Algebra Liniowa
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn
Politechnika Poznańska
Poznań, 18 grudnia 2012
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
1 / 25
Spis treści
1
2
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda mnożenia blokami
3
Sposoby znajdowania odwrotności
4
Metoda Gaussa-Jordana
Przykładowe obliczanie macierzy metodą Gaussa-Jordana
Macierz Eliminacji
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
2 / 25
Rodzaje macierzy
Macierz kwadratowa
Macierz kwadratowa to taka macierz, która zawiera tyle samo kolumn, co
wierszy.
Przykład:
M = [
0 2
1 4
]
Macierz prostokątna
Macierz prostokątna to taka macierz, której liczba kolumn nie równa się
liczbie wierszy.
Przykład:
M =
1 5 67
−4 3 3
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
3 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Pierwsza metoda mnożenia dwóch macierzy - nazywana również
mnożeniem Cauchy’ego - jest najczęstszym sposobem na wykonanie
tego działania.
Jeżeli macierz A ma n wierszy i m kolumn, a macierz B ma m
wierszy i p kolumn, to ich iloczyn (macierz AB) będzie miał n wierszy
i p kolumn.
Uwaga!
Działanie to zdefiniowane jest wyłącznie dla macierzy, z których pierwsza
ma tyle kolumn, co druga wierszy!
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
4 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Pierwsza metoda mnożenia dwóch macierzy - nazywana również
mnożeniem Cauchy’ego - jest najczęstszym sposobem na wykonanie
tego działania.
Jeżeli macierz A ma n wierszy i m kolumn, a macierz B ma m
wierszy i p kolumn, to ich iloczyn (macierz AB) będzie miał n wierszy
i p kolumn.
Uwaga!
Działanie to zdefiniowane jest wyłącznie dla macierzy, z których pierwsza
ma tyle kolumn, co druga wierszy!
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
4 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wyliczenie wartości elementu c pierwszą metodą:
AB =
a
31
a
32
...
a
3n
b
14
b
24
...
b
n4
=
c
34
A mxn
B nxp
C=AB
Wzór na wyliczenie wartości elementu c z powyższego przykładu :
a
31
b
14
+ a
32
b
24
+ ... + a
3n
b
n4
=
P
n
k=1
a
3k
b
k4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
5 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wyliczenie wartości elementu c pierwszą metodą:
AB =
a
31
a
32
...
a
3n
b
14
b
24
...
b
n4
=
c
34
A mxn
B nxp
C=AB
Wzór na wyliczenie wartości elementu c z powyższego przykładu :
a
31
b
14
+ a
32
b
24
+ ... + a
3n
b
n4
=
P
n
k=1
a
3k
b
k4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
5 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wyliczenie wartości elementu c pierwszą metodą:
AB =
a
31
a
32
...
a
3n
b
14
b
24
...
b
n4
=
c
34
A mxn
B nxp
C=AB
Wzór na wyliczenie wartości elementu c z powyższego przykładu :
a
31
b
14
+ a
32
b
24
+ ... + a
3n
b
n4
=
P
n
k=1
a
3k
b
k4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
5 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wyliczenie wartości elementu c pierwszą metodą:
AB =
a
31
a
32
...
a
3n
b
14
b
24
...
b
n4
=
c
34
A mxn
B nxp
C=AB
Wzór na wyliczenie wartości elementu c z powyższego przykładu :
a
31
b
14
+ a
32
b
24
+ ... + a
3n
b
n4
=
P
n
k=1
a
3k
b
k4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
5 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wyliczenie wartości elementu c pierwszą metodą:
AB =
a
31
a
32
...
a
3n
b
14
b
24
...
b
n4
=
c
34
A mxn
B nxp
C=AB
Wzór na wyliczenie wartości elementu c z powyższego przykładu :
a
31
b
14
+ a
32
b
24
+ ... + a
3n
b
n4
=
P
n
k=1
a
3k
b
k4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
5 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wyliczenie wartości elementu c pierwszą metodą:
AB =
a
31
a
32
...
a
3n
b
14
b
24
...
