UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
1
ZADANIA - Seria 1, Dowody, relacje, funkcje
1. Wykazać, że
a)
1
1
1
k
n
k
n
k
n
b)
n
k
k
n
k
n
b
a
k
n
b
a
0
)
(
przeprowadzając odpowiednio: a) – dowód bezpośredni, b) – dowód indukcyjny.
2. Wykazać, że każda liczba całkowita
1
n
może być przedstawiona jako iloczyn liczb pierwszych.
3. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
4. Wiedząc, że rozkład liczb całkowitych
1
n
, na czynniki pierwsze jest jednoznaczny,
udowodnić, że
2
jest liczbą niewymierną.
5. Sprawdzić, które z poniższych relacji w zbiorze
S
, określone przez podzbiór
R
iloczynu
kartezjańskiego
S
S
, są: zwrotne, symetryczne, antysymetryczne, przechodnie. Które z nich
wprowadzają w zbiorze
S
całkowity ( liniowy ) lub częściowy porządek? Które z nich są
relacjami równoważności?
a)
}
,
,
,
{
d
c
b
a
S
,
}
)
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
{
d
a
d
b
b
a
c
a
d
d
d
c
b
b
a
a
R
b)
Z
S
,
}
:
)
,
(
{
b
a
b
a
R
c)
Z
S
,
}
,
7
:
)
,
(
{
Z
k
k
b
a
b
a
R
d)
}
:
{
Z
Z
f
funkcje
wszystkie
S
,
}
)
0
(
)
0
(
lub
)
1
(
)
1
(
:
)
,
(
{
g
f
g
f
g
f
R
6. Czy zbiór: a)
}
30
,
15
,
6
,
5
,
3
,
2
,
1
{
S
- dzielniki 30, b)
}
25
,
5
,
1
{
S
- dzielniki 25 ,
jest częściowo lub też całkowicie uporządkowany ze względu na relację:
b
a ~
jeśli
a
jest
dzielnikiem
b
.
7. W zbiorze
2
R
S
określona jest relacja:
)
,
(
~
)
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x
jeśli
)
(
2
2
1
2
1
x
x
y
y
.
a) wykazać, że jest to relacja równoważności,
b) przedstawić opis geometryczny klas równoważności,
c) określić ( geometrycznie ) zbiór reprezentantów wszystkich klas równoważności.
8. Zbiór
}
0
0
:
)
,
(
{
2
b
i
a
R
b
a
S
można przedstawić jako sumę rozłącznych
podzbiorów
R
c
c
A
S
,
}
:
)
,
(
{
c
xy
S
y
x
A
c
. Określić relację równoważności tak,
aby jej klasy równoważności pokrywały się ze zbiorami
c
A
.
9. Dobrać tak dziedzinę
X
i przeciwdziedzinę
Y
funkcji
f
:
Y
x
x
f
x
X
cos
)
(
, aby
funkcja ta posiadała następujące właściwości:
a) f jest injekcją , b) f jest surjekcją , c) f jest bijekcją
Podać, w każdym przypadku, w ilu punktach prosta pozioma
}
:
)
,
{(
0
0
X
x
Y
X
y
x
L
y
,
przecina wykres funkcji
f
, dla danego
Y
y
0
.
10. Niech
}
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
{
X
,
}
5
,
3
,
1
{
Y
. Funkcja
Y
X
f
:
określona jest następująco:
ych
nieparzyst
x
dla
x
x
f
)
(
,
parzystych
x
dla
x
x
f
1
)
(
Podać przykład funkcji
X
Y
h
:
takiej, że
y
y
h
f
)
)(
(
dla każdego
Y
y
.
11. Funkcja
Z
Z
f :
określona jest następująco:
1
)
(
n
n
f
. Podać przykład funkcji
Z
Z
h :
takiej, że
n
n
f
h
)
)(
(
dla każdego
Z
n
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
2
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań
1. a) Dowód wprost.
Równość
1
1
1
k
n
k
n
k
n
stanowi kluczową właściwość współczynników dwumianu
Newtona. Służy ona do konstrukcji trójkąta Pascala,
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
. . . . . . . . . . .
którego kolejne wiersze ( n = 0, 1, 2, ... , n ) zawierają współczynniki dwumianu Newtona
n
n
n
n
k
k
k
n
n
b
a
n
n
b
a
n
b
a
n
b
a
k
n
b
a
0
1
1
0
0
...
