UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
1
ZADANIA - Seria 1, Dowody, relacje, funkcje
1. Wykazać, że
a)
1
1
1
k
n
k
n
k
n
b)
n
k
k
n
k
n
b
a
k
n
b
a
0
)
(
przeprowadzając odpowiednio: a) – dowód bezpośredni, b) – dowód indukcyjny.
2. Wykazać, że każda liczba całkowita
1
n
może być przedstawiona jako iloczyn liczb pierwszych.
3. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
4. Wiedząc, że rozkład liczb całkowitych
1
n
, na czynniki pierwsze jest jednoznaczny,
udowodnić, że
2
jest liczbą niewymierną.
5. Sprawdzić, które z poniższych relacji w zbiorze
S
, określone przez podzbiór
R
iloczynu
kartezjańskiego
S
S
, są: zwrotne, symetryczne, antysymetryczne, przechodnie. Które z nich
wprowadzają w zbiorze
S
całkowity ( liniowy ) lub częściowy porządek? Które z nich są
relacjami równoważności?
a)
}
,
,
,
{
d
c
b
a
S
,
}
)
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
{
d
a
d
b
b
a
c
a
d
d
d
c
b
b
a
a
R
b)
Z
S
,
}
:
)
,
(
{
b
a
b
a
R
c)
Z
S
,
}
,
7
:
)
,
(
{
Z
k
k
b
a
b
a
R
d)
}
:
{
Z
Z
f
funkcje
wszystkie
S
,
}
)
0
(
)
0
(
lub
)
1
(
)
1
(
:
)
,
(
{
g
f
g
f
g
f
R
6. Czy zbiór: a)
}
30
,
15
,
6
,
5
,
3
,
2
,
1
{
S
- dzielniki 30, b)
}
25
,
5
,
1
{
S
- dzielniki 25 ,
jest częściowo lub też całkowicie uporządkowany ze względu na relację:
b
a ~
jeśli
a
jest
dzielnikiem
b
.
7. W zbiorze
2
R
S
określona jest relacja:
)
,
(
~
)
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x
jeśli
)
(
2
2
1
2
1
x
x
y
y
.
a) wykazać, że jest to relacja równoważności,
b) przedstawić opis geometryczny klas równoważności,
c) określić ( geometrycznie ) zbiór reprezentantów wszystkich klas równoważności.
8. Zbiór
}
0
0
:
)
,
(
{
2
b
i
a
R
b
a
S
można przedstawić jako sumę rozłącznych
podzbiorów
R
c
c
A
S
,
}
:
)
,
(
{
c
xy
S
y
x
A
c
. Określić relację równoważności tak,
aby jej klasy równoważności pokrywały się ze zbiorami
c
A
.
9. Dobrać tak dziedzinę
X
i przeciwdziedzinę
Y
funkcji
f
:
Y
x
x
f
x
X
cos
)
(
, aby
funkcja ta posiadała następujące właściwości:
a) f jest injekcją , b) f jest surjekcją , c) f jest bijekcją
Podać, w każdym przypadku, w ilu punktach prosta pozioma
}
:
)
,
{(
0
0
X
x
Y
X
y
x
L
y
,
przecina wykres funkcji
f
, dla danego
Y
y
0
.
10. Niech
}
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
{
X
,
}
5
,
3
,
1
{
Y
. Funkcja
Y
X
f
:
określona jest następująco:
ych
nieparzyst
x
dla
x
x
f
)
(
,
parzystych
x
dla
x
x
f
1
)
(
Podać przykład funkcji
X
Y
h
:
takiej, że
y
y
h
f
)
)(
(
dla każdego
Y
y
.
11. Funkcja
Z
Z
f :
określona jest następująco:
1
)
(
n
n
f
. Podać przykład funkcji
Z
Z
h :
takiej, że
n
n
f
h
)
)(
(
dla każdego
Z
n
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
2
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań
1. a) Dowód wprost.