b
n4
=
c
34
A mxn
B nxp
C=AB
Wzór na wyliczenie wartości elementu c z powyższego przykładu :
a
31
b
14
+ a
32
b
24
+ ... + a
3n
b
n4
=
P
n
k=1
a
3k
b
k4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
5 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wzór ogólny
Otrzymujemy więc wzór ogólny c
ij
=
P
n
k=1
a
ik
b
kj
Przykładowe mnożenie dwóch macierzy pierwszą metodą:
AB =
3 2 1
1
4
2
1
2
2
2
1
3
=
3 ∗ 1 + 2 ∗ 2 + 1 ∗ 1 3 ∗ 2 + 2 ∗ 2 + 1 ∗ 3
1 ∗ 1 + 4 ∗ 2 + 2 ∗ 1
1 ∗ 2 + 4 ∗ 2 + 3 ∗ 2
Wynikiem jest więc macierz AB, AB =
8
13
11
16
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
6 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wzór ogólny
Otrzymujemy więc wzór ogólny c
ij
=
P
n
k=1
a
ik
b
kj
Przykładowe mnożenie dwóch macierzy pierwszą metodą:
AB =
3 2 1
1
4
2
1
2
2
2
1
3
=
3 ∗ 1 + 2 ∗ 2 + 1 ∗ 1 3 ∗ 2 + 2 ∗ 2 + 1 ∗ 3
1 ∗ 1 + 4 ∗ 2 + 2 ∗ 1
1 ∗ 2 + 4 ∗ 2 + 3 ∗ 2
Wynikiem jest więc macierz AB, AB =
8
13
11
16
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
6 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wzór ogólny
Otrzymujemy więc wzór ogólny c
ij
=
P
n
k=1
a
ik
b
kj
Przykładowe mnożenie dwóch macierzy pierwszą metodą:
AB =
3 2 1
1
4
2
1
2
2
2
1
3
=
3 ∗ 1 + 2 ∗ 2 + 1 ∗ 1 3 ∗ 2 + 2 ∗ 2 + 1 ∗ 3
1 ∗ 1 + 4 ∗ 2 + 2 ∗ 1
1 ∗ 2 + 4 ∗ 2 + 3 ∗ 2
Wynikiem jest więc macierz AB, AB =
8
13
11
16
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
6 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wzór ogólny
Otrzymujemy więc wzór ogólny c
ij
=
P
n
k=1
a
ik
b
kj
Przykładowe mnożenie dwóch macierzy pierwszą metodą:
AB =
3 2 1
1
4
2
1
2
2
2
1
3
=
3 ∗ 1 + 2 ∗ 2 + 1 ∗ 1 3 ∗ 2 + 2 ∗ 2 + 1 ∗ 3
1 ∗ 1 + 4 ∗ 2 + 2 ∗ 1
1 ∗ 2 + 4 ∗ 2 + 3 ∗ 2
Wynikiem jest więc macierz AB, AB =
8
13
11
16
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
6 / 25
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wzór ogólny
Otrzymujemy więc wzór ogólny c
ij
=
P
n
k=1
a
ik
b
kj
Przykładowe mnożenie dwóch macierzy pierwszą metodą:
AB =
3 2 1
1
4
2
1
2
2
2
1
3
=
3 ∗ 1 + 2 ∗ 2 + 1 ∗ 1 3 ∗ 2 + 2 ∗ 2 + 1 ∗ 3
1 ∗ 1 + 4 ∗ 2 + 2 ∗ 1
1 ∗ 2 + 4 ∗ 2 + 3 ∗ 2
Wynikiem jest więc macierz AB, AB =
8
13
11
16
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
6 / 25
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
AB =
↑
↑
↑
b
1
b
2
...
b
n
↓
↓
↓
=
A
↑
b
1
↓
A
↑
b
2
↓
...A
↑
b
n
↓
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
7 / 25
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
AB =
↑
↑
↑
b
1
b
2
...
b
n
↓
↓
↓
=
A
↑
b
1
↓
A
↑
b
2
↓
...A
↑
b
n
↓
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
7 / 25
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
AB =
↑
↑
↑
b
1
b
2
...
b
n
↓
↓
↓
=
A
↑
b
1
↓
A
↑
b
2
↓
...A
↑
b
n
↓
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
7 / 25
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
AB =
↑
↑
↑
b
1
b
2
...
b
n
↓
↓
↓
=
A
↑
b
1
↓
A
↑
b
2
↓
...A
↑
b
n
↓
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
7 / 25
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
AB =
↑
↑
↑
b
1
b
2
...
b
n
↓
↓
↓
=
A
↑
b
1
↓
A
↑
b
2
↓
...A
↑
b
n
↓
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
7 / 25
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
AB =
↑
↑
↑
b
1
b
2
...
b
n
↓
↓
↓
=
A
↑
b
1
↓
A
↑
b
2
↓
...A
↑
b
n
↓
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
7 / 25
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
AB =
↑
↑
↑
b
1
b
2
...
b
n
↓
↓
↓
=
A
↑
b
1
↓
A
↑
b
2
↓
...A
↑
b
n
↓
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
7 / 25
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
AB =
↑
↑
↑
b
1
b
2
...
b
n
↓
↓
↓
=
A
↑
b
1
↓
A
↑
b
2
↓
...
A
↑
b
n
↓
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
7 / 25
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
AB =
↑
↑
↑
b
1
b
2
...
b
n
↓
↓
↓
=
A
↑
b
1
↓
A
↑
b
2
↓
...A
↑
b
n
↓
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
7 / 25
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Przykład dwóch macierzy pomnożonych drugą metodą
AB =
1
−1
−2
3
2
0
0.5 2 −1
2
3
−2
=
=
1
−1
−2
3
2
0
0.5
2
1
−1
−2
3
2
0
2
3
1
−1
−2
3
2
0
−1
−2
AB=
−1.5 −1
1
5
5
−4
1
4
−2
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
8 / 25
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Przykład dwóch macierzy pomnożonych drugą metodą
AB =
1
−1
−2
3
2
0
0.5 2 −1
2
3
−2
=
=
1
−1
−2
3
2
0
0.5
2
1
−1
−2
3
2
0
2
3
1
−1
−2
3
2
0
−1
−2
AB=
−1.5 −1
1
5
5
−4
1
4
−2
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
8 / 25
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Przykład dwóch macierzy pomnożonych drugą metodą
AB =
1
−1
−2
3
2
0
0.5 2 −1
2
3
−2
=
=
1
−1
−2
3
2
0
0.5
2
1
−1
−2
3
2
0
2
3
1
−1
−2
3
2
0
−1
−2
AB=
−1.5 −1
1
5
5
−4
1
4
−2
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
8 / 25
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Macierz A traktujemy jako zbiór poziomych wektorów. Każdy z
wierszy a mnożymy razy macierz B, otrzymując kolejne wiersze
macierzy C.