1
0
)
(
1
)
(
0
b
a
b
a
b
a
1
)
(
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
3
2
2
3
3
3
3
)
(
b
ab
b
a
a
b
a
4
3
2
2
3
4
4
4
6
4
)
(
b
ab
b
a
b
a
a
b
a
Korzystając z definicji symbolu Newtona
!
)!
(
!
k
k
n
n
k
n
, gdzie
n
n
n
)
1
(
...
2
1
!
pokazujemy, że lewa strona równania równa jest prawej:
P
k
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
n
k
n
L
1
1
)
1
)(
(
1
!
)!
1
(
!
1
1
1
!
)!
1
(
!
)!
1
(
)!
1
(
!
!
)!
(
!
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
3
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
1. b) Dowód przez indukcję.
Korzystamy z pierwszej zasady indukcji matematycznej:
Niech
m
będzie liczbą całkowitą oraz niech
)
(n
p
będzie ciągiem zdań zdefiniowanych na
zbiorze
m
n
Z
n
:
. Jeśli
-
zdanie
)
(m
p
jest prawdziwe oraz
-
dla
m
k
zdanie
)
1
(
k
p
jest prawdziwe, jeśli zdanie
)
(k
p
jest prawdziwe,
to zdanie
)
(n
p
jest prawdziwe dla każdego
m
n
.
Warunek początkowy. Sprawdzamy, że wzór
n
k
k
n
k
n
b
a
k
n
b
a
0
)
(
jest prawdziwy dla
0
n
:
1
)
(
0
b
a
L
,
1
0
0
0
0
0
0
0
b
a
b
a
k
P
k
k
k
, bo
1
n
n
dla
0
n
Krok indukcyjny. Wykazujemy, że powyższy wzór jest prawdziwy dla
1
m
n
, jeśli tylko
jest on prawdziwy dla
m
n
i
0
m
.
1
0
1
0
0
0
0
1
)
(
)
)(
(
)
(
k
k
m
m
k
k
k
m
m
k
k
k
m
m
k
k
k
m
m
k
k
k
m
m
k
m
m
b
a
k
m
b
a
k
m
b
a
k
m
b
b
a
k
m
a
b
a
k
m
b
a
b
a
b
a
b
a
L
Zmieniamy indeks sumacyjny w drugiej sumie z
k
na
l
przyjmując
1
l
k
(
1
k
l
).
Jeśli
m
k
0
to
1
1
m
l
.
Natomiast w pierwszej sumie zmieniamy oznaczenie kładąc
.
l
k
l
k
m
m
l
l
l
m
m
l
b
a
l
m
b
a
l
m
1
1
1
1
0
1
Wyłączamy z pierwszej sumy pierwszy wyraz a z drugiej ostatni
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
m
l
l
m
m
l
m
m
l
l
m
m
l
l
l
m
m
l
m
b
a
m
m
b
a
l
m
l
m
b
a
m
b
a
m
m
b
a
l
m
b
a
l
m
b
a
m
Korzystamy ze wzoru z zadania 1a)
l
m
l
m
l
m
1
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
4
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
m
l
l
m
m
l
m
b
a
m
m
b
a
l
m
b
a
m
Włączamy skrajne składniki pod znak sumacyjny
P
b
a
l
m
l
l
m
m
l
1
1
0
1
2. Dowód przez indukcję.
Korzystamy z drugiej zasady indukcji matematycznej:
Niech
m
będzie liczbą całkowitą oraz niech
)
(n
p
będzie ciągiem zdań zdefiniowanych na
zbiorze
m
n
Z
n
:
. Jeśli
-
zdanie
)
(m
p
jest prawdziwe oraz
-
dla
m
k
zdanie
)
1
(
k
p
jest prawdziwe, jeśli wszystkie zdania
)
(
,
...
,
)
(
k
p
m
p
są prawdziwe,
to zdanie
)
(n
p
jest prawdziwe dla każdego
m
n
.
Warunek początkowy. Dla
2
m
zdanie liczba 2 jest iloczynem liczb pierwszych jest
prawdziwe.
