UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita

1

ZADANIA - Seria 3, Przestrzenie liniowe; podprzestrzenie, baza i wymiar przestrzeni liniowej

1. Dwa wektory v

1

i v

2

z przestrzeni liniowej V nad ciałem liczb rzeczywistych R są liniowo

niezależne. Dla jakich liczb



R wektory



v

1

+ v

2

i v

1

+



v

2

są również liniowo niezależne?

2. Niech V oznacza dwuwymiarową przestrzeń liniową nad 3-elementowym ciałem K. Wyznaczyć:

a) liczbę wektorów przestrzeni V,
b) pary wektorów liniowo zależnych,
c) liczbę baz przestrzeni V.

3. Wykazać, że liczba postaci

3

2





x

spełnia równanie stopnia czwartego o współczynnikach

całkowitych.

Wskazówka: Zauważyć, że liczby:

4

3

2

,

,

,

,

1

x

x

x

x

mogą być traktowane jako elementy

4-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych Q , rozpiętej przez wektory:

6

,

3

,

2

,

1









t

s

r

p

.

4. Określić postać funkcji kwadratowej

c

bx

ax

x

f







2

)

(

takiej, że

2

)

1

(





f

,

3

)

0

(



f

,

1

)

2

(





f

, bez rozwiązywania układu równań na współczynniki a, b, c.

Wskazówka: Wybrać w 3-wymiarowej przestrzeni liniowej funkcji kwadratowych bazę złożoną

z funkcji:

3

2

1

,

,

f

f

f

takich, że dla k,l = 1,2,3 oraz

2

,

0

,

1

3

2

1









x

x

x

kl

l

k

x

f





)

(

, gdzie













l

k

gdy

l

k

gdy

kl

0

1



określając ich postać w oparciu o twierdzenie Bezout. Następnie przedstawić funkcję f
jako kombinację liniową funkcji

k

f .

5. Wykazać, że następujące zbiory wektorów w przestrzeni liniowej

5

R

tworzą podprzestrzenie

liniowe. Wyznaczyć bazy i wymiary tych podprzestrzeni:

a) pierwsza i ostatnia współrzędne są sobie równe,
b) parzyste współrzędne są sobie równe,
c) nieparzyste współrzędne są sobie równe.

6. Zbiór nieskończonych ciągów

,...)

,

(

2

1

x

x

x



liczb rzeczywistych

R

x

i



, jest nieskończenie

wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem R ( dodawanie ciągów i mnożenie ciągu przez liczbę ).
Sprawdzić czy podzbiór ciągów o podanych warunkach jest podprzestrzenią liniową:

a)

)

(

k

x

jest ciągiem arytmetycznym,

b)

)

(

k

x

jest ciągiem geometrycznym,

c)

0

:

200







k

x

k

,

d)

0

:

200







k

x

k

.

7. Wykazać liniową niezależność układu funkcji:

x

x

x

x

x

x

3

cos

,

3

sin

,

2

cos

,

2

sin

,

cos

,

sin

UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita

2

ZADANIA - Seria 3 - Uwagi, szkice rozwiązań.

1. Dwa wektory

v

u ,

, należące do przestrzeni liniowej V nad ciałem K, są liniowo zależne, gdy

oba należą do jednowymiarowej podprzestrzeni

0

V

rozpiętej przez niezerowy wektor

u

(lub

v

), Podprzestrzeń

0

V

jest zbiorem wektorów postaci

u



(lub

v



) , gdzie

K





.

Załóżmy, że wektory niezerowe

2

1

v

av

u





i

2

1

v

v

v







są liniowo zależne. Wtedy

)

(

2

1

2

1

v

v

v

v













,

R







,

czyli

0

)

(

)

1

(

2

1









v

v







. Z liniowej niezależności wektorów

1

v

i

2

v

otrzymujemy

0

1







i

0









.

Stąd

1







gdy wektory

v

u ,

są liniowo zależne. Jeśli

1







to wektory

v

u ,

są liniowo

niezależne.

2. Ciało 3-elementowe jest izomorficzne z ciałem liczbowym

3

Z

={0,1,2} ( dodawanie i mnożenie

modulo 3). Dwuwymiarowa przestrzeń liniowa V jest rozpięta nad ciałem

3

Z

przez dwa niezerowe

wektory

2

1

, v

v

tworzące bazę w V . Jest ona złożona z wektorów postaci

2

2

1

1

v

v

v









, gdzie

2

,

1

,

0

,

2

1







to współrzędne wektora

v

w bazie

2

1

, v

v

. We współrzędnych:

)

,

(

2

1







v

.

