UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita

ZADANIA DOMOWE - Seria 3

1. Metoda operacji elementarnych na wierszach, twierdzenie Kroneckera-Capellego, rząd macierzy.

Określić ilość rozwiązań układu równań. Podać liczbę parametrów opisujących zbiór rozwiązań.
Czy zbiór rozwiązań stanowi podprzestrzeń liniową?

a)

2

4

3

2

1

3

2

3

2

3

1

























z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

b)

2

3

2

2

3

7

2

3





















t

x

t

z

y

x

z

y

x

2. Macierz odwrotna, wzór Cramera.

Rozwiązać układ równań metodą macierzy odwrotnej oraz ze wzoru Cramera..

a)

3

2

2

1

2

3

5



















z

y

x

z

y

x

z

y

x

b)

2

2

1

4





























z

y

x

t

y

x

t

z

x

t

z

y

3. Metoda operacji elementarnych na wierszach, twierdzenie Kroneckera-Capellego, rząd macierzy .

Dla jakich wartości parametrów a, b układ równań posiada jedno rozwiązanie? Określić liczbę
rozwiązań w pozostałych przypadkach.

a)

1

2

3

9

8

5

2

3





















az

y

x

z

y

x

b

z

y

x

b)

a

z

ay

ax

az

y

x

a

z

y

x





















3

3

5

3

2

4

4. Obraz, jądro oraz macierz przekształcenia liniowego, układ równań liniowych.

W powyższych zadaniach 1,2,3 zapisać układ równań w postaci macierzowej

b

Ax



. Traktując

macierz

A

jako macierz przekształcenia liniowego f znaleźć jądro i obraz tego przekształcenia

(podać ich wymiary ). W oparciu o te właściwości przekształcenia f określić ilość rozwiązań
układu równań.

5. Liniowa niezależność wektorów, macierz przekształcenia liniowego a układ równań liniowych.

W powyższych zadaniach 1,2,3 zapisać układ równań w postaci macierzowej

b

Ax



. Badając

liniową niezależność wektorów kolumnowych macierzy

A

oraz wektora

b

określić ilość

rozwiązań układu równań. Sprawdzić czy powłoka liniowa rozpięta przez wektory kolumnowe
macierzy

A

stanowi obraz przekształcenia liniowego f ?

6. Wielomiany, układ równań liniowych.

Znaleźć wielomian

]

[

3





R

w

, dla którego

2

)

1

(





w

,

4

)

2

(





w

,

2

)

3

(





w

,

10

)

4

(



w

.

7. Wielomiany, przestrzeń liniowa, baza..

Dobrać wielomian

)

(

5

x

w

tak, aby zbiór wielomianów





5

4

3

2

1

,

,

,

,

w

w

w

w

w

, gdzie

3

4

1

)

(

x

x

x

w





,

x

x

x

w

2

)

(

4

2





,

2

4

3

3

)

(

x

x

x

w





,

1

)

(

4

4





x

x

w

tworzył bazę w przestrzeni liniowej

]

[

4



R

.

8. Podprzestrzeni liniowa, baza, układ równań liniowych jednorodnych.

Zbiór wektorów

4

R

V



, których współrzędne ( w bazie zero-jedynkowej ) spełniają warunki:

0

2

3

0

4

2

3

4

3

2

1

4

3

2

1

















x

x

x

x

x

x

x

x

tworzy podprzestrzeń liniową. Wybrać bazę w tej podprzestrzeni.