Krok indukcyjny. Niech
2
k
. Jeśli
1
k
jest liczba pierwszą to jest iloczynem liczb
pierwszych. Jeśli
1
k
nie jest liczbą pierwszą to z definicji liczb pierwszych wynika, że można
przedstawić ja jako iloczyn liczb całkowitych,
2
1
1
k
k
k
przy czym
1
2
1
k
k
i
1
2
2
k
k
. Tak więc z założenia indukcyjnego
1
k
i
2
k
są iloczynami liczb pierwszych.
Tym samym
1
k
jest iloczynem liczb pierwszych.
3. Dowód nie wprost ( sprowadzenie do sprzeczności )
Dowód oparty jest na równoważności zdań logicznych:
ć
sprzecznoś
t
z
z
z
t
z
z
z
n
n
~
...
...
2
1
2
1
gdzie
i
z
tworzą zbiór założeń a
t
tezę. Przyjmując, że teza jest nieprawdziwa i korzystając
z założeń sprowadzamy dowód do sprzeczności.
Przyjmijmy więc, że istnieje skończenie wiele liczb pierwszych:
k
p
p
p
,...,
,
2
1
. Niech
1
...
2
1
k
p
p
p
n
. Wtedy
i
p
n
dla każdego
k
i
...,
,
2
,
1
. Liczba n nie jest więc liczbą
pierwszą a z założenia wynika, że jest ona iloczynem liczb pierwszych. Oznacza to, że obie
liczby
n
i
1
n
są podzielne przez jedną z liczb pierwszych
i
p
. Tym samym różnica tych
liczb równa 1 jest podzielna przez
i
p
, co jest niemożliwe ponieważ
2
i
p
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
5
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
4. Dowód nie wprost ( sprowadzenie do sprzeczności )
Przyjmijmy, że
2
jest liczbą wymierną. Istnieją wtedy dwie liczby całkowite
p
i
q
nie
mające wspólnych dzielników, takie że
q
p /
2
. Stąd
2
2
2
p
q
. Z jednoznaczności
rozkładu liczb całkowitych na czynniki pierwsze wynika, że
p
jest podzielne przez 2 czyli
k
p
2
, gdzie k jest całkowite. Wtedy
2
2
2k
q
, a tym samym
q
jest także podzielne przez 2,
co jest sprzeczne z faktem, że
p
i
q
nie mają wspólnych dzielników.
5. a)
Relacja
}
)
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
{
d
a
d
b
b
a
c
a
d
d
d
c
b
b
a
a
R
w zbiorze
}
,
,
,
{
d
c
b
a
S
nie jest zwrotna, ponieważ para
R
c
c
)
,
(
. Element
c
nie jest w relacji sam z
sobą.
Relacja
R
nie jest symetryczna, ponieważ
R
d
c
)
,
(
podczas gdy
R
c
d
)
,
(
.
Relacja
R
jest antysymetryczna, bowiem nie takich dwóch różnych elementów
R
q
p
,
, dla
których równocześnie zachodzi
R
q
p
)
,
(
i
R
p
q
)
,
(
.
Relacja
R
jest przechodnia, bowiem nie takich trzech różnych elementów
R
r
q
p
,
,
, dla
których zachodzi
R
q
p
)
,
(
i
R
r
q
)
,
(
podczas gdy
R
r
p
)
,
(
.
5. b)
Relacja
}
:
)
,
(
{
b
a
b
a
R
w zbiorze
Z
S
nie jest zwrotna, ponieważ dla dowolnej liczby
całkowitej
c
para
R
c
c
)
,
(
. Żadna liczba nie jest większa od siebie.
Relacja
R
nie jest symetryczna, bowiem nie mogą być spełnione równocześnie nierówności
b
a
i
a
b
.
Relacja
R
jest antysymetryczna, bowiem nie mogą być spełnione równocześnie nierówności
b
a
i
a
b
.
Relacja
R
jest przechodnia, ponieważ dla dowolnych trzech liczb całkowitych prawdziwa jest
implikacja:
)
(
)
(
)
(
c
a
c
b
b
a
.