Liczba wektorów przestrzeni V wynosi więc

9

3

2





N

:

}

)

2

,

2

(

,

)

1

,

2

(

,

)

0

,

2

(

,

)

2

,

1

(

,

)

1

,

1

(

,

)

0

,

1

(

,

)

2

,

0

(

,

)

1

,

0

(

,

)

0

,

0

(

{



V

W tym przypadku każda jednowymiarowa podprzestrzeń liniowa składa się z trzech wektorów:

u

u 2

,

,

0

. Na przykład: jeśli

)

2

,

1

(



u

to

)

1

,

2

(

2



u

bowiem

2

1

2

1

2

1

2

1

2

)

2

2

(

2

)

2

(

2

2

)

2

(

2

v

v

v

v

v

v

v

v

















W ten sposób otrzymuje się cztery pary wektorów liniowo zależnych:

)

1

,

2

(

)

2

,

1

(

),

2

,

2

(

)

1

,

1

(

,

)

0

,

2

(

)

0

,

1

(

,

)

2

,

0

(

)

1

,

0

(

i

i

i

i

Tworząc bazę ( uporządkowany układ dwóch wektorów liniowo niezależnych ) wybieramy po
jednym wektorze z powyższych czterech par. Można to zrobić na k sposobów:

48

2

2

2

2

4























k

lub

48

2

)

2

2

4

2

6

2

(

















k

3. Szukamy skończenie wymiarowej podprzestrzeni liniowej V w przestrzeni liniowej liczb

rzeczywistych R nad ciałem liczb wymiernych Q takiej, że kolejne potęgi liczby

3

2





x

należą do V. Przestrzeń V jest rozpięta przez cztery wektory (liczby rzeczywiste):

6

,

3

,

2

,

1









t

s

r

p

bowiem kolejne potęgi

x

(w szczególności

4

3

2

,

,

,

,

1

x

x

x

x

)

są kombinacjami liniowymi liczb p,r,s,t , o współczynnikach wymiernych. Na przykład

t

p

x

2

5

6

2

5

2









. Ale każdy układ pięciu wektorów (w szczególności

4

3

2

,

,

,

,

1

x

x

x

x

)

jest liniowo zależny w czterowymiarowej przestrzeni V. Oznacza to, że istnieje niezerowy układ
liczb wymiernych

0

1

2

3

4

,

,

,

,

a

a

a

a

a

takich, że

0

0

1

2

2

3

3

4

4











a

x

a

x

a

x

a

x

a

Mnożąc obie strony przez wspólny mianownik liczb

0

1

2

3

4

,

,

,

,

a

a

a

a

a

otrzymuje się równanie o

współczynnikach całkowitych.

UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita

3

ZADANIA - Seria 3 - Uwagi, szkice rozwiązań – c.d.

4. Zbiór funkcji kwadratowych

c

bx

ax

x

f







2

)

(

,

R

c

b

a



,

,

stanowi 3-wymiarową

przestrzeń liniową V nad ciałem

R

, rozpiętą przez wektory:

2

3

2

1

)

(

,

)

(

,

1

)

(

x

x

g

x

x

g

x

g







Z uwagi na fakt, że przyporządkowanie funkcji f jej wartości

)

(

0

x

f

w wybranym punkcie

0

x

ma charakter liniowy wygodnie jest w tym przypadku wybrać bazę w przestrzeni V złożoną z
funkcji kwadratowych :

3

2

1

,

,

f

f

f

takich, że

dla

3

,

2

,

1

,



l

k

oraz

2

,

0

,

1

3

2

1









x

x

x

kl

l

k

x

f





)

(

, gdzie













l

k

gdy

l

k

gdy

kl

0

1



Korzystając z twierdzenia

Bezout ( wielomian

)

(x

W

jest podzielny przez

0

x

x



jeśli

0

)

(

0



x

W

) otrzymuje się następujące postaci funkcji

3

2

1

,

,

f

f

f

:

)

2

(

3

1

)

(

1





x

x

x

f

,

)

2

)(

1

(

2

1

)

(

2









x

x

x

f

,

)

1

(

6

1

)

(

3





x

x

x

f

Poszukiwana funkcja jest następującą kombinacją liniową

funkcji

3

2

1

,

,

f

f

f

:

)

1

(

6

1

)

2

)(

1

(

2

3

)

2

(

3

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

3

3

2

2

1

1





















x

x

x

x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

3

)

(

2







x

x

f

5. We wszystkich przypadkach określone zbiory są domknięte względem dodawania wektorów w

5

R

i ich mnożenia przez liczbę:

a)

)

,

,

,

,

(

)

,

,

,

,

(

)

,

,

,

,

(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

a

a

d

d

c

c

b

b

a

a

a

d

c

b

a

a

d

c

b

a















)

,

,

,

,

(

)

,

,

,

,

(

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

a

d

c

b

a

a

d

c

b

a















Podobnie dla b) i c).