Wiersze macierzy C są kombinacjami wierszy B.
Sposób trzeci:
AB =
← a
1
→
← a
2
→
...
← a
n
→
=
← a
1
→
B
← a
2
→
B
...
← a
n
→
B
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
9 / 25
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Macierz A traktujemy jako zbiór poziomych wektorów. Każdy z
wierszy a mnożymy razy macierz B, otrzymując kolejne wiersze
macierzy C.
Wiersze macierzy C są kombinacjami wierszy B.
Sposób trzeci:
AB =
← a
1
→
← a
2
→
...
← a
n
→
=
← a
1
→
B
← a
2
→
B
...
← a
n
→
B
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
9 / 25
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Macierz A traktujemy jako zbiór poziomych wektorów. Każdy z
wierszy a mnożymy razy macierz B, otrzymując kolejne wiersze
macierzy C.
Wiersze macierzy C są kombinacjami wierszy B.
Sposób trzeci:
AB =
← a
1
→
← a
2
→
...
← a
n
→
=
← a
1
→
B
← a
2
→
B
...
← a
n
→
B
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
9 / 25
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Macierz A traktujemy jako zbiór poziomych wektorów. Każdy z
wierszy a mnożymy razy macierz B, otrzymując kolejne wiersze
macierzy C.
Wiersze macierzy C są kombinacjami wierszy B.
Sposób trzeci:
AB =
← a
1
→
← a
2
→
...
← a
n
→
=
← a
1
→
B
← a
2
→
B
...
← a
n
→
B
A
B
C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
9 / 25
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Przykład:
Przykład dwóch macierzy pomnożonych trzecią metodą:
AB=
2
3
−2 2
1
4
2
3
−1
−2 −3
4
=
2 3
2
3
−1
−2 −3
4
−2 2
2
3
−1
−2 −3
4
1 4
2
3
−1
−2 −3
4
AB=
−2
−3
10
−8 −12 10
−6
−9
15
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
10 / 25
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Przykład:
Przykład dwóch macierzy pomnożonych trzecią metodą:
AB=
2
3
−2 2
1
4
2
3
−1
−2 −3
4
=
2 3
2
3
−1
−2 −3
4
−2 2
2
3
−1
−2 −3
4
1 4
2
3
−1
−2 −3
4
AB=
−2
−3
10
−8 −12 10
−6
−9
15
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
10 / 25
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Przykład:
Przykład dwóch macierzy pomnożonych trzecią metodą:
AB=
2
3
−2 2
1
4
2
3
−1
−2 −3
4
=
2 3
2
3
−1
−2 −3
4
−2 2
2
3
−1
−2 −3
4
1 4
2
3
−1
−2 −3
4
AB=
−2
−3
10
−8 −12 10
−6
−9
15
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
10 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
AB =
h
a
11
a
21
a
12
a
22
a
13
a
23
i
h
b
11
b
21
b
12
b
22
i
=
a
11
a
12
a
13
b
11
b
21
+
a
21
a
22
a
23
b
12
b
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
11 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
AB =
h
a
11
a
21
a
12
a
22
a
13
a
23
i
h
b
11
b
21
b
12
b
22
i
=
a
11
a
12
a
13
b
11
b
21
+
a
21
a
22
a
23
b
12
b
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
11 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
AB =
h
a
11
a
21
a
12
a
22
a
13
a
23
i
h
b
11
b
21
b
12
b
22
i
=
a
11
a
12
a
13
b
11
b
21
+
a
21
a
22
a
23
b
12
b
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
11 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
AB =
h
a
11
a
21
a
12
a
22
a
13
a
23
i
h
b
11
b
21
b
12
b
22
i
=
a
11
a
12
a
13
b
11
b
21
+
a
21
a
22
a
23
b
12
b
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
11 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
AB =
h
a
11
a
21
a
12
a
22
a
13
a
23
i
h
b
11
b
21
b
12
b
22
i
=
a
11
a
12
a
13
b
11
b
21
+
a
21
a
22
a
23
b
12
b
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
11 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
AB =
h
a
11
a
21
a
12
a
22
a
13
a
23
i
h
b
11
b
21
b
12
b
22
i
=
a
11
a
12
a
13
b
11
b
21
+
a
21
a
22
a
23
b
12
b
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
11 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
AB =
h
a
11
a
21
a
12
a
22
a
13
a
23
i
h
b
11
b
21
b
12
b
22
i
=
a
11
a
12
a
13
b
11
b
21
+
a
21
a
22
a
23
b
12
b
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
11 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
AB =
h
a
11
a
21
a
12
a
22
a
13
a
23
i
h
b
11
b
21
b
12
b
22
i
=
a
11
a
12
a
13
b
11
b
21
+
a
21
a
22
a
23
b
12
b
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
11 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
AB =
h
a
11
a
21
a
12
a
22
a
13
a
23
i
h
b
11
b
21
b
12
b
22
i
=
a
11
a
12
a
13
b
11
b
21
+
a
21
a
22
a
23
b
12
b
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
11 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
AB =
h
a
11
a
21
a
12
a
22
a
13
a
23
i
h
b
11
b
21
b
12
b
22
i
=
a
11
a
12
a
13
b
11
b
21
+
a
21
a
22
a
23
b
12
b
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
11 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Przykład dwóch macierzy pomnożonych metodą
kolumnowo-wierszową.