5. c)
Relacja
}
,
7
:
)
,
(
{
Z
k
k
b
a
b
a
R
w zbiorze
Z
S
jest zwrotna, ponieważ dla
dowolnej liczby
Z
c
mamy
0
7
c
c
,
Z
0
.
Relacja
R
jest symetryczna. Jeśli
k
b
a
7
dla pewnego
Z
k
to
)
(
7
k
a
b
i
Z
k
.
Relacja
R
nie jest antysymetryczna, bowiem istnieją dwie różne liczby, na przykład 2 i 9 , dla
których zachodzi
9
~
2
i
2
~
9
.
Relacja
R
jest przechodnia. Jeśli
k
b
a
7
i
m
c
b
7
dla
Z
m
k
,
to
)
(
7
m
k
c
a
i
Z
m
k
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
6
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
Relacja ta jest więc relacją równoważności. Dzieli ona zbiór Z na siedem rozłącznych
podzbiorów ( klas równoważności )
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
,
m
S
m
:
Z
k
m
k
a
Z
a
S
m
,
7
:
Jeśli
m
S
b
a
,
to
m
k
a
7
i
m
l
b
7
dla pewnych
Z
l
k
,
.Wtedy
)
(
7
l
k
b
a
i
)
(
7
k
l
a
b
czyli
b
a ~
i
a
b ~
.
5. d)
Relacja
}
)
0
(
)
0
(
lub
)
1
(
)
1
(
:
)
,
(
{
g
f
g
f
g
f
R
w zbiorze
}
:
{
Z
Z
f
funkcje
wszystkie
S
jest zwrotna, ponieważ dla dowolnej funkcji
f
mamy
)
1
(
)
1
(
f
f
i
)
0
(
)
0
(
f
f
.
Relacja
R
jest symetryczna. Jeśli
)
(
)
(
a
g
a
f
to także
)
(
)
(
a
f
a
g
.
Relacja
R
nie jest antysymetryczna, bowiem istnieją dwie różne funkcje, takie że
)
1
(
)
1
(
g
f
i
)
0
(
)
0
(
g
f
oraz
)
2
(
)
2
(
g
f
.
Relacja
R
nie jest przechodnia. Istnieją takie funkcje
h
g
f
,
,
, dla których:
)
1
(
)
1
(
g
f
i
)
0
(
)
0
(
g
f
oraz
)
0
(
)
0
(
h
g
i
)
1
(
)
1
(
h
f
. Wtedy
g
f ~
i
h
g ~
natomiast
R
h
f
)
,
(
. Na przykład:
1
)
(
a
f
,
a
a
g
)
(
,
0
)
(
a
h
.
6. Uwaga.
W każdym skończonym podzbiorze zbioru
Z
( dodatnie liczby całkowite ) relacja
b
a ~
jeśli
a
b
(
a
jest dzielnikiem
b
) jest relacja porządku. Jest ona:
- zwrotna:
a
a
,
- antysymetryczna: jeśli
a
b
i
b
a
to
b
a
,
- przechodnia: jeśli
a
b
i
b
c
to
a
c
.
a) W zbiorze
}
30
,
15
,
6
,
5
,
3
,
2
,
1
{
S
porządek jest częściowy, ponieważ istnieją takie elementy
a
i
b
, które nie są ze sobą w relacji:
R
b
a
)
,
(
i
R
a
b
)
,
(
. Na przykład 3 i 5 . W zbiorze
S
możemy wyróżnić trzy maksymalne podzbiory uporządkowane liniowo:
30
6
2
1
,
30
15
3
1
,
30
15
5
1
b) W zbiorze
}
25
,
5
,
1
{
S
porządek jest liniowy, ponieważ dla każdych dwóch elementów
a
,
b
zachodzi:
a
b
lub
b
a
.
25
5
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
7
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
7. a)
W zbiorze
2
R
S
relacja:
)
,
(
~
)
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x
jeśli
)
(
2
2
1
2
1
x
x
y
y
jest relacją
równoważności, ponieważ jest ona:
- zwrotna:
)
(
2
1
1
1
1
x
x
y
y
,
- symetryczna: Niech
)
,
(
~
)
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x
, wtedy
)
(
2
2
1
2
1
x
x
y
y
i mnożąc obie
strony równania przez –1 otrzymujemy
)
(
2
1
2
1
2
x
x
y
y
czyli
)
,
(
~
)
,
(
1
1
2
2
y
x
y
x
.
