Zestaw II

W zadaniach 1–5 należy rozwiązać podane układy równań w zależności od wartości
parametru m.

(1)

(

x

+2y

+z

=

3

2x

+my

+z

=

3

2x

+y

+mz

=

3

(2)











x

−2y

+z

−2w

=

2

2x

+y

−2z

−w

=

4

mx

+my

−5w

=

0

−y

+z

+2w

=

1

(3)











x

+y

+z

+w

=

0

x

−y

+z

−w

=

0

x

+2y

+4z

+8w

=

0

mx

−2y

+4z

−8w

=

1

(4)

(

mx

+y

+z

=

3

x

+my

+z

=

3

x

+y

+mz

=

3

(5)











y

+2z

−2w

=

0

mx

−z

+w

=

1

mx

+y

−w

=

1

mx

−y

+3z

=

1

W zadaniach 6–9 należy sprawdzić, czy podane wektory są liniowo niezależne; i jeśli
nie są, podać stosowny niezerowy układ skalarów, dla którego kombinacja liniowa jest
równa zero.

(6) u = (2, 1, 2, 1), v = (1, 2, 1, 2), w = (0, 3, 0, −3).

(7) u = (3, 1, 2, 1), v = (−3, 3, −2, 7), w = (0, 1, 0, 2).

(8) u = (1, 2, 3, 4), v = (2, 3, 4, 1), w = (3, 4, 1, 2).

(9) u = (1, −1, 1, −1, 1), v = (1, 1, −1, 1, −1), w = (1, 1, 1, −1, 1), z = (1, 1, 1, 1, −1).

(10*) Niech n > 2, a

1

, . . . , a

n

∈ (0, +∞) i p

1

, . . . , p

n

∈ R oraz niech

b

j

= (a

p

j

1

, . . . , a

p

j

n

)

(j = 1, . . . , n).

Wykazać, że wektory b

1

, . . . , b

n

są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

liczby a

1

, . . . , a

n

są różne między sobą i podobnie p

1

, . . . , p

n

są różne między sobą.

W zadaniach 11–14 spośród poniższych układów wektórów należy wybrać maksymalne
układy wektorów liniowo niezależnych.

(11) a = (1, 1, 1, 1), b = (5, 8, 11, 14) oraz c = (1, 2, 3, 4).

(12) a = (1, 2, 4, 8), b = (0, 1, 2, 3), c = (2, 1, 7, 15) oraz d = (1, 3, 1, 3).

(13) a = (0, 1, 2, 3, 4), b = (1, 2, 3, 4, 0), c = (2, 3, 4, 0, 1), d = (3, 4, 0, 1, 2) oraz e =

(4, 0, 1, 2, 3)

.

(14*) a

j

= (j, j

2

, j

3

, . . . , j

2012

)

dla j = −2011, . . . , −1, 0, 1, . . . , 2011.

W zadaniach 15–17 należy znaleźć bazę przestrzeni V i uzupełnić (tj. powiększyć) ją
do bazy przestrzeni W .

(15) V = {(x, y, z, w) ∈ R

4

: 3x + 2y + z − 2w = 0, −x + y − 2z + w = 0},

W

= {(x, y, z, w) ∈ R

4

: x + 4y − 3z = 0}.

(16) V = {(x, y, z, w) ∈ R

4

: x − 2y − z + w = 0, x + y − 2z − w = 0},

W

= {(x, y, z, w) ∈ R

4

: x − 8y + z + 5w = 0}.

(17) V = {(x, y, z, w) ∈ R

4

: 2x − 2y − z + w = 0, x + y − 2z − 2w = 0},

W

= {(x, y, z, w) ∈ R

4

: x − 3y + z + 3w = 0}.