Stateczność prętów – dopuszczalne obciążenia

a)

Dane do obliczeń :

l=2000mm

E = 2 * 10⁵MPa

σ_pl = 240MPa

σ_H = 200MPa

n_w = 5

u = 1

Teownik 120x60x20/10

b=120 mm

h = 60mm

g₁ = 20mm

g₂ = 10mm

I_min =  709242, 45mm²

A = 2200 mm²

Minimalny promień bezwładności:

$$i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}}$$

I_min = 709242, 45 mm⁴

A = 2200 mm²

$$i_{\min} = \sqrt{\frac{709242,45}{2200}}$$

i_min = 17, 955 mm

Wyznaczanie smukłości granicznej:

$$S_{\text{gr}} = \ \pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_{H}}}$$

σ_H = 200

$S_{\text{gr}} = \ \pi\sqrt{\frac{2*10^{5}}{200}} = \mathbf{99,35\ MPa}$ – smukłość graniczna

Smukłość graniczna wg wzoru Eulera

$$S_{o} = \ \pi\sqrt{\frac{2E}{\sigma_{\text{pl}}}}$$

$S_{\text{gr}E} = \ \pi\sqrt{\frac{2*2*10^{5}}{240}} = \mathbf{128,25\ MPa -}$smukłość graniczna

wg wzoru Eulera

Obliczanie smukłości pręta teowego:

$$S = \frac{l_{r}}{i_{m}}$$

l_r = 1 *  2000 = 2000 mm

$$S = \frac{l_{r}}{i_{m}} = \frac{2000}{17,955} = \mathbf{111,39}$$

S >  S_gr

Wyznaczona smukłość jest wyższa od smukłości granicznej – pręt odkształca się sprężyście

Siła krytyczna wyznaczana jest ze wzoru Eulera:

$$P_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}E*I_{\min}}{l_{r}^{2}} = 65009,2N = \mathbf{65}\mathbf{\text{kN}}$$

$$\sigma_{\text{kr}} = \ \ \frac{P_{\text{kr}}}{A} = 29,55\ MPa$$

Wyznaczanie dopuszczalnej siły ściskającej:

$$P_{\text{dop}} = \frac{P_{\text{kr}}}{n_{w}}$$

P_dop = 13kN

b)

Dane do zadania zostały pobrane z tablic dotyczących konkretnego dwuteownika o oznaczeniu 180PE.

h = 180

I_x =  1320

I_y =  101

A = 23, 9 cm²

E = 2 * 10⁵MPa

σ_pl = 240MPa

σ_H = 200MPa

Minimalny promień bezwładności:

$$i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}}$$

I_min = 101 cm⁴

A = 23, 9 cm²

i_min = 2, 05

1. Euler – zakres odkształceń sprężystych:

S >  S_gr

$$S_{\text{gr}} = \ \pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_{H}}}$$

σ_H = 200

$$S_{\text{gr}} = \ \pi\sqrt{\frac{2*10^{5}}{200}} = \mathbf{99,35\ MPa}$$

$$\mathbf{P}_{\mathbf{\text{kr}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{E*}\mathbf{I}_{\mathbf{\min}}}{\mathbf{l}_{\mathbf{r}}^{\mathbf{2}}}$$

l_r = l * α

l_r = dlugosc zredukowana

l = dlugosc preta

α = wspolczynnik dlugosci zredukowanej

1. Tetmajer– zakres odkształceń sprężysto-plastycznych:

S <  S_gr

σ_T=a₁−b₁*s

a₁ = σ_p = 240 MPa

$$b_{1} = \ \frac{\sigma_{\text{pl}} - \sigma_{H}}{\pi}*\sqrt{\frac{\sigma_{H}}{E}} = 0,403$$

1. Johnson-Ostenfald - zakres odkształceń sprężysto-plastycznych:

σ_T = a₁ − b₁ * s²

$$\sigma_{\text{kr}} = \ \sigma_{\text{pl}} - \ \frac{\sigma_{\text{pl}}}{4*\pi^{2}*E}*s^{2}$$

P_kr = A * σ_T= 492,29kN

1. Przypadek pierwszy

$$s = \frac{l_{r}}{i_{m}} = \frac{200}{2,05} = 97,56$$

l_r = 1 *  200 = 200 cm

Przyjęty został skrajny zakres odkształceń sprężystych

Obliczenia według wzoru Eulera

$$P_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}E*I_{\min}}{l_{r}^{2}} = 498415,02N = \mathbf{498}\mathbf{\text{kN}}$$

1. Przypadek drugi

$$s = \frac{l_{r}}{i_{m}} = \frac{400}{2,05} = 195,121$$

l_r = 2 * 200 = 400cm

s >  s_gr

Przyjęty został zakres odkształceń sprężystych

Obliczenia według wzoru Eulera

$$P_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}E*I_{\min}}{l_{r}^{2}} = 124603,76N = \mathbf{124,603}\mathbf{\text{kN}}$$

1. Przypadek trzeci

$$s = \frac{l_{r}}{i_{m}} = \frac{140}{2,05} = 68,29$$

l_r = 0, 7 * 200 = 140cm

s <  s_gr

Zakres odkształceń sprężysto-plastycznych

1. Obliczenia według wzoru Tetmajera

σ_T = a₁ − b₁ * s

$$\sigma_{T} = \ \sigma_{\text{pl}} - \ \frac{\sigma_{\text{pl}} - \sigma_{H}}{\pi}*\sqrt{\frac{\sigma_{H}}{E}}*s = 212,48$$

P_kr = A * σ_T= 507,83kN

1. Obliczenia według wzoru Johnsona-Ostenfalda

σ_kr = a₁ − b₁ * s²

$$\sigma_{\text{kr}} = \ 240 - \ \frac{240}{4*\pi^{2}*2*10^{5}}*{68,29}^{2} = 205,98$$

P_kr = A * σ_T= 492,29kN

1. Przypadek czwarty

$$s = \frac{l_{r}}{i_{m}} = \frac{100}{2,05} = 48,78$$

l_r = 0, 5 * 200 = 100cm

s <  s_gr

Zakres odkształceń sprężysto-plastycznych

1. Obliczenia według wzoru Tetmajera

σ_T = a₁ − b₁ * s

$$\sigma_{T} = \ \sigma_{\text{pl}} - \ \frac{\sigma_{\text{pl}} - \sigma_{H}}{\pi}*\sqrt{\frac{\sigma_{H}}{E}}*s = 220,34$$

P_kr = A * σ_T= 526,62kN

1. Obliczenia według wzoru Johnsona-Ostenfalda

σ_kr = a₁ − b₁ * s²

$$\sigma_{\text{kr}} = \ 240 - \ \frac{240}{4*\pi^{2}*2*10^{5}}*{48,78}^{2} = 222,64$$

P_kr = A * σ_T= 531,11kN