- przechodnia: Niech
)
,
(
~
)
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x
i
)
,
(
~
)
,
(
3
3
2
2
y
x
y
x
.
Wtedy
)
(
2
2
1
2
1
x
x
y
y
i
)
(
2
3
2
3
2
x
x
y
y
. Dodając oba równania
stronami otrzymujemy
)
(
2
3
1
3
1
x
x
y
y
czyli
)
,
(
~
)
,
(
3
3
1
1
y
x
y
x
.
b)
Klasą równoważności punktu
)
,
(
0
0
y
x
jest podzbiór
2
0
R
A
złożony z punktów
)
,
(
y
x
będących w relacji z punktem
)
,
(
0
0
y
x
:
)
(
2
0
0
x
x
y
y
czyli
)
(
2
0
0
x
y
x
y
Podzbiór
0
A
jest więc prostą o współczynniku kierunkowym 2, przechodzącą przez punkt
)
,
(
0
0
y
x
. Cała płaszczyzna
2
R
podzielona jest na rozłączne podzbiory ( klasy równoważności )
– proste równoległe o współczynniku kierunkowym 2.
c)
Zbiorem reprezentantów jest dowolny podzbiór
2
R
, taki że zawiera on po jednym elemencie z
każdej prostej o współczynniku kierunkowym 2. Może nim więc być dowolna prosta, która nie
jest równoległa do
0
A
, opisana równaniem
b
ax
y
, gdzie
2
a
.
Układ równań:
)
(
2
0
0
x
y
x
y
b
ax
y
posiada bowiem zawsze jedno rozwiązanie:
a
x
y
b
x
2
0
0
,
b
a
x
y
b
a
y
2
0
0
jeśli tylko
2
a
.
8.
Klasy równoważności, jakimi są rozłączne podzbiory
}
0
,
:
)
,
(
{
c
c
xy
S
y
x
A
c
,
tworzące podział zbioru
}
0
0
:
)
,
(
{
2
b
i
a
R
b
a
S
, są hiperbolami. Dwa punkty o
współrzędnych
)
,
(
1
1
y
x
i
)
,
(
2
2
y
x
są w relacji jeśli leżą na tej samej hiperboli ( ta sama
wartość
c
):
c
y
x
1
1
i
c
y
x
2
2
. Eliminując z tych równań parametr
c
otrzymujemy:
)
,
(
1
1
y
x
~
)
,
(
2
2
y
x
jeśli
2
2
1
1
y
x
y
x
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
8
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
9. a)
Injekcja jest to funkcja różnowartościowa
Y
X
f
:
. Jeśli
2
1
x
x
to
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
dla
wszystkich
X
x
x
2
1
,
. Oznacza to, że
Y
y
0
może być wartością funkcji tylko dla jednego
elementu zbioru
X
. Równanie
0
)
(
y
x
f
posiada co najwyżej jedno rozwiązanie
x
. Prosta
pozioma
}
:
)
,
{(
0
0
X
x
Y
X
y
x
L
y
przecina wykres funkcji
f
co najwyżej w jednym
punkcie.
-
1
,
1
2
,
0
:
f
, określona wzorem
)
cos(
)
(
x
x
f
jest injekcją ale nie surjekcją,
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
-
w jednym punkcie dla
1
,
0
0
y
,
-
w żadnym punkcie dla
)
0
,
1
[
0
y
-
2
,
2
,
0
:
f
, określona wzorem
)
cos(
)
(
x
x
f
jest injekcją ale nie surjekcją,
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
-
w jednym punkcie dla
1
,
1
0
y
,
-
w żadnym punkcie dla
]
2
,
1
(
)
1
,
2
[
0
y
b)
Surjekcja jest to funkcja
Y
X
f
:
, dla której każdy element
Y
y
jest wartością funkcji dla
jakiegoś
X
x
. Obrazem funkcji jest cała przeciwdziedzina -
Y
X
f
)
(
.