Równość
1
1
1
k
n
k
n
k
n
stanowi kluczową właściwość współczynników dwumianu
Newtona. Służy ona do konstrukcji trójkąta Pascala,
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
. . . . . . . . . . .
którego kolejne wiersze ( n = 0, 1, 2, ... , n ) zawierają współczynniki dwumianu Newtona
n
n
n
n
k
k
k
n
n
b
a
n
n
b
a
n
b
a
n
b
a
k
n
b
a
0
1
1
0
0
...
1
0
)
(
1
)
(
0
b
a
b
a
b
a
1
)
(
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
3
2
2
3
3
3
3
)
(
b
ab
b
a
a
b
a
4
3
2
2
3
4
4
4
6
4
)
(
b
ab
b
a
b
a
a
b
a
Korzystając z definicji symbolu Newtona
!
)!
(
!
k
k
n
n
k
n
, gdzie
n
n
n
)
1
(
...
2
1
!
pokazujemy, że lewa strona równania równa jest prawej:
P
k
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
n
k
n
L
1
1
)
1
)(
(
1
!
)!
1
(
!
1
1
1
!
)!
1
(
!
)!
1
(
)!
1
(
!
!
)!
(
!
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
3
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
1. b) Dowód przez indukcję.
Korzystamy z pierwszej zasady indukcji matematycznej:
Niech
m
będzie liczbą całkowitą oraz niech
)
(n
p
będzie ciągiem zdań zdefiniowanych na
zbiorze
m
n
Z
n
:
. Jeśli
-
zdanie
)
(m
p
jest prawdziwe oraz
-
dla
m
k
zdanie
)
1
(
k
p
jest prawdziwe, jeśli zdanie
)
(k
p
jest prawdziwe,
to zdanie
)
(n
p
jest prawdziwe dla każdego
m
n
.
Warunek początkowy. Sprawdzamy, że wzór
n
k
k
n
k
n
b
a
k
n
b
a
0
)
(
jest prawdziwy dla
0
n
:
1
)
(
0
b
a
L
,
1
0
0
0
0
0
0
0
b
a
b
a
k
P
k
k
k
, bo
1
n
n
dla
0
n
Krok indukcyjny. Wykazujemy, że powyższy wzór jest prawdziwy dla
1
m
n
, jeśli tylko
jest on prawdziwy dla
m
n
i
0
m
.
1
0
1
0
0
0
0
1
)
(
)
)(
(
)
(
k
k
m
m
k
k
k
m
m
k
k
k
m
m
k
k
k
m
m
k
k
k
m
m
k
m
m
b
a
k
m
b
a
k
m
b
a
k
m
b
b
a
k
m
a
b
a
k
m
b
a
b
a
b
a
b
a
L
Zmieniamy indeks sumacyjny w drugiej sumie z
k
na
l
przyjmując
1
l
k
(
1
k
l
).
Jeśli
m
k
0
to
1
1
m
l
.
Natomiast w pierwszej sumie zmieniamy oznaczenie kładąc
.
l
k
l
k
m
m
l
l
l
m
m
l
b
a
l
m
b
a
l
m
1
1
1
1
0
1
Wyłączamy z pierwszej sumy pierwszy wyraz a z drugiej ostatni
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
m
l
l
m
m
l
m
m
l
l
m
m
l
l
l
m
m
l
m
b
a
m
m
b
a
l
m
l
m
b
a
m
b
a
m
m
b
a
l
m
b
a
l
m
b
a
m
Korzystamy ze wzoru z zadania 1a)
l
m
l
m
l
m
1
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
4
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
m
l
l
m
m
l
m
b
a
m
m
b
a
l
m
b
a
m
Włączamy skrajne składniki pod znak sumacyjny
P
b
a
l
m
l
l
m
m
l
1
1
0
1
2. Dowód przez indukcję.
Korzystamy z drugiej zasady indukcji matematycznej:
Niech
m
będzie liczbą całkowitą oraz niech
)
(n
p
będzie ciągiem zdań zdefiniowanych na
zbiorze
m
n
Z
n
:
. Jeśli
-
zdanie
)
(m
p
jest prawdziwe oraz
-
dla
m
k
zdanie
)
1
(
k
p
jest prawdziwe, jeśli wszystkie zdania
)
(
,
...