AB =
4
−1
2
3
−2
1
3
3
1
2
−4 2
=
4
2
−2
3 3 1 +
−1
3
1
2 −4 2
AB=
10
16
2
12
−6
8
−4 −10 0
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
12 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Przykład dwóch macierzy pomnożonych metodą
kolumnowo-wierszową.
AB =
4
−1
2
3
−2
1
3
3
1
2
−4 2
=
4
2
−2
3 3 1 +
−1
3
1
2 −4 2
AB=
10
16
2
12
−6
8
−4 −10 0
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
12 / 25
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Przykład dwóch macierzy pomnożonych metodą
kolumnowo-wierszową.
AB =
4
−1
2
3
−2
1
3
3
1
2
−4 2
=
4
2
−2
3 3 1 +
−1
3
1
2 −4 2
AB=
10
16
2
12
−6
8
−4 −10 0
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
12 / 25
Blokowe mnożenie macierzy
Mnożenie blokami
AB =
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
AB =
C
1
= A
1
B
1
+ A
2
B
3
C
2
= A
1
B
2
+ A
2
B
4
C
3
= A
3
B
1
+ A
4
B
3
C
4
= A
3
B
2
+ A
4
B
4
Objaśnienie
Dzielimy (o ile się da) macierze na segmenty(”bloki”), które
mnożymy jak elementy metodą wierszowo-kolumnową.
Macierze muszą być tak podzielone na bloki, aby dało się je
pomnożyć.
Podczas obliczania już konkretnych wartości w blokach macierzy
wynikowej, możemy wybrać dowolną z metod mnożenia
przedstawionych wcześniej.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
13 / 25
Blokowe mnożenie macierzy
Mnożenie blokami
AB =
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
AB =
C
1
= A
1
B
1
+ A
2
B
3
C
2
= A
1
B
2
+ A
2
B
4
C
3
= A
3
B
1
+ A
4
B
3
C
4
= A
3
B
2
+ A
4
B
4
Objaśnienie
Dzielimy (o ile się da) macierze na segmenty(”bloki”), które
mnożymy jak elementy metodą wierszowo-kolumnową.
Macierze muszą być tak podzielone na bloki, aby dało się je
pomnożyć.
Podczas obliczania już konkretnych wartości w blokach macierzy
wynikowej, możemy wybrać dowolną z metod mnożenia
przedstawionych wcześniej.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
13 / 25
Blokowe mnożenie macierzy
Mnożenie blokami
AB =
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
AB =
C
1
= A
1
B
1
+ A
2
B
3
C
2
= A
1
B
2
+ A
2
B
4
C
3
= A
3
B
1
+ A
4
B
3
C
4
= A
3
B
2
+ A
4
B
4
Objaśnienie
Dzielimy (o ile się da) macierze na segmenty(”bloki”), które
mnożymy jak elementy metodą wierszowo-kolumnową.
Macierze muszą być tak podzielone na bloki, aby dało się je
pomnożyć.
Podczas obliczania już konkretnych wartości w blokach macierzy
wynikowej, możemy wybrać dowolną z metod mnożenia
przedstawionych wcześniej.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
13 / 25
Blokowe mnożenie macierzy
Mnożenie blokami
AB =
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
AB =
C
1
= A
1
B
1
+ A
2
B
3
C
2
= A
1
B
2
+ A
2
B
4
C
3
= A
3
B
1
+ A
4
B
3
C
4
= A
3
B
2
+ A
4
B
4
Objaśnienie
Dzielimy (o ile się da) macierze na segmenty(”bloki”), które
mnożymy jak elementy metodą wierszowo-kolumnową.
Macierze muszą być tak podzielone na bloki, aby dało się je
pomnożyć.
Podczas obliczania już konkretnych wartości w blokach macierzy
wynikowej, możemy wybrać dowolną z metod mnożenia
przedstawionych wcześniej.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
13 / 25
Blokowe mnożenie macierzy
Mnożenie blokami
AB =
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
AB =
C
1
= A
1
B
1
+ A
2
B
3
C
2
= A
1
B
2
+ A
2
B
4
C
3
= A
3
B
1
+ A
4
B
3
C
4
= A
3
B
2
+ A
4
B
4
Objaśnienie
Dzielimy (o ile się da) macierze na segmenty(”bloki”), które
mnożymy jak elementy metodą wierszowo-kolumnową.
