UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita

ZADANIA DOMOWE - Seria 1

1. Relacja rekurencyjna, konwencja sumacyjna, suma ciągu geometrycznego.

Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną:

3

1



x

,

n

n

n

x

x

2

1







,

sprowadzając problem do obliczania sumy







n

k

k

n

a

x

0

,

?



k

a

.

2. Konwencja sumacyjna, zmiana wskaźnika sumacyjnego, przemienność sumowania .

Obliczyć sumę









n

k

n

k

S

0

)

2

1

(

w następujący sposób. Dokonując zamiany wskaźnika

sumacyjnego

k

n

l

k







otrzymujemy nową postać sumy







n

l

n

S

0

)

(

. Dodając oba

wyrażenia na sumę obliczamy

n

S

2

( wskaźniki sumacyjne oznaczamy przy tym tą samą literą

j

).

3. Konwencja sumacyjna, dwumian Newtona, symbol Newtona.

Przedstawić wyrażenie





10

1





x

x

w postaci sumy. Obliczyć współczynniki liczbowe przy

5

x

i

0

x

.

4. Konwencja sumacyjna, symbol Newtona, zasada indukcji 1, suma ciągu arytmetycznego.

Wykazać metodą indukcji, że











 









3

1

)

(

0

n

k

k

n

n

k

.

5. Relacja rekurencyjna, zasada indukcji 2 .

Wykazać metodą indukcji, że ogólny wyraz ciągu określonego rekurencyjnie:

6

1



a

,

18

2



a

,

18

8

2

1

2











n

n

n

a

a

a

ma postać

2

4





n

n

a

.

6. Dowód nie wprost, ciąg arytmetyczny, liczby wymierne i niewymierne.

Czy liczby rzeczywiste a,b,c mogą być wyrazami (niekoniecznie kolejnymi) ciągu
arytmetycznego, jeśli

c

b

a





;

a

i

b

są wymierne, natomiast

c

niewymierne?

7. Dowód nie wprost, ciąg geometryczny, rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze.

Czy liczby

17

,

11

,

7

mogą być wyrazami (niekoniecznie kolejnymi) ciągu

geometrycznego?

8. Iloczyn kartezjański, relacje.

Zbadać właściwości następujących relacji

R

w zbiorze





2

,

1

,

0



A

:

A

A

R

n

m







)

,

(

jeśli

a)

m

mn



, b)

A

n

m





, c)

 

1

,

max n

m



, d)

2

2

2





n

m

, e)

n

m



9. Relacja, częściowy porządek.

Niech





4

,

3

,

2

,

1



B

. Wykazać, że relacja w zbiorze

B

B



określona następująco:

)

,

(

~

)

,

(

l

k

n

m

jeśli

k

m



i

l

n



, jest relacją porządku? Podać przykład najdłuższego,

uporządkowanego ciągu elementów zbioru

B

B



.

10. Relacja równoważności, klasy równoważności.

Wykazać, że relacja w

R

R



taka, że



 



2

2

1

1

,

~

,

y

x

y

x

jeśli

1

2

2

1

y

x

y

x







jest relacją

równoważności. Opisać klasy równoważności.

11. Relacja, wykres funkcji.

Czy relacja

Z

N

R





,





2

2

:

)

,

(

y

x

y

x

R





może być wykresem funkcji

Z

N

f



:

?

12. Funkcja, injekcja, surjekcja, obraz zbioru, przeciwobraz zbioru.

Czy funkcja

Z

Z

Z

f









:

,

1

)

,

(







n

m

n

m

f

jest: a) injekcją? b) surjekcją?

Znaleźć

})

1

{

(



A

f

oraz

})

0

({

1



f

i

})

3

({

1



f

.