,
)
(
k
p
m
p
są prawdziwe,
to zdanie
)
(n
p
jest prawdziwe dla każdego
m
n
.
Warunek początkowy. Dla
2
m
zdanie liczba 2 jest iloczynem liczb pierwszych jest
prawdziwe.
Krok indukcyjny. Niech
2
k
. Jeśli
1
k
jest liczba pierwszą to jest iloczynem liczb
pierwszych. Jeśli
1
k
nie jest liczbą pierwszą to z definicji liczb pierwszych wynika, że można
przedstawić ja jako iloczyn liczb całkowitych,
2
1
1
k
k
k
przy czym
1
2
1
k
k
i
1
2
2
k
k
. Tak więc z założenia indukcyjnego
1
k
i
2
k
są iloczynami liczb pierwszych.
Tym samym
1
k
jest iloczynem liczb pierwszych.
3. Dowód nie wprost ( sprowadzenie do sprzeczności )
Dowód oparty jest na równoważności zdań logicznych:
ć
sprzecznoś
t
z
z
z
t
z
z
z
n
n
~
...
...
2
1
2
1
gdzie
i
z
tworzą zbiór założeń a
t
tezę. Przyjmując, że teza jest nieprawdziwa i korzystając
z założeń sprowadzamy dowód do sprzeczności.
Przyjmijmy więc, że istnieje skończenie wiele liczb pierwszych:
k
p
p
p
,...,
,
2
1
. Niech
1
...
2
1
k
p
p
p
n
. Wtedy
i
p
n
dla każdego
k
i
...,
,
2
,
1
. Liczba n nie jest więc liczbą
pierwszą a z założenia wynika, że jest ona iloczynem liczb pierwszych. Oznacza to, że obie
liczby
n
i
1
n
są podzielne przez jedną z liczb pierwszych
i
p
. Tym samym różnica tych
liczb równa 1 jest podzielna przez
i
p
, co jest niemożliwe ponieważ
2
i
p
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
5
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
4. Dowód nie wprost ( sprowadzenie do sprzeczności )
Przyjmijmy, że
2
jest liczbą wymierną. Istnieją wtedy dwie liczby całkowite
p
i
q
nie
mające wspólnych dzielników, takie że
q
p /
2
. Stąd
2
2
2
p
q
. Z jednoznaczności
rozkładu liczb całkowitych na czynniki pierwsze wynika, że
p
jest podzielne przez 2 czyli
k
p
2
, gdzie k jest całkowite. Wtedy
2
2
2k
q
, a tym samym
q
jest także podzielne przez 2,
co jest sprzeczne z faktem, że
p
i
q
nie mają wspólnych dzielników.
5. a)
Relacja
}
)
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
{
d
a
d
b
b
a
c
a
d
d
d
c
b
b
a
a
R
w zbiorze
}
,
,
,
{
d
c
b
a
S
nie jest zwrotna, ponieważ para
R
c
c
)
,
(
. Element
c
nie jest w relacji sam z
sobą.
Relacja
R
nie jest symetryczna, ponieważ
R
d
c
)
,
(
podczas gdy
R
c
d
)
,
(
.
Relacja
R
jest antysymetryczna, bowiem nie takich dwóch różnych elementów
R
q
p
,
, dla
których równocześnie zachodzi
R
q
p
)
,
(
i
R
p
q
)
,
(
.
Relacja
R
jest przechodnia, bowiem nie takich trzech różnych elementów
R
r
q
p
,
,
, dla
których zachodzi
R
q
p
)
,
(
i
R
r
q
)
,
(
podczas gdy
R
r
p
)
,
(
.
5. b)
Relacja
}
:
)
,
(
{
b
a
b
a
R
w zbiorze
Z
S
nie jest zwrotna, ponieważ dla dowolnej liczby
całkowitej
c
para
R
c
c
)
,
(
. Żadna liczba nie jest większa od siebie.
Relacja
R
nie jest symetryczna, bowiem nie mogą być spełnione równocześnie nierówności
b
a
i
a
b
.
Relacja
R
jest antysymetryczna, bowiem nie mogą być spełnione równocześnie nierówności
b
a
i
a
b
.