Tworzą więc one podprzestrzenie liniowe.

a) Bazę stanowią wektory:

)

10

,

0

,

0

,

0

(

,

)

0

,

0

,

1

,

0

,

0

(

,

)

0

,

0

,

0

,

1

,

0

(

,

)

1

,

0

,

0

,

0

,

1

(

4

3

2

1









v

v

v

v

bowiem

4

3

2

1

)

,

,

,

,

(

dv

cv

bv

av

d

b

c

b

a









. Podprzestrzeń ma wymiar 4.

b) Bazę stanowią wektory:

)

1

,

0

,

0

,

0

,

0

(

,

)

0

,

0

,

1

,

0

,

0

(

,

)

0

,

1

,

0

,

1

,

0

(

,

)

0

,

0

,

0

,

0

,

1

(

4

3

2

1









v

v

v

v

bowiem

4

3

2

1

)

,

,

,

,

(

dv

cv

bv

av

d

b

c

b

a









. Podprzestrzeń ma wymiar 4.

c) Bazę stanowią wektory:

)

10

,

0

,

0

,

0

(

,

)

0

,

0

,

0

,

1

,

0

(

,

)

1

,

0

,

1

,

0

,

1

(

3

2

1







v

v

v

bowiem

3

2

1

)

,

,

,

,

(

cv

bv

av

a

c

a

b

a







. Podprzestrzeń ma wymiar 3.

UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita

4

ZADANIA - Seria 3 - Uwagi, szkice rozwiązań – c.d.

6. Podzbiór ciągów o podanych warunkach jest podprzestrzenią liniową V jeśli:

1) suma dwóch dowolnych ciągów o podanych warunkach również spełnia podany warunek,

2) ciąg o podanych warunkach pomnożony przez liczbę także spełnia podany warunek.

a) TAK
Ciąg arytmetyczny spełnia warunek:

r

x

x

N

k

k

k











1

, gdzie

r

jest ustaloną liczbą

rzeczywistą. Wystarczy zauważyć, że dla sumy dwóch ciągów arytmetycznych

)

(

k

x



i

)

(

k

x



r

r

x

x

x

x

k

k

k

k



























)

(

1

1

, a dla

R







r

x

x

k

k

















1

b) NIE

Ciąg geometryczny spełnia warunek:

k

k

k

x

x

x

N

k

2

2

1











. Istnieją takie ciągi

geometryczne, dla których suma nie jest ciągiem geometrycznym. Na przykład

,...)

8

,

4

,

2

,

1

(





x

,

,...)

27

,

9

,

3

,

1

(





x

. Wtedy

)

)(

(

72

25

)

(

1

1

3

3

2

2

2

x

x

x

x

x

x

























c) NIE
Istnieją takie dwa ciągi spełniające warunek:

0

:

200







k

x

k

, natomiast ich suma

warunku tego nie spełnia. Na przykład

1





k

x

dla

300



k

,

0

300





x

;

1





k

x

dla

400



k

,

0

400





x

d) TAK
Wystarczy zauważyć, że dla sumy dwóch ciągów

)

(

k

x



i

)

(

k

x



takich, że

0

:

200









k

x

k

i

0

:

200









k

x

k

zachodzi również:

0

:

200













k

k

x

x

k

a dla

R







0





k

x



.

7. Dowód typu nie wprost.

Załóżmy, że funkcje

x

x

x

x

x

x

3

cos

,

3

sin

,

2

cos

,

2

sin

,

cos

,

sin

są liniowo zależne. Wtedy

istnieje kombinacja liniowa tych funkcji

równa wektorowi zerowemu,

mająca przynajmniej

jeden współczynnik różny od zera:

0

3

cos

3

sin

2

cos

2

sin

cos

sin













x

f

x

e

x

d

x

c

x

b

x

a

Dobierając sprytnie punkty x otrzymuje się proste układy równań liniowych na współczynniki

f

e

d

c

b

a

,

,

,

,

,

.

Kładąc

0



x

i





x

mamy

0



e

i

f

d





.

Kładąc

6

/







x

mamy

0



d

. Stąd

0







f

e

d

.

Następnie kładąc

3

/





x

i

3

/

2





x

mamy

b

a





0

. Ostatecznie kładziemy

2

/





x

, skąd

0



c

. Otrzymujemy sprzeczność.

Wynika stąd, że funkcje

x

x

x

x

x

x

3

cos

,

3

sin

,

2

cos

,

2

sin

,

cos

,

sin

są liniowo niezależne.