Macierze muszą być tak podzielone na bloki, aby dało się je
pomnożyć.
Podczas obliczania już konkretnych wartości w blokach macierzy
wynikowej, możemy wybrać dowolną z metod mnożenia
przedstawionych wcześniej.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
13 / 25
Metoda mnożenia blokami
AB =
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C
1
:
AB =
1
−2
3
3
1
−3
2
3
0
2
1
5
2
4
−1
3
3
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
C
1
=
1
−2
3
1
*
2
−1
+
3
−3
*3 =
13
−4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
14 / 25
Metoda mnożenia blokami
AB =
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C
1
:
AB =
1
−2
3
3
1
−3
2
3
0
2
1
5
2
4
−1
3
3
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
C
1
=
1
−2
3
1
*
2
−1
+
3
−3
*3 =
13
−4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
14 / 25
Metoda mnożenia blokami
AB =
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C
1
:
AB =
1
−2
3
3
1
−3
2
3
0
2
1
5
2
4
−1
3
3
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
C
1
=
1
−2
3
1
*
2
−1
+
3
−3
*3 =
13
−4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
14 / 25
Metoda mnożenia blokami
AB =
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C
1
:
AB =
1
−2
3
3
1
−3
2
3
0
2
1
5
2
4
−1
3
3
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
C
1
=
1
−2
3
1
*
2
−1
+
3
−3
*3 =
13
−4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
14 / 25
Metoda mnożenia blokami
AB =
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C
1
:
AB =
1
−2
3
3
1
−3
2
3
0
2
1
5
2
4
−1
3
3
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
C
1
=
1
−2
3
1
*
2
−1
+
3
−3
*3 =
13
−4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
14 / 25
Metoda mnożenia blokami
AB =
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C
1
:
AB =
1
−2
3
3
1
−3
2
3
0
2
1
5
2
4
−1
3
3
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
C
1
=
1
−2
3
1
*
2
−1
+
3
−3
*3
=
13
−4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
14 / 25
Metoda mnożenia blokami
AB =
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C
1
:
AB =
1
−2
3
3
1
−3
2
3
0
2
1
5
2
4
−1
3
3
4
=
C
1
C
2
C
3
C
4
C
1
=
1
−2
3
1
*
2
−1
+
3
−3
*3 =
13
−4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
14 / 25
Odwrotności macierzy
Macierz odwrotna (jeżeli istnieje) do macierzy kwadratowej A
A
−1
A = I = AA
−1
Macierz odwracalna
O macierzy kwadratowej A, która spełnia to równanie mówimy, że jest
macierzą odwracalną.
Przykład
Odwrotnością macierzy A =
1 3
2
7
jest macierz A
−1
=
7
−3
−2
1
,bo
AA
−1
= I
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
15 / 25
Odwrotności macierzy
Macierz odwrotna (jeżeli istnieje) do macierzy kwadratowej A
A
−1
A = I = AA
−1
Macierz odwracalna
O macierzy kwadratowej A, która spełnia to równanie mówimy, że jest
macierzą odwracalną.
Przykład
Odwrotnością macierzy A =
1 3
2
7
jest macierz A
−1
=
7
−3
−2
1
,bo
AA
−1
= I
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
15 / 25
Odwrotności macierzy
Warunki na istnienie macierzy odwrotnej do kwadratowej macierzy A:
wiersze macierzy A muszą być liniowo niezależne
kolumny macierzy A muszą być liniowo niezależne
nie istnieje niezerowy wektor x spełniający równanie Ax=0
Przykład macierzy nieodwracalnej
1 2
3
6
bo
3
6
= 3
1
2
, czyli wiersze macierzy nie są liniowo niezależne.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
16 / 25
Odwrotności macierzy
Warunki na istnienie macierzy odwrotnej do kwadratowej macierzy A:
wiersze macierzy A muszą być liniowo niezależne
kolumny macierzy A muszą być liniowo niezależne
nie istnieje niezerowy wektor x spełniający równanie Ax=0
Przykład macierzy nieodwracalnej
1 2
3
6
bo
3
6
= 3
1
2
, czyli wiersze macierzy nie są liniowo niezależne.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
16 / 25
Odwrotności macierzy
Warunki na istnienie macierzy odwrotnej do kwadratowej macierzy A:
wiersze macierzy A muszą być liniowo niezależne
kolumny macierzy A muszą być liniowo niezależne
nie istnieje niezerowy wektor x spełniający równanie Ax=0
Przykład macierzy nieodwracalnej
1 2
3
6
bo
3
6
= 3
1
2
, czyli wiersze macierzy nie są liniowo niezależne.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
16 / 25
Znajdowanie odwrotności macierzy 2x2
Chcąc znaleźć odwrotność macierzy musimy postępować jakbyśmy
chcieli rozwiązać dwa układy równań.