Relacja
R
jest przechodnia, ponieważ dla dowolnych trzech liczb całkowitych prawdziwa jest
implikacja:
)
(
)
(
)
(
c
a
c
b
b
a
.
5. c)
Relacja
}
,
7
:
)
,
(
{
Z
k
k
b
a
b
a
R
w zbiorze
Z
S
jest zwrotna, ponieważ dla
dowolnej liczby
Z
c
mamy
0
7
c
c
,
Z
0
.
Relacja
R
jest symetryczna. Jeśli
k
b
a
7
dla pewnego
Z
k
to
)
(
7
k
a
b
i
Z
k
.
Relacja
R
nie jest antysymetryczna, bowiem istnieją dwie różne liczby, na przykład 2 i 9 , dla
których zachodzi
9
~
2
i
2
~
9
.
Relacja
R
jest przechodnia. Jeśli
k
b
a
7
i
m
c
b
7
dla
Z
m
k
,
to
)
(
7
m
k
c
a
i
Z
m
k
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
6
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
Relacja ta jest więc relacją równoważności. Dzieli ona zbiór Z na siedem rozłącznych
podzbiorów ( klas równoważności )
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
,
m
S
m
:
Z
k
m
k
a
Z
a
S
m
,
7
:
Jeśli
m
S
b
a
,
to
m
k
a
7
i
m
l
b
7
dla pewnych
Z
l
k
,
.Wtedy
)
(
7
l
k
b
a
i
)
(
7
k
l
a
b
czyli
b
a ~
i
a
b ~
.
5. d)
Relacja
}
)
0
(
)
0
(
lub
)
1
(
)
1
(
:
)
,
(
{
g
f
g
f
g
f
R
w zbiorze
}
:
{
Z
Z
f
funkcje
wszystkie
S
jest zwrotna, ponieważ dla dowolnej funkcji
f
mamy
)
1
(
)
1
(
f
f
i
)
0
(
)
0
(
f
f
.
Relacja
R
jest symetryczna. Jeśli
)
(
)
(
a
g
a
f
to także
)
(
)
(
a
f
a
g
.
Relacja
R
nie jest antysymetryczna, bowiem istnieją dwie różne funkcje, takie że
)
1
(
)
1
(
g
f
i
)
0
(
)
0
(
g
f
oraz
)
2
(
)
2
(
g
f
.
Relacja
R
nie jest przechodnia. Istnieją takie funkcje
h
g
f
,
,
, dla których:
)
1
(
)
1
(
g
f
i
)
0
(
)
0
(
g
f
oraz
)
0
(
)
0
(
h
g
i
)
1
(
)
1
(
h
f
. Wtedy
g
f ~
i
h
g ~
natomiast
R
h
f
)
,
(
. Na przykład:
1
)
(
a
f
,
a
a
g
)
(
,
0
)
(
a
h
.
6. Uwaga.
W każdym skończonym podzbiorze zbioru
Z
( dodatnie liczby całkowite ) relacja
b
a ~
jeśli
a
b
(
a
jest dzielnikiem
b
) jest relacja porządku. Jest ona:
- zwrotna:
a
a
,
- antysymetryczna: jeśli
a
b
i
b
a
to
b
a
,
- przechodnia: jeśli
a
b
i
b
c
to
a
c
.
a) W zbiorze
}
30
,
15
,
6
,
5
,
3
,
2
,
1
{
S
porządek jest częściowy, ponieważ istnieją takie elementy
a
i
b
, które nie są ze sobą w relacji:
R
b
a
)
,
(
i
R
a
b
)
,
(
. Na przykład 3 i 5 . W zbiorze
S
możemy wyróżnić trzy maksymalne podzbiory uporządkowane liniowo:
30
6
2
1
,
30
15
3
1
,
30
15
5
1
b) W zbiorze
}
25
,
5
,
1
{
S
porządek jest liniowy, ponieważ dla każdych dwóch elementów
a
,
b
zachodzi:
a
b
lub
b
a
.
