UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 7
1. Uzasadnić na przykładzie podanej macierzy, że dwa poniższe zagadnienia nie są równoważne:
1. Wyznaczenie powłoki liniowej ( ustalenie bazy ) rozpiętej przez
wektory kolumnowe macierzy metodą operacji elementarnych.
2. Wybranie maksymalnego układu wektorów liniowo niezależnych
spośród wektorów kolumnowych macierzy metodą wyznacznikową
( maksymalny minor różny od zera ).
0
0
1
2
1
1
1
1
1
0
0
0
1
2
1
1
2
1
0
1
2. Wyznaczyć macierz odwrotną do podanej macierzy
A
, korzystając ze wzoru na macierz
dopełnień. Rozwiązać układ równań liniowych postaci
b
Ax
, gdzie
a
a
a
a
A
1
1
1
1
1
,
1
2
1
b
korzystając z postaci macierzy odwrotnej oraz ze wzorów Cramera.
3. Obliczyć wyznaczniki:
a)
1
1
1
4
1
1
4
1
1
4
1
1
4
1
1
1
b)
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
c)
4
3
2
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
a
a
a
a
4. Wykazać, korzystając z postaci wyznacznika Vandermonde’a
1
1
1
1
1
)
(
)
(
1
1
)
,
...
,
(
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
V
że wielomiany:
1
,
...
,
1
,
0
,
n
i
x
w
i
i
są liniowo niezależne.
5. Niech
)
...
(
1
n
a
a
oznacza wyznacznik z macierzy o elementach:
i
ii
a
a
,
1
1
,
i
i
a
,
1
,
1
i
i
a
, pozostałe
0
,
j
i
a
,
n
i
,...,
1
( patrz zadanie 3c , gdzie
4
n
). Wykazać,
że ułamek łańcuchowy związany jest następującym wzorem z wyznacznikami
typu
)
...
(
1
n
a
a
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
1
)
...
(
)
...
(
3
2
1
2
1
6. Kładąc w macierzy z zadania 5
1
ii
a
, otrzymuje się wyznacznik oznaczony symbolem
n
)
1
...
1
(
.
Niech
n
c oznaczają kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego, zdefiniowanego następująco:
1
,
1
,
1
1
2
2
1
n
dla
c
c
c
c
c
n
n
n
Wykazać, że
n
n
c
)
1
...
1
(
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
2
ZADANIA - Seria 7 – Uwagi, szkice rozwiązań
1. Po dokonaniu dostatecznej ilości operacji elementarnych na kolumnach macierzy uzyskujemy
maksymalny układ k wektorów kolumnowych, liniowo niezależnych, rozpinających powłokę
liniową, ale te wektory są w ogólności kombinacjami liniowymi wektorów kolumnowych
macierzy. Ich pozycje w przekształconej macierzy nie mówią, które z wyjściowych wektorów
kolumnowych macierzy są liniowo niezależne.
Jeśli natomiast znajdziemy największy minor, rzędu k różny od zera to kolumny, z których ten
minor jest zbudowany tworzą zawsze układ wektorów liniowo niezależny.
1.
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
2
0
0
1
2
0
1
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
1
0
0
1
0
0
1
2
1
1
0
0
1
0
0
0
1
2
1
0
1
0
0
1
0
0
1
2
1
1
0
0
1
0
0
0
1
2
1
1
1
0
0
1
0
0
1
2
1
1
1
0
1
0
0
0
1
2
1
1
2
0
0
1
0
0
1
2
1
1
1
1
1
0
0
0
1
2
1
1
2
1
0
1
II
V
K
I
IV
K
III
II
K
III
I
K
IV
V
K
V
IV
K
V
III
K
Wymiar powłoki liniowej rozpiętej przez wektory kolumnowe wyjściowej macierzy
A
wynosi więc 3. Tymczasem jej trzy pierwsze kolumny są liniowo zależne
2
,
.
1
,
.
3
,
.
A
A
A
2. Maksymalny minor różny od zera można utworzyć np. wykreślając drugi wiersz oraz drugą
i czwartą kolumnę
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
Maksymalny układ wektorów liniowo niezależnych mogą tworzyć kolumny:
5
,
.
3
,
.
1
,
.
,
,
A
A
A
2. Niech
ij
a
oznaczają elementy macierzy
,
A
natomiast
ij
d
elementy macierzy dołączonej
D
A
.
Rozwiniecie Laplace’a wyznacznika
A
det
względem j-tej kolumny określa elementy macierzy
D
A
:
n
i
ji
ij
d
a
A
1
det
.
Korzystając ze wzoru
D
A
A
A
det
1
1
obliczamy kolejne elementy macierzy odwrotnej.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
3
ZADANIA - Seria 7 – Uwagi, szkice rozwiązań – c.d.
