UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 7
1. Uzasadnić na przykładzie podanej macierzy, że dwa poniższe zagadnienia nie są równoważne:
1. Wyznaczenie powłoki liniowej ( ustalenie bazy ) rozpiętej przez
wektory kolumnowe macierzy metodą operacji elementarnych.
2. Wybranie maksymalnego układu wektorów liniowo niezależnych
spośród wektorów kolumnowych macierzy metodą wyznacznikową
( maksymalny minor różny od zera ).
0
0
1
2
1
1
1
1
1
0
0
0
1
2
1
1
2
1
0
1
2. Wyznaczyć macierz odwrotną do podanej macierzy
A
, korzystając ze wzoru na macierz
dopełnień. Rozwiązać układ równań liniowych postaci
b
Ax
, gdzie
a
a
a
a
A
1
1
1
1
1
,
1
2
1
b
korzystając z postaci macierzy odwrotnej oraz ze wzorów Cramera.
3. Obliczyć wyznaczniki:
a)
1
1
1
4
1
1
4
1
1
4
1
1
4
1
1
1
b)
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
c)
4
3
2
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
a
a
a
a
4. Wykazać, korzystając z postaci wyznacznika Vandermonde’a
1
1
1
1
1
)
(
)
(
1
1
)
,
...
,
(
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
V
że wielomiany:
1
,
...
,
1
,
0
,
n
i
x
w
i
i
są liniowo niezależne.
5. Niech
)
...
(
1
n
a
a
oznacza wyznacznik z macierzy o elementach:
i
ii
a
a
,
1
1
,
i
i
a
,
1
,
1
i
i
a
, pozostałe
0
,
j
i
a
,
n
i
,...,
1
( patrz zadanie 3c , gdzie
4
n
). Wykazać,
że ułamek łańcuchowy związany jest następującym wzorem z wyznacznikami
typu
)
...
(
1
n
a
a
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
1
)
...
(
)
...
(
3
2
1
2
1
6. Kładąc w macierzy z zadania 5
1
ii
a
, otrzymuje się wyznacznik oznaczony symbolem
n
)
1
...
1
(
.
Niech
n
c oznaczają kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego, zdefiniowanego następująco:
1
,
1
,
1
1
2
2
1
n
dla
c
c
c
c
c
n
n
n
Wykazać, że
n
n
c
)
1
...
1
(
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
2
ZADANIA - Seria 7 – Uwagi, szkice rozwiązań
1. Po dokonaniu dostatecznej ilości operacji elementarnych na kolumnach macierzy uzyskujemy
maksymalny układ k wektorów kolumnowych, liniowo niezależnych, rozpinających powłokę
liniową, ale te wektory są w ogólności kombinacjami liniowymi wektorów kolumnowych
macierzy. Ich pozycje w przekształconej macierzy nie mówią, które z wyjściowych wektorów
kolumnowych macierzy są liniowo niezależne.
Jeśli natomiast znajdziemy największy minor, rzędu k różny od zera to kolumny, z których ten
minor jest zbudowany tworzą zawsze układ wektorów liniowo niezależny.
1.
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
2
0
0
1
2
0
1
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
1
0
0
1
0
0
1
2
1
1
0
0
1
0
0
0
1
2
1
0
1
0
0
1
0
0
1
2
1
1
0
0
1
0
0
0
1
2
1
1
1
0
0
1
0
0
1
2
1
1
1
0
1
0
0
0
1
2
1
1
2
0
0
1
0
0
1
2
1
1
1
1
1
0
0
0
1
2
1
1
2
1
0
1
II
V
K
I
IV
K
III
II
K
III
I
K
IV
V
K
V
IV
K
V
III
K
Wymiar powłoki liniowej rozpiętej przez wektory kolumnowe wyjściowej macierzy
A
wynosi więc 3. Tymczasem jej trzy pierwsze kolumny są liniowo zależne
2
,
.
1
,
.
3
,
.
A
A
A
2. Maksymalny minor różny od zera można utworzyć np. wykreślając drugi wiersz oraz drugą
i czwartą kolumnę
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
Maksymalny układ wektorów liniowo niezależnych mogą tworzyć kolumny:
5
,
.
3
,
.
1
,
.
,
,
A
A
A
2. Niech
ij
a
oznaczają elementy macierzy
,
A
natomiast
ij
d
elementy macierzy dołączonej
D
A
.
Rozwiniecie Laplace’a wyznacznika
A
det
względem j-tej kolumny określa elementy macierzy
D
A
:
n
i
ji
ij
d
a
A
1
det
.
Korzystając ze wzoru
D
A
A
A
det
1
1
obliczamy kolejne elementy macierzy odwrotnej.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
3
ZADANIA - Seria 7 – Uwagi, szkice rozwiązań – c.d.