25
5
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
7
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
7. a)
W zbiorze
2
R
S
relacja:
)
,
(
~
)
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x
jeśli
)
(
2
2
1
2
1
x
x
y
y
jest relacją
równoważności, ponieważ jest ona:
- zwrotna:
)
(
2
1
1
1
1
x
x
y
y
,
- symetryczna: Niech
)
,
(
~
)
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x
, wtedy
)
(
2
2
1
2
1
x
x
y
y
i mnożąc obie
strony równania przez –1 otrzymujemy
)
(
2
1
2
1
2
x
x
y
y
czyli
)
,
(
~
)
,
(
1
1
2
2
y
x
y
x
.
- przechodnia: Niech
)
,
(
~
)
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x
i
)
,
(
~
)
,
(
3
3
2
2
y
x
y
x
.
Wtedy
)
(
2
2
1
2
1
x
x
y
y
i
)
(
2
3
2
3
2
x
x
y
y
. Dodając oba równania
stronami otrzymujemy
)
(
2
3
1
3
1
x
x
y
y
czyli
)
,
(
~
)
,
(
3
3
1
1
y
x
y
x
.
b)
Klasą równoważności punktu
)
,
(
0
0
y
x
jest podzbiór
2
0
R
A
złożony z punktów
)
,
(
y
x
będących w relacji z punktem
)
,
(
0
0
y
x
:
)
(
2
0
0
x
x
y
y
czyli
)
(
2
0
0
x
y
x
y
Podzbiór
0
A
jest więc prostą o współczynniku kierunkowym 2, przechodzącą przez punkt
)
,
(
0
0
y
x
. Cała płaszczyzna
2
R
podzielona jest na rozłączne podzbiory ( klasy równoważności )
– proste równoległe o współczynniku kierunkowym 2.
c)
Zbiorem reprezentantów jest dowolny podzbiór
2
R
, taki że zawiera on po jednym elemencie z
każdej prostej o współczynniku kierunkowym 2. Może nim więc być dowolna prosta, która nie
jest równoległa do
0
A
, opisana równaniem
b
ax
y
, gdzie
2
a
.
Układ równań:
)
(
2
0
0
x
y
x
y
b
ax
y
posiada bowiem zawsze jedno rozwiązanie:
a
x
y
b
x
2
0
0
,
b
a
x
y
b
a
y
2
0
0
jeśli tylko
2
a
.
8.
Klasy równoważności, jakimi są rozłączne podzbiory
}
0
,
:
)
,
(
{
c
c
xy
S
y
x
A
c
,
tworzące podział zbioru
}
0
0
:
)
,
(
{
2
b
i
a
R
b
a
S
, są hiperbolami. Dwa punkty o
współrzędnych
)
,
(
1
1
y
x
i
)
,
(
2
2
y
x
są w relacji jeśli leżą na tej samej hiperboli ( ta sama
wartość
c
):
c
y
x
1
1
i
c
y
x
2
2
. Eliminując z tych równań parametr
c
otrzymujemy:
)
,
(
1
1
y
x
~
)
,
(
2
2
y
x
jeśli
2
2
1
1
y
x
y
x
.
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
8
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
9. a)
Injekcja jest to funkcja różnowartościowa
Y
X
f
:
. Jeśli
2
1
x
x
to
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
dla
wszystkich
X
x
x
2
1
,
. Oznacza to, że
Y
y
0
może być wartością funkcji tylko dla jednego
elementu zbioru
X
. Równanie
0
)
(
y
x
f
posiada co najwyżej jedno rozwiązanie
x
. Prosta
pozioma
}
:
)
,
{(
0
0
X
x
Y
X
y
x
L
y
przecina wykres funkcji
f
co najwyżej w jednym
punkcie.
-
1
,
1
2
,
0
:
f
, określona wzorem
)
cos(
)
(
x
x
f
jest injekcją ale nie surjekcją,
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
-
w jednym punkcie dla
1
,
0
0
y
,
-
w żadnym punkcie dla
)
0
,
1
[
0
y
-
2
,
2
,
0
:
f
, określona wzorem
)
cos(
)
(
x
x
f
jest injekcją ale nie surjekcją,
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
-
w jednym punkcie dla
1
,
1
0
y
,
-
w żadnym punkcie dla
]
2
,
1
(
)
1
,
2
[
0
y
b)
Surjekcja jest to funkcja
Y
X
f
:
, dla której każdy element
Y
y
jest wartością funkcji dla
jakiegoś
X
x
. Obrazem funkcji jest cała przeciwdziedzina -
Y
X
f
)
(
.