Ułożenie dwóch układów równań dla przykładowej macierzy
1 3
2
7
a c
b
d
=
1 0
0
1
,więc
1 3
2
7
a
b
=
1
0
1 3
2
7
c
d
=
0
1
Uwaga! Dla macierzy kwadratowej 2x2 można korzystać z
następującego wzoru
a b
b
d
−1
=
1
ad −bc
d
−b
−c
a
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
17 / 25
Znajdowanie odwrotności macierzy 2x2
Chcąc znaleźć odwrotność macierzy musimy postępować jakbyśmy
chcieli rozwiązać dwa układy równań.
Ułożenie dwóch układów równań dla przykładowej macierzy
1 3
2
7
a c
b
d
=
1 0
0
1
,więc
1 3
2
7
a
b
=
1
0
1 3
2
7
c
d
=
0
1
Uwaga! Dla macierzy kwadratowej 2x2 można korzystać z
następującego wzoru
a b
b
d
−1
=
1
ad −bc
d
−b
−c
a
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
17 / 25
Znajdowanie odwrotności macierzy 2x2
Chcąc znaleźć odwrotność macierzy musimy postępować jakbyśmy
chcieli rozwiązać dwa układy równań.
Ułożenie dwóch układów równań dla przykładowej macierzy
1 3
2
7
a c
b
d
=
1 0
0
1
,więc
1 3
2
7
a
b
=
1
0
1 3
2
7
c
d
=
0
1
Uwaga! Dla macierzy kwadratowej 2x2 można korzystać z
następującego wzoru
a b
b
d
−1
=
1
ad −bc
d
−b
−c
a
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
17 / 25
Wilhelm Jordan
Wilhelm Jordan (1842-1899) - niemiecki geodeta i matematyk. Jest
autorem fundamentalnego dzieła z dziedziny geodezji Handbuch der
Vermessungskunde (po ang. Textbook of Geodesy). W matematyce jest
znany przede wszystkim jako twórca tzw. metody redukcji Gaussa–Jordana
Był profesorem politechnik w Hanowerze i Karlsruhe.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
18 / 25
Metoda Gaussa-Jordana
Aby wyznaczyć odwrotność macierzy kwadratowej większej niż 2x2,
można skorzystać z metody Gaussa-Jordana.
Stosując elementarne operacje na wierszach macierzy (zapisanej jako
[A|I ]), musimy przekształcić ją do postaci [I |A
−1
]
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
19 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Daną mamy macierz A =
h
2 1 1
1 2 1
1 1 2
i
. Chcąc znaleźć jej odwrotność,
zapisujemy tę macierz razem z macierzą identycznościową I.
2
1
1
1
0
0
1
2
1
0
1
0
1
1
2
0
0
1
Teraz przekształcamy te macierze tak, aby po lewej stronie od kreski
otrzymać macierz I. Gdy już tego dokonamy, jednocześnie po prawej
stronie od kreski uzyskamy odwróconą macierz A.
W naszym przypadku najpierw dzielimy pierwszy wiersz przez 2
(staramy się uzyskać jedynkę na a
11
).
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
20 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Daną mamy macierz A =
h
2 1 1
1 2 1
1 1 2
i
. Chcąc znaleźć jej odwrotność,
zapisujemy tę macierz razem z macierzą identycznościową I.
2
1
1
1
0
0
1
2
1
0
1
0
1
1
2
0
0
1
Teraz przekształcamy te macierze tak, aby po lewej stronie od kreski
otrzymać macierz I. Gdy już tego dokonamy, jednocześnie po prawej
stronie od kreski uzyskamy odwróconą macierz A.
W naszym przypadku najpierw dzielimy pierwszy wiersz przez 2
(staramy się uzyskać jedynkę na a
11
).
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
20 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Daną mamy macierz A =
h
2 1 1
1 2 1
1 1 2
i
. Chcąc znaleźć jej odwrotność,
zapisujemy tę macierz razem z macierzą identycznościową I.
2
1
1
1
0
0
1
2
1
0
1
0
1
1
2
0
0
1
Teraz przekształcamy te macierze tak, aby po lewej stronie od kreski
otrzymać macierz I. Gdy już tego dokonamy, jednocześnie po prawej
stronie od kreski uzyskamy odwróconą macierz A.
W naszym przypadku najpierw dzielimy pierwszy wiersz przez 2
(staramy się uzyskać jedynkę na a
11
).
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
20 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Daną mamy macierz A =
h
2 1 1
1 2 1
1 1 2
i
. Chcąc znaleźć jej odwrotność,
zapisujemy tę macierz razem z macierzą identycznościową I.
2
1
1
1
0
0
1
2
1
0
1
0
1
1
2
0
0
1
Teraz przekształcamy te macierze tak, aby po lewej stronie od kreski
otrzymać macierz I. Gdy już tego dokonamy, jednocześnie po prawej
stronie od kreski uzyskamy odwróconą macierz A.
W naszym przypadku najpierw dzielimy pierwszy wiersz przez 2
(staramy się uzyskać jedynkę na a
11
).