)
1
(
2
1
1
1
2
0
1
0
1
1
2
1
1
1
1
1
1
det
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
1
1
1
1
11
a
a
d
,
0
1
1
12
a
a
d
,
a
a
d
1
1
1
1
13
0
1
1
21
a
a
d
,
2
22
2a
a
a
a
a
d
,
a
a
a
d
2
1
1
23
1
1
1
1
31
a
a
d
,
a
a
a
d
2
1
1
32
,
1
1
1
1
33
a
a
d
Stąd
1
2
1
2
2
0
1
0
1
)
1
(
2
1
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
Rozwiązanie układu równań ( macierz odwrotna ):
Jeśli
b
Ax
to
b
A
x
1
. Stąd
1
)
1
2
(
0
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
0
1
0
1
)
1
(
2
1
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
Rozwiązanie układu równań ( wzory Cramera ):
Niech
)
,
...
,
,
det(
2
1
n
v
v
v
oznacza wyznacznik macierzy, której kolumny tworzą wektory
n
v
v
v
,
...
,
,
2
1
. Niech
n
A
A
A
,
.
2
,
.
1
,
.
,
...
,
,
oznaczają kolumny macierzy
A
.
Jeśli
0
det
A
to niejednorodny układ równań liniowych
b
Ax
jest typu Cramera, a jego
rozwiązania przedstawione są wzorami Cramera
A
A
A
b
A
A
x
n
i
i
i
det
)
,
,...
,
,
,
...
,
det(
,
.
1
,
.
1
,
.
,
1
,
.
Stąd
0
1
1
1
1
2
1
1
)
1
(
2
1
1
a
a
a
a
x
,
1
1
2
1
1
2
1
1
)
1
(
2
1
2
a
a
a
a
a
a
a
a
x
,
1
1
1
1
2
1
1
1
1
)
1
(
2
1
3
a
a
a
a
a
x
czyli
1
)
1
2
(
0
1
1
a
a
x
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
4
ZADANIA - Seria 7 – Uwagi, szkice rozwiązań – c.d.
3. Obliczyć wyznaczniki:
a) Wyznacznik ten jest szczególnym przypadkiem wyznacznika
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
który sprowadzamy do bardzo prostej postaci wykonując następujące operacje:
- do kolumny pierwszej dodajemy wszystkie pozostałe kolumny,
- pierwszą kolumnę dodajemy do wszystkich pozostałych kolumn.
0
0
0
)
1
(
0
0
)
1
(
1
0
)
1
(
0
1
)
1
(
0
0
1
1
1
1
)
1
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
Teraz wystarczy kolejno rozwijać wyznacznik względem ostatniego wiersza
2
)
1
(
1
1
2
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
)(
1
)...(
1
(
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
0
0
)
1
(
0
)
1
(
0
)
1
(
0
0
)
1
(
1
n
n
n
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
k
W przypadku
4
n
wyznacznik ten równy jest
4
5
.
b) Wyznacznik ten jest szczególnym przypadkiem wyznacznika
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
który sprowadzamy do bardzo prostej postaci wykonując następujące operacje:
- do kolumny pierwszej dodajemy wszystkie pozostałe kolumny,
- pierwszą kolumnę dzielimy przez
b
n
a
)
1
(
,
- pierwszą kolumnę pomnożoną przez
b
dodajemy do wszystkich pozostałych kolumn.
Po czym wystarczy rozwijać wyznacznik krok po kroku względem pierwszego wiersza:
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
5
ZADANIA - Seria 7 – Uwagi, szkice rozwiązań – c.d.
1
)
](
)
1
(
[
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
]
)
1
(
[
1
1
1
1
]
)
1
(
[
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
n
b
a
b
n
a
b
a
b
a
b
a
b
n
a
a
b
b
b
a
b
b
b
a
b
b
b
b
n
a
a
b
b
b
n
a
b
a
b
b
n
a
b
b
a
b
n
a
b
b
b
b
n
a
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
b
b
b
b
a
W przypadku
4
n
wyznacznik ten równy jest
3
)
)(
3
(
b
a
b
a
.
c) Wyznacznik ten jest szczególnym przypadkiem wyznacznika
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
)
...
(
1
2
1
2
1
Wykonując następujące operacje: - rozwinięcie względem ostatniej kolumny,
- rozwinięcie względem ostatniego wiersza
)
...
(
)
...
(
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
otrzymuje się relację rekurencyjną (będzie ona wykorzystana w zadaniu 6 );
)
...
(
)
...
(
)
...
(
2
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(**)
przy czym:
1
1
)
(
a
a
,
1
)
(
1
2
2
1
a
a
a
a
Stąd w przypadku
4
n
1
)
(
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
)
(
1
2
1
4
3
4
1
2
3
4
2
1
1
2
1
3
4
2
1
3
2
1
4
4
3
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
6
ZADANIA - Seria 7 – Uwagi, szkice rozwiązań – c.d.
Na potrzeby zadania 5 wyprowadzimy inną relację rekurencyjną, wykonując tym razem
następujące operacje: - rozwinięcie względem pierwszej kolumny,
- rozwinięcie względem pierwszego wiersza
)
...