Równanie
0
)
(
y
x
f
posiada co najmniej jedno rozwiązanie
x
. Prosta pozioma
}
:
)
,
{(
0
0
X
x
Y
X
y
x
L
y
przecina wykres funkcji
f
w co najmniej jednym punkcie.
-
1
,
0
2
,
2
:
f
, określona wzorem
)
cos(
)
(
x
x
f
jest surjekcją ale nie injekcją,
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
-
w jednym punkcie dla
0
0
y
,
-
w dwóch punktach dla
]
1
,
0
(
0
y
-
1
,
1
4
3
,
0
:
f
, określona wzorem
)
cos(
)
(
x
x
f
jest surjekcją, ale nie injekcją
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
-
w jednym punkcie dla
]
1
,
0
(
0
y
,
-
w dwóch punktach dla
]
0
,
1
[
0
y
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
9
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
c)
Bijekcja jest jednocześnie injekcją i surjekcją. Jest to funkcja
Y
X
f
:
, dla której każdy
element
Y
y
jest wartością funkcji, ale tylko dla jednego
X
x
. Obrazem funkcji jest cała
przeciwdziedzina -
Y
X
f
)
(
. Równanie
0
)
(
y
x
f
posiada jedno rozwiązanie
0
x
x
, dla
każdego
Y
y
0
. Prosta pozioma
}
:
)
,
{(
0
0
X
x
Y
X
y
x
L
y
przecina wykres funkcji
f
w jednym punkcie
)
,
(
0
0
y
x
.
-
1
,
0
2
,
0
:
f
, określona wzorem
)
cos(
)
(
x
x
f
jest bijekcją,
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
-
w jednym punkcie dla każdego
]
1
,
0
[
0
y
,
-
1
,
1
,
0
:
f
, określona wzorem
)
cos(
)
(
x
x
f
jest bijekcją,
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
-
w jednym punkcie dla każdego
]
1
,
1
[
0
y
.
10.
Funkcji
Y
X
f
:
można przyporządkować prawostronną funkcję odwrotną
X
Y
h
:
taką, że
y
y
h
f
)
)(
(
dla każdego
Y
y
, wtedy i tylko wtedy gdy
f
jest surjekcją.
Funkcja
5
,
3
,
1
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
:
f
, taka że
ych
nieparzyst
x
dla
x
x
f
)
(
,
parzystych
x
dla
x
x
f
1
)
(
spełnia ten warunek. Należy zauważyć, że wartość
)
(
0
y
h
powinna należeć do przeciwobrazu elementu
0
y
przy przekształceniu
f
( wybór
reprezentanta jest dowolny ). Przykłady funkcji
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
5
,
3
,
1
:
h
:
-
y
y
h
)
(
,
-
1
)
(
y
y
h
.
11.
Funkcji
Y
X
f
:
można przyporządkować lewostronną funkcję odwrotną
X
Y
h
:
taką, że
x
x
f
h
)
)(
(
dla każdego
X
x
, wtedy i tylko wtedy gdy
f
jest injekcją.
Tym razem jeśli
0
y
należy do obrazu funkcji f, czyli
)
(
0
0
x
f
y
dla pewnego
X
x
0
, to
musi być spełniony warunek
0
0
)
(
x
y
h
. Jeśli natomiast
)
(
0
X
f
y
to wartość
)
(
0
y
h
może być dowolna.
Funkcja
Z
Z
f :
, taka że
1
)
(
n
n
f
spełnia ten warunek, przy czym tylko
)
(
1
X
f
.
Przykłady funkcji
Z
Z
h :
:
-
1
)
(
n
n
h
dla
1
n
,
m
h
)
1
(
, gdzie
Z
m
dowolnie wybrana liczba.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
al lin zad3 rozw
al lin zad5 rozw
al lin zad2 rozw
al lin zad4 rozw
al lin zad7 rozw
al lin zad6 rozw
al lin zad3 rozw
al lin zad5 rozw
al lin zad dom1
al lin zad dom4
al lin zad dom3
al lin zad dom2
regresja lin 2 wzor rozw(2)
regresja lin 2 wzor rozw
regresja lin 2 wzor rozw
regresja lin 2 wzor rozw(1)
Sprawozdanie AL zad1
30 Struktury zaleznosci miedzy wskaznikami zrow rozw K Chmura
więcej podobnych podstron