Algebra liniowa - zadania egzaminacyjne

Zadania (schematy zadań)

1. Rozwiązać dany układ równań liniowych [w zależności od [parametru/parametrów]].
2. Dany jest zbiór U ⊂ R

n

. Sprawdzić, czy zbiór U jest podprzestrzenią wektorową prze-

strzeni R

n

. [Jeżeli tak, to wyznaczyć jej wymiar oraz podać przykład jej bazy.]

3. W przestrzeni R

n

dane są wektory v

1

, . . . , v

n

.

a) Sprawdzić, czy wektory v

1

, . . . , v

n

generują [przestrzeń R

n

/daną podprzestrzeń U ⊂

R

n

].

b) Sprawdzić, czy wektory v

1

, . . . , v

n

są liniowo niezależne.

c) Sprawdzić, czy wektory v

1

, . . . , v

n

stanowią bazę [przestrzeni R

n

/daną podprze-

strzeń U ⊂ R

n

].

d) Wyznaczyć dim lin{v

1

, . . . , v

n

}.

4. Dane są podprzestrzenie U i W przestrzeni R

n

. Wyznaczyć wymiary [i podać przykłady

baz] dla podprzestrzeni [U /W /U ∩ W /U + W ].

5. Dane jest odwzorowanie f : R

n

7→ R

m

.

a) Sprawdzić, czy f jest odwzorowaniem liniowym.
b) Wyznaczyć macierz f w bazach kanonicznych.

Uwagi

1. Powyższa lista zawiera jedynie przykładowe schematy zadań. Zadania na sprawdzia-

nie nie muszą być identyczne. Będą jednak obejmowały ten sam zakres materiału.
Oznacza to, że zrozumienie rozwiązań powyższych zadań i opanowanie odpowiedniej
części teorii powinno wystarczyć na sprawdzianie.

2. Jeżeli w danym zadaniu jakiś fragment znajduje się w nawiasach kwadratowych, to

może on zostać wykreślony (na zasadzie „niepotrzebne skreślić”) i powstanie w ten
sposób prostsza wersja danego zadania. Zadania, które zawierają wiele podpunktów
także mają wiele wariantów: wystarczy wybrać dowolny niepusty zbiór podpunktów.

3. Na sprawdzianie pojawią się też pytania o teorie, tzn. będzie chodziło o podanie kon-

kretnej definicji lub twierdzenia.

4. Na sprawdzianie może pojawić się zadanie na dowód, np. jedno z ćwiczeń z wykładu.

Przykładowe zadania

1. Rozwiązać następujący układ równań liniowych















x

1

+

x

2

+

2x

3

+

2x

4

+

x

5

=

1,

2x

1

+

2x

2

+

4x

3

+

4x

4

+

3x

5

=

1,

2x

1

+

2x

2

+

4x

3

+

4x

4

+

2x

5

=

2,

3x

1

+

5x

2

+

8x

3

+

6x

4

+

5x

5

=

3.

2. W przestrzeni wektorowej R

4

dane są dwie podprzestrzenie

U = {(a, b, −b, a) ∈ R

4

: a, b ∈ R}

oraz

W = {(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) ∈ R

4

: x

1

+ x

4

= 0 i x

2

= x

3

}.

Wyznaczyć wymiary i podać przykłady baz dla podprzestrzeni U , W , U ∩ W oraz
U + W .

7 grudnia 2011 r.

D. Kwietniak

str.1 z 2

Algebra liniowa - zadania egzaminacyjne

3. Zbadać liniową niezależność wektorów (1, 2, 1), (1, 0, 2), (5, 6, 7).
4. Zbadać liniową niezależność wektorów (1, 2, 3), (2, 1, 0), (1, 5, 9). Jeżeli wektory te są

liniowo zależne, to jeden z nich przedstawić jako kombinację liniową pozostałych.

5. Sprawdzić, czy wektory v

1

= (2, 3, 2), v

2

= (1, 1, −1) stanowią bazę przestrzeni

lin{(1, 2, 3), (5, 8, 7), (3, 4, 1)}.

6. Niech f : R

3

7→ R

3

będzie odwzorowaniem danym wzorem

f (x, y, z) = (x − 4y − 4z, 8x − 11y − 8z, −8x + 8y + 5z).

Sprawdzić, czy f jest odwzorowaniem liniowym a jeżeli tak, to podać macierz f .

7 grudnia 2011 r.

D. Kwietniak

str.2 z 2