku pomiarowego. Rezystancja wewnętrzna wszystkich źródeł napięciowych wynosi 10^-4 Ω.

Rys.7 Przykładowa rezystancja wewnętrzna źródła napięciowego.

Rys.8 Model obwodu elektrycznego w oknie symulatora TCad.

Wizualny rozpływ prądów w obwodzie z rysunku 8.

Rys.9 Przebieg prądu I₁ w obwodzie.

Rys.10 Przebieg prądu I₂ w obwodzie.

Rys.11 Przebieg prądu I₃ w obwodzie.

Rys.12 Przebieg prądu I₄ w obwodzie.

Rys.13 Przebieg prądu I₅ w obwodzie.

Rys.14 Przebieg prądu I₆ w obwodzie.

Rys.15 Przebieg prądu I₇ w obwodzie.

Rys.16 Przebieg prądu I₈ w obwodzie.

Przedstawione powyżej diagramy wartości prądów gałęziowych potwierdzają wcześniejsze obliczenia. Jeśli wartości prądów się potwierdzają to i wartości spadków napięć na elementach obwodu będą identyczne z obliczonymi. Będąc konsekwentnym wartości wydzielonej mocy na elementach obwodu, moc źródeł oraz bilans mocy będzie taki sam.

3. Literatura – programy

Piotr Ciechanowicz - Jerzy Dziedzic, Zbiór zadań z elektrotechniki teoretycznej

TCad – oprogramowanie służące do symulacji obwodów energoelektroniki.

PSpice Student – oprogramowanie służące do symulacji obwodów energoelektroniki.