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
20 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
1
1
2
1
2
1
2
0
0
1
2
1
0
1
0
1
1
2
0
0
1
w
2
− w
1
, w
3
− w
1
→
Od drugiego wiersza odejmujemy teraz wiersz pierwszy (aby na a
21
uzyskać wartość zero)oraz od trzeciego wiersza odejmujemy wiersz
pierwszy (aby na a
31
uzyskać wartość zero).
1
1
2
1
2
1
2
0
0
0
3
2
1
2
−
1
2
1
0
0
1
2
3
2
−
1
2
0
1
Dzielimy teraz drugi wiersz przez
3
2
, aby uzyskać wartość 1 w a
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
21 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
1
1
2
1
2
1
2
0
0
1
2
1
0
1
0
1
1
2
0
0
1
w
2
− w
1
, w
3
− w
1
→
Od drugiego wiersza odejmujemy teraz wiersz pierwszy (aby na a
21
uzyskać wartość zero)oraz od trzeciego wiersza odejmujemy wiersz
pierwszy (aby na a
31
uzyskać wartość zero).
1
1
2
1
2
1
2
0
0
0
3
2
1
2
−
1
2
1
0
0
1
2
3
2
−
1
2
0
1
Dzielimy teraz drugi wiersz przez
3
2
, aby uzyskać wartość 1 w a
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
21 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
1
1
2
1
2
1
2
0
0
1
2
1
0
1
0
1
1
2
0
0
1
w
2
− w
1
, w
3
− w
1
→
Od drugiego wiersza odejmujemy teraz wiersz pierwszy (aby na a
21
uzyskać wartość zero)oraz od trzeciego wiersza odejmujemy wiersz
pierwszy (aby na a
31
uzyskać wartość zero).
1
1
2
1
2
1
2
0
0
0
3
2
1
2
−
1
2
1
0
0
1
2
3
2
−
1
2
0
1
Dzielimy teraz drugi wiersz przez
3
2
, aby uzyskać wartość 1 w a
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
21 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
1
1
2
1
2
1
2
0
0
1
2
1
0
1
0
1
1
2
0
0
1
w
2
− w
1
, w
3
− w
1
→
Od drugiego wiersza odejmujemy teraz wiersz pierwszy (aby na a
21
uzyskać wartość zero)oraz od trzeciego wiersza odejmujemy wiersz
pierwszy (aby na a
31
uzyskać wartość zero).
1
1
2
1
2
1
2
0
0
0
3
2
1
2
−
1
2
1
0
0
1
2
3
2
−
1
2
0
1
Dzielimy teraz drugi wiersz przez
3
2
, aby uzyskać wartość 1 w a
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
21 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
1
1
2
1
2
1
2
0
0
1
2
1
0
1
0
1
1
2
0
0
1
w
2
− w
1
, w
3
− w
1
→
Od drugiego wiersza odejmujemy teraz wiersz pierwszy (aby na a
21
uzyskać wartość zero)oraz od trzeciego wiersza odejmujemy wiersz
pierwszy (aby na a
31
uzyskać wartość zero).
1
1
2
1
2
1
2
0
0
0
3
2
1
2
−
1
2
1
0
0
1
2
3
2
−
1
2
0
1
Dzielimy teraz drugi wiersz przez
3
2
, aby uzyskać wartość 1 w a
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
21 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
1
1
2
1
2
1
2
0
0
1
2
1
0
1
0
1
1
2
0
0
1
w
2
− w
1
, w
3
− w
1
→
Od drugiego wiersza odejmujemy teraz wiersz pierwszy (aby na a
21
uzyskać wartość zero)oraz od trzeciego wiersza odejmujemy wiersz
pierwszy (aby na a
31
uzyskać wartość zero).
1
1
2
1
2
1
2
0
0
0
3
2
1
2
−
1
2
1
0
0
1
2
3
2
−
1
2
0
1
Dzielimy teraz drugi wiersz przez
3
2
, aby uzyskać wartość 1 w a
22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
21 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
1
0
1
3
2
3
−
1
3
0
0
1
1
3
−
1
3
2
3
0
0
0
4
3
−
1
3
−
1
3
1
Dzielimy teraz trzeci wiersz przez
4
3
1
0
1
3
2
3
−
1
3
0
0
1
1
3
−
1
3
2
3
0
0
0
1
−
1
4
−
1
4
3
4
w
1
−
1
3
w
3
, w
2
−
1
3
w
3
→
Od pierwszego wiersza odejmujemy wiersz trzeci pomnożony przez
1
3
;
to samo odejmujemy od drugiego wiersza.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
22 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
1
0
1
3
2
3
−
1
3
0
0
1
1
3
−
1
3
2
3
0
0
0
4
3
−
1
3
−
1
3
1
Dzielimy teraz trzeci wiersz przez
4
3
1
0
1
3
2
3
−
1
3
0
0
1
1
3
−
1
3
2
3
0
0
0
1
−
1
4
−
1
4
3
4
w
1
−
1
3
w
3
, w
2
−
1
3
w
3
→
Od pierwszego wiersza odejmujemy wiersz trzeci pomnożony przez
1
3
;
to samo odejmujemy od drugiego wiersza.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
22 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
1
0
1
3
2
3
−
1
3
0
0
1
1
3
−
1
3
2
3
0
0
0
4
3
−
1
3
−
1
3
1