(
)
...
(
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
)
...
(
4
3
3
2
1
1
3
1
3
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Stąd
)
...
(
)
...
(
)
...
(
4
3
3
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
( * )
przy czym:
n
n
a
a
)
(
,
1
)
(
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
4. Wyprowadzenie wzoru na wyznacznik Vandermonde’a ( nie obliczenie ) w oparciu o:
właściwości wyznacznika, podstawowe twierdzenie algebry oraz krok indukcyjny.
Rozwijając wyznacznik
1
1
1
1
1
)
(
)
(
1
1
)
,
...
,
(
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
V
względem ostatniego wiersza otrzymuje się wielomian n-1 stopnia zmiennej
n
x
. Pierwiastkami
tego wielomianu są liczby
1
,...,
2
,
1
,
n
i
x
i
, bowiem jeśli w miejsce
n
x
podstawić dowolną
liczbę
1
,...,
2
,
1
,
n
i
x
i
, to dwa wiersze są równe i
0
)
...,
,
,
...
,
(
1
i
i
n
x
x
x
V
. Współczynnik
przy
1
n
n
x
wynosi
)
,
...
,
(
1
1
1
n
n
x
x
V
. Stąd oraz z podstawowego twierdzenia algebry wynika
następująca relacja rekurencyjna
)
(
)
)(
,
...
,
(
)
,
...
,
(
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
V
x
x
V
Stąd przez indukcję otrzymuje się
n
j
k
j
j
k
n
n
x
x
x
x
V
,
)
1
(
)
,
...
,
(
Dowód liniowej niezależności wielomianów
1
,
...
,
1
,
0
,
n
i
x
w
i
i
w przestrzeni
]
[
n
R
.
Układ wektorów
n
v
v ...
,
1
w przestrzeni liniowej nad ciałem R jest liniowo niezależny jeśli dla
dowolnych
R
n
...
,
1
, z faktu
0
...
1
1
n
n
v
v
wynika, że
0
...
1
n
.
Niech
0
...
1
1
0
n
n
x
a
x
a
a
, dla
R
a
i
tożsamościowo dla dowolnych
x
.
Wstawiając kolejno za
x
w tym równaniu
n
różnych liczb
n
x
x
,
...
,
1
otrzymuje się układ równań
liniowych jednorodnych
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
7
ZADANIA - Seria 7 – Uwagi, szkice rozwiązań – c.d.
0
...
...
0
...
0
...
1
1
0
2
1
2
1
0
1
1
1
1
0
n
n
n
n
n
x
a
x
a
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
a
Układ ten posiada jedynie zerowe rozwiązania ponieważ wyznacznik macierzy tego układu
(wyznacznik Vandermonde’a ) jest w tym przypadku różny od zera.
6. Relacja rekurencyjna ( * ) uzyskana w zadaniu 3c jest spełniona dla dowolnego ciągu liczb
n
k
k
a
a
a
,
...
,
,
1
,
2
,
...
,
2
,
1
n
k
:
)
...
(
)
...
(
)
...
(
3
2
2
1
1
n
k
k
n
k
k
k
n
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
przy czym:
n
n
a
a
)
(
,
1
)
(
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
.
Korzystając w każdym kroku przekształceń z tej relacji, otrzymujemy kolejno:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
1
)
...
(
)
...
(
1
1
)
...
(
)
...
(
1
)
...
(
)
...
(
)
...
(
)
...
(
3
2
1
4
3
2
1
3
2
1
2
3
1
2
1
7. Kładąc w macierzy z zadania 5
1
ii
a
, otrzymuje się wyznacznik oznaczony symbolem
n
)
1
...
1
(
, dla którego relacja rekurencyjna ( ** ) uzyskana w zadaniu 3c sprowadza się do postaci
)
...
(
)
...
(
)
...
(
2
2
1
1
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(**)
przy czym:
1
)
(
1
a
,
1
1
)
(
2
1
a
a
czyli
1
)
1
(
1
,
2
)
11
(
2
,
2
1
)
1
...
1
(
)
1
...
1
(
)
1
...
1
(
n
n
n
Wynika stąd, że ciąg
n
c
określony następująco:
1
1
c
,
n
n
c
)
1
...
1
(
1
jest ciągiem Fibonacciego,
zdefiniowanym następująco:
1
,
1
,
1
1
2
2
1
n
dla
c
c
c
c
c
n
n
n
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
al lin zad3 rozw
al lin zad5 rozw
al lin zad2 rozw
al lin zad1 rozw
al lin zad4 rozw
al lin zad6 rozw
al lin zad3 rozw
al lin zad5 rozw
al lin zad dom1
al lin zad dom4
al lin zad dom3
al lin zad dom2
regresja lin 2 wzor rozw(2)
regresja lin 2 wzor rozw
regresja lin 2 wzor rozw
regresja lin 2 wzor rozw(1)
30 Struktury zaleznosci miedzy wskaznikami zrow rozw K Chmura
więcej podobnych podstron