)
1
(
2
1
1
1
2
0
1
0
1
1
2
1
1
1
1
1
1
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
1
1
1
1
11
a
a
d
,
0
1
1
12
a
a
d
,
a
a
d
1
1
1
1
13
0
1
1
21
a
a
d
,
2
22
2a
a
a
a
a
d
,
a
a
a
d
2
1
1
23
1
1
1
1
31
a
a
d
,
a
a
a
d
2
1
1
32
,
1
1
1
1
33
a
a
d
Stąd
1
2
1
2
2
0
1
0
1
)
1
(
2
1
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
Rozwiązanie układu równań ( macierz odwrotna ):
Jeśli
b
Ax
to
b
A
x
1
. Stąd
1
)
1
2
(
0
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
0
1
0
1
)
1
(
2
1
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
Rozwiązanie układu równań ( wzory Cramera ):
Niech
)
,
...
,
,
det(
2
1
n
v
v
v
oznacza wyznacznik macierzy, której kolumny tworzą wektory
n
v
v
v
,
...
,
,
2
1
. Niech
n
A
A
A
,
.
2
,
.
1
,
.
,
...
,
,
oznaczają kolumny macierzy
A
.
Jeśli
0
det
A
to niejednorodny układ równań liniowych
b
Ax
jest typu Cramera, a jego
rozwiązania przedstawione są wzorami Cramera
A
A
A
b
A
A
x
n
i
i
i
det
)
,
,...
,
,
,
...
,
det(
,
.
1
,
.
1
,
.
,
1
,
.
Stąd
0
1
1
1
1
2
1
1
)
1
(
2
1
1
a
a
a
a
x
,
1
1
2
1
1
2
1
1
)
1
(
2
1
2
a
a
a
a
a
a
a
a
x
,
1
1
1
1
2
1
1
1
1
)
1
(
2
1
3
a
a
a
a
a
x
czyli
1
)
1
2
(
0
1
1
a
a
x
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
4
ZADANIA - Seria 7 – Uwagi, szkice rozwiązań – c.d.
3. Obliczyć wyznaczniki:
a) Wyznacznik ten jest szczególnym przypadkiem wyznacznika
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
który sprowadzamy do bardzo prostej postaci wykonując następujące operacje:
- do kolumny pierwszej dodajemy wszystkie pozostałe kolumny,
- pierwszą kolumnę dodajemy do wszystkich pozostałych kolumn.
0
0
0
)
1
(
0
0
)
1
(
1
0
)
1
(
0
1
)
1
(
0
0
1
1
1
1
)
1
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
Teraz wystarczy kolejno rozwijać wyznacznik względem ostatniego wiersza
2
)
1
(
1
1
2
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
)(
1
)...(
1
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
0
0
)
1
(
0
)
1
(
0
)
1
(
0
0
)
1
(
1
n
n
n
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
k
W przypadku
4
n
wyznacznik ten równy jest
4
5
.
b) Wyznacznik ten jest szczególnym przypadkiem wyznacznika
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
który sprowadzamy do bardzo prostej postaci wykonując następujące operacje:
- do kolumny pierwszej dodajemy wszystkie pozostałe kolumny,
- pierwszą kolumnę dzielimy przez
b
n
a
)
1
(
,
- pierwszą kolumnę pomnożoną przez
b
dodajemy do wszystkich pozostałych kolumn.
Po czym wystarczy rozwijać wyznacznik krok po kroku względem pierwszego wiersza:
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
5
ZADANIA - Seria 7 – Uwagi, szkice rozwiązań – c.d.
1
)
](
)
1
(
[
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
]
)
1
(
[
1
1
1
1
]
)
1
(
[
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
n
b
a
b
n
a
b
a
b
a
b
a
b
n
a
a
b
b
b
a
b
b
b
a
b
b
b
b
n
a
a
b
b
b
n
a
b
a
b
b
n
a
b
b
a
b
n
a
b
b
b
b
n
a
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
W przypadku
4
n
wyznacznik ten równy jest
3
)
)(
3
(
b
a
b
a
.
c) Wyznacznik ten jest szczególnym przypadkiem wyznacznika
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
)
...
(
1
2
1
2
1
Wykonując następujące operacje: - rozwinięcie względem ostatniej kolumny,
- rozwinięcie względem ostatniego wiersza
)
...
(
)
...
(
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
otrzymuje się relację rekurencyjną (będzie ona wykorzystana w zadaniu 6 );
)
...
(
)
...
(
)
...
(
2
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(**)
przy czym:
1
1
)
(
a
a
,
1
)
(
1
2
2
1
a
a
a
a
Stąd w przypadku
4
n
1
)
(
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
)
(
1
2
1
4
3
4
1
2
3
4
2
1
1
2
1
3
4
2
1
3
2
1
4
4
3
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
6
ZADANIA - Seria 7 – Uwagi, szkice rozwiązań – c.d.