Dzielimy teraz trzeci wiersz przez
4
3
1
0
1
3
2
3
−
1
3
0
0
1
1
3
−
1
3
2
3
0
0
0
1
−
1
4
−
1
4
3
4
w
1
−
1
3
w
3
, w
2
−
1
3
w
3
→
Od pierwszego wiersza odejmujemy wiersz trzeci pomnożony przez
1
3
;
to samo odejmujemy od drugiego wiersza.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
22 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
1
0
1
3
2
3
−
1
3
0
0
1
1
3
−
1
3
2
3
0
0
0
4
3
−
1
3
−
1
3
1
Dzielimy teraz trzeci wiersz przez
4
3
1
0
1
3
2
3
−
1
3
0
0
1
1
3
−
1
3
2
3
0
0
0
1
−
1
4
−
1
4
3
4
w
1
−
1
3
w
3
, w
2
−
1
3
w
3
→
Od pierwszego wiersza odejmujemy wiersz trzeci pomnożony przez
1
3
;
to samo odejmujemy od drugiego wiersza.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
22 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
1
0
1
3
2
3
−
1
3
0
0
1
1
3
−
1
3
2
3
0
0
0
4
3
−
1
3
−
1
3
1
Dzielimy teraz trzeci wiersz przez
4
3
1
0
1
3
2
3
−
1
3
0
0
1
1
3
−
1
3
2
3
0
0
0
1
−
1
4
−
1
4
3
4
w
1
−
1
3
w
3
, w
2
−
1
3
w
3
→
Od pierwszego wiersza odejmujemy wiersz trzeci pomnożony przez
1
3
;
to samo odejmujemy od drugiego wiersza.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
22 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
1
0
1
3
2
3
−
1
3
0
0
1
1
3
−
1
3
2
3
0
0
0
4
3
−
1
3
−
1
3
1
Dzielimy teraz trzeci wiersz przez
4
3
1
0
1
3
2
3
−
1
3
0
0
1
1
3
−
1
3
2
3
0
0
0
1
−
1
4
−
1
4
3
4
w
1
−
1
3
w
3
, w
2
−
1
3
w
3
→
Od pierwszego wiersza odejmujemy wiersz trzeci pomnożony przez
1
3
;
to samo odejmujemy od drugiego wiersza.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
22 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Tak więc ostatecznie otrzymaliśmy:
1
0
0
3
4
−
1
4
−
1
4
0
1
0
−
1
4
3
4
−
1
4
0
0
1
−
1
4
−
1
4
3
4
Wynik
Po lewej stronie otrzymaliśmy macierz identycznościową co oznacza, iż po
prawej stronie mamy macierz odwrotna do macierzy A.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
23 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Tak więc ostatecznie otrzymaliśmy:
1
0
0
3
4
−
1
4
−
1
4
0
1
0
−
1
4
3
4
−
1
4
0
0
1
−
1
4
−
1
4
3
4
Wynik
Po lewej stronie otrzymaliśmy macierz identycznościową co oznacza, iż po
prawej stronie mamy macierz odwrotna do macierzy A.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
23 / 25
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Tak więc ostatecznie otrzymaliśmy:
1
0
0
3
4
−
1
4
−
1
4
0
1
0
−
1
4
3
4
−
1
4
0
0
1
−
1
4
−
1
4
3
4
Wynik
Po lewej stronie otrzymaliśmy macierz identycznościową co oznacza, iż po
prawej stronie mamy macierz odwrotna do macierzy A.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
23 / 25
Macierz eliminacji
Jak widzieliśmy na przykładzie wyznaczania odwrotności macierzy,
aby dokonać eliminacji poszczególnych jej elementów, musieliśmy
wykonać na nich pewne działania.
Działania te możemy w skrócie napisać w postaci macierzy E.
Wnioski:
Tak więc cały proces możemy zapisać wzorem: E [AI ] = [IA
−1
]
Wynika z niego, iż EA = I , więc E = A
−1
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
24 / 25
Macierz eliminacji
Jak widzieliśmy na przykładzie wyznaczania odwrotności macierzy,
aby dokonać eliminacji poszczególnych jej elementów, musieliśmy
wykonać na nich pewne działania.
Działania te możemy w skrócie napisać w postaci macierzy E.
Wnioski:
Tak więc cały proces możemy zapisać wzorem: E [AI ] = [IA
−1
]
Wynika z niego, iż EA = I , więc E = A
−1
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
24 / 25
Koniec
Dziękujemy za uwagę.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska)
Poznań, 18 grudnia 2012
25 / 25
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
alg lin 1 sem wyk (1)
alg lin zad egza I
alg lin 3 cwicz
alg lin 5
alg lin 4
Alg lin zestaw II
alg lin zad
Prez przeksztalcenia lin
alg lin 1 sem wyk (1)
03 ustawa o ochronie prawnej odmian ro lin
UNA PARTIDA DIDÁCTICA DEL MI RAIMUNDO GARCÍA MN Hebert Pérez García, 03 06 2013
więcej podobnych podstron