Równanie
0
)
(
y
x
f
posiada co najmniej jedno rozwiązanie
x
. Prosta pozioma
}
:
)
,
{(
0
0
X
x
Y
X
y
x
L
y
przecina wykres funkcji
f
w co najmniej jednym punkcie.
-
1
,
0
2
,
2
:
f
, określona wzorem
)
cos(
)
(
x
x
f
jest surjekcją ale nie injekcją,
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
-
w jednym punkcie dla
0
0
y
,
-
w dwóch punktach dla
]
1
,
0
(
0
y
-
1
,
1
4
3
,
0
:
f
, określona wzorem
)
cos(
)
(
x
x
f
jest surjekcją, ale nie injekcją
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
-
w jednym punkcie dla
]
1
,
0
(
0
y
,
-
w dwóch punktach dla
]
0
,
1
[
0
y
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
9
ZADANIA - Seria 1 – uwagi, szkice rozwiązań c.d.
c)
Bijekcja jest jednocześnie injekcją i surjekcją. Jest to funkcja
Y
X
f
:
, dla której każdy
element
Y
y
jest wartością funkcji, ale tylko dla jednego
X
x
. Obrazem funkcji jest cała
przeciwdziedzina -
Y
X
f
)
(
. Równanie
0
)
(
y
x
f
posiada jedno rozwiązanie
0
x
x
, dla
każdego
Y
y
0
. Prosta pozioma
}
:
)
,
{(
0
0
X
x
Y
X
y
x
L
y
przecina wykres funkcji
f
w jednym punkcie
)
,
(
0
0
y
x
.
-
1
,
0
2
,
0
:
f
, określona wzorem
)
cos(
)
(
x
x
f
jest bijekcją,
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
-
w jednym punkcie dla każdego
]
1
,
0
[
0
y
,
-
1
,
1
,
0
:
f
, określona wzorem
)
cos(
)
(
x
x
f
jest bijekcją,
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
-
w jednym punkcie dla każdego
]
1
,
1
[
0
y
.
10.
Funkcji
Y
X
f
:
można przyporządkować prawostronną funkcję odwrotną
X
Y
h
:
taką, że
y
y
h
f
)
)(
(
dla każdego
Y
y
, wtedy i tylko wtedy gdy
f
jest surjekcją.
Funkcja
5
,
3
,
1
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
:
f
, taka że
ych
nieparzyst
x
dla
x
x
f
)
(
,
parzystych
x
dla
x
x
f
1
)
(
spełnia ten warunek. Należy zauważyć, że wartość
)
(
0
y
h
powinna należeć do przeciwobrazu elementu
0
y
przy przekształceniu
f
( wybór
reprezentanta jest dowolny ). Przykłady funkcji
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
5
,
3
,
1
:
h
:
-
y
y
h
)
(
,
-
1
)
(
y
y
h
.
11.
Funkcji
Y
X
f
:
można przyporządkować lewostronną funkcję odwrotną
X
Y
h
:
taką, że
x
x
f
h
)
)(
(
dla każdego
X
x
, wtedy i tylko wtedy gdy
f
jest injekcją.
Tym razem jeśli
0
y
należy do obrazu funkcji f, czyli
)
(
0
0
x
f
y
dla pewnego
X
x
0
, to
musi być spełniony warunek
0
0
)
(
x
y
h
. Jeśli natomiast
)
(
0
X
f
y
to wartość
)
(
0
y
h
może być dowolna.
Funkcja
Z
Z
f :
, taka że
1
)
(
n
n
f
spełnia ten warunek, przy czym tylko
)
(
1
X
f
.
Przykłady funkcji
Z
Z
h :
:
-
1
)
(
n
n
h
dla
1
n
,
m
h
)
1
(
, gdzie
Z
m
dowolnie wybrana liczba.