Na potrzeby zadania 5 wyprowadzimy inną relację rekurencyjną, wykonując tym razem
następujące operacje: - rozwinięcie względem pierwszej kolumny,
- rozwinięcie względem pierwszego wiersza
)
...
(
)
...
(
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
)
...
(
4
3
3
2
1
1
3
1
3
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Stąd
)
...
(
)
...
(
)
...
(
4
3
3
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
( * )
przy czym:
n
n
a
a
)
(
,
1
)
(
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
4. Wyprowadzenie wzoru na wyznacznik Vandermonde’a ( nie obliczenie ) w oparciu o:
właściwości wyznacznika, podstawowe twierdzenie algebry oraz krok indukcyjny.
Rozwijając wyznacznik
1
1
1
1
1
)
(
)
(
1
1
)
,
...
,
(
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
V
względem ostatniego wiersza otrzymuje się wielomian n-1 stopnia zmiennej
n
x
. Pierwiastkami
tego wielomianu są liczby
1
,...,
2
,
1
,
n
i
x
i
, bowiem jeśli w miejsce
n
x
podstawić dowolną
liczbę
1
,...,
2
,
1
,
n
i
x
i
, to dwa wiersze są równe i
0
)
...,
,
,
...
,
(
1
i
i
n
x
x
x
V
. Współczynnik
przy
1
n
n
x
wynosi
)
,
...
,
(
1
1
1
n
n
x
x
V
. Stąd oraz z podstawowego twierdzenia algebry wynika
następująca relacja rekurencyjna
)
(
)
)(
,
...
,
(
)
,
...
,
(
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
V
x
x
V
Stąd przez indukcję otrzymuje się
n
j
k
j
j
k
n
n
x
x
x
x
V
,
)
1
(
)
,
...
,
(
Dowód liniowej niezależności wielomianów
1
,
...
,
1
,
0
,
n
i
x
w
i
i
w przestrzeni
]
[
n
R
.
Układ wektorów
n
v
v ...
,
1
w przestrzeni liniowej nad ciałem R jest liniowo niezależny jeśli dla
dowolnych
R
n
...
,
1
, z faktu
0
...
1
1
n
n
v
v
wynika, że
0
...
1
n
.
Niech
0
...
1
1
0
n
n
x
a
x
a
a
, dla
R
a
i
tożsamościowo dla dowolnych
x
.
Wstawiając kolejno za
x
w tym równaniu
n
różnych liczb
n
x
x
,
...
,
1
otrzymuje się układ równań
liniowych jednorodnych
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
7
ZADANIA - Seria 7 – Uwagi, szkice rozwiązań – c.d.
0
...
...
0
...
0
...
1
1
0
2
1
2
1
0
1
1
1
1
0
n
n
n
n
n
x
a
x
a
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
a
Układ ten posiada jedynie zerowe rozwiązania ponieważ wyznacznik macierzy tego układu
(wyznacznik Vandermonde’a ) jest w tym przypadku różny od zera.
6. Relacja rekurencyjna ( * ) uzyskana w zadaniu 3c jest spełniona dla dowolnego ciągu liczb
n
k
k
a
a
a
,
...
,
,
1
,
2
,
...
,
2
,
1
n
k
:
)
...
(
)
...
(
)
...
(
3
2
2
1
1
n
k
k
n
k
k
k
n
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
przy czym:
n
n
a
a
)
(
,
1
)
(
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
.
Korzystając w każdym kroku przekształceń z tej relacji, otrzymujemy kolejno:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
1
)
...
(
)
...
(
1
1
)
...
(
)
...
(
1
)
...
(
)
...
(
)
...
(
)
...
(
3
2
1
4
3
2
1
3
2
1
2
3
1
2
1
7. Kładąc w macierzy z zadania 5
1
ii
a
, otrzymuje się wyznacznik oznaczony symbolem
n
)
1
...
1
(
, dla którego relacja rekurencyjna ( ** ) uzyskana w zadaniu 3c sprowadza się do postaci
)
...
(
)
...
(
)
...
(
2
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(**)
przy czym:
1
)
(
1
a
,
1
1
)
(
2
1
a
a
czyli
1
)
1
(
1
,
2
)
11
(
2
,
2
1
)
1
...
1
(
)
1
...
1
(
)
1
...
1
(
n
n
n
Wynika stąd, że ciąg
n
c
określony następująco:
1
1
c
,
n
n
c
)
1
...
1
(
1
jest ciągiem Fibonacciego,
zdefiniowanym następująco:
1
,
1
,
1
1
2
2
1
n
dla
c
c
c
c
c
n
n
n