ALGEBRA LINIOWA
WYKŁAD (1 SEMESTR)
Wiadomości wstępne
N = {1, 2, 3 . . . } - zbiór liczb naturalnych.
C = {· · · − 2, − 1, 0, 1, 2 . . . } - zbiór liczb całkowitych.
Q =
p
q
: p ∈ Z, q ∈ N
-zbiór liczb wymiernych.
R - zbiór liczb rzeczywistych.
IQ = R\Q - zbiór liczb niewymiernych.
Przez Z
∗
, Q
∗
i R
∗
będziemy oznaczać odpowiednio zbiór wszystkich liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywi-
stych bez zera. Q
+
i R
+
będzie oznaczać odpowiednio zbiór wszystkich liczb dodatnich wymiernych i dodatnich
rzeczywistych.
n
X
i=1
a
i
= a
1
+ a
2
+ · · · + a
n
- suma liczb a
i
od 1 do n.
n
Y
i=1
a
i
= a
1
· a
2
· · · · · a
n
- iloczyn liczb a
i
od 1 do n.
n
X
i=1
m
X
j=1
a
ij
=
n
X
i=1
m
X
j=1
a
ij
=
m
X
j=1
n
X
i=1
a
ij
!
.
Przykład 1.
4
X
i=1
i − 1
i + 1
= 1
13
30
,
n
X
i=1
(1 − 2i) = −n
2
,
n
X
i=1
5
i
2
=
5
n+1
− 5
8
,
5
Y
i=3
1
i
=
1
60
,
n
Y
i=1
i
2
= (n!)
2
,
2
X
i=1
3
X
j=1
(i − j) = −3.
Uwaga: n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n.
Niech X i Y będą zbiorami. Iloczynem kartezjańskim tych zbiorów nazywamy zbiór
X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }.
Przykład 2. Niech X = {1, 2, 3} i Y = {0, 1}. Wówczas X × Y = {(1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)}.
Dwuargumentowym działaniem na zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie X × X → X oznaczane np
symbolem: ◦, ?, +, ·, ⊕, itp.
Przykład 3. Zwykłe dodawanie jest działaniem w zbiorze liczb naturalnych N i całkowitych Z. Odejmowanie
nie jest działaniem w zbiorze N ale jest działaniem w zbiorze Z.
Definicja 1. Niech n ∈ N i Z
n
= {0,1, . . . ,n − 1}. Działanie +
n
zwane dodawaniem modulo n określamy w
zbiorze Z
n
wzorem a +
n
b = (a + b)
n
, gdzie (m)
n
oznacza resztę z dzielenia liczby całkowitej m przez n. Podobnie
wzorem a ·
n
b = (ab)
n
określamy w zbiorze Z
n
działanie ·
n
zwane mnożeniem modulo n.
Przykład 4. Tabelki działań +
4
i ·
4
w zbiorze Z
4
.
Grupy i ciała - pojęcia podstawowe
Definicja 2. Mówimy, że działanie ? w zbiorze A jest przemienne, jeśli dla dowolnych a,b ∈ A zachodzi równość
a ? b = b ? a.
Przykład 5. Działanie a ? b =
a+b
2
w zbiorze R jest przemienne. Działanie a ◦ b =
a
a+b
w zbiorze R
+
nie jest
przemienne.
1
Definicja 3. Mówimy, że działanie ? w zbiorze A jest łączne, jeśli dla dowolnych a,b,c ∈ A zachodzi równość
(a ? b) ? c = a ? (b ? c).
Przykład 6. Działanie a ? b =
a+b
2
w zbiorze R nie jest łączne. Działanie a ◦ b =
ab
2
w zbiorze R jest łączne.
Przykład 7. W zbiorze liczb rzeczywistych R działanie określone wzorem:
1. a ? b = a + b jest przemienne i łączne.
2. a ? b = a − b nie jest przemienne i nie jest łączne.
3. a ? b = 2a + 2b jest przemienne ale nie jest łączne.
4. a ? b = b nie jest przemienne ale jest łączne.
Definicja 4. Mówimy, że element e ∈ A jest elementem neutralnym działania ? określonego w A, jeśli dla
dowolnych a ∈ A zachodzi równość a ? e = e ? a = a.
Przykład 8. W zbiorze R elementem neutralnym względem dodawania jest 0, a względem mnożenia 1. W zbiorze
R elementem neutralnym względem działania a ? b = a + b + 2 jest −2. Działanie a ? b =
a+b
2
w zborze R nie ma
elementu neutralnego.
Twierdzenie 1. Dla dowolnego działania ? w zbiorze A istnieje co najwyżej jeden element neutralny tego
działania.
Definicja 5. Niech działanie ? w zbiorze A ma element neutralny e i niech a ∈ A. Każdy element b ∈ A
spełniajacy równość a ? b = b ? a = e nazywamy elementem odwrotnym do a.
Przykład 9. W zbiorze R elementem odwrotnym do a względem dodawania jest −a, a w zbiorze R
∗
elementem
odwrotnym do a względem mnożenia jest
1
a
. W zbiorze R elementem odwrotnym do a względem działania a ? b =
a + b + 2 jest −a − 4.
Twierdzenie 2. Niech działanie ? w zborze A będzie łączne i niech a ∈ A. Wówczas istnieje co najwyżej jeden
element odwrotny do a.
Definicja 6. Niech ? będzie działaniem w niepustym zbiorze G. Parę (G, ?) nazywamy grupą, jeśli działanie ?
ma następujące własności:
1. Dla każdego a,b,c ∈ G mamy (a ? b) ? c = a ? (b ? c),
(łączność)
2. Istnieje e ∈ G t.ż. dla każdego a ∈ G mamy a ? e = e ? a = a,
(istnienie elementu neutralnego)
3. Dla każdego a ∈ G istnieje b ∈ G t.ż. a ? b = b ? a = e.
(istnienie elementu odwrotnego)
Jeżeli ponadto dla każdego a,b ∈ G mamy a ? b = b ? a (przemienność), to G nazywamy grupą abelową (prze-
mienną).
Często grupę (G, ?) oznacza się poprostu przez samo G.
Przykład 10. (R, +), (R
∗
, ·) i (Z
n
, +
n
) są grupami abelowymi. Zbiór R wraz z działaniem ? określonym wzorem
a ? b =
a+b
2
nie jest grupą. (N, ·) nie jest grupą.
Twierdzenie 3. W grupie (G, ?) dla dowolnych elementów a,b ∈ G mamy (a ? b)
−1
= b
−1
? a
−1
.
2
Uwaga: a
−1
oznacza element odwrotny do a.
Definicja 7. Niech (G, ?) będzie grupą. Jeśli zbiór G jest skończony, to liczbę jego elementów nazywamy rzędem
grupy G i oznaczamy rz G. Jeśli natomiast G jest nieskończony, to mówimy, że grupa G ma rząd nieskończony
i piszemy rz G = ∞.
Przykład 11. rz (Z
n
, +
n
) = n, rz (Z, +) = ∞
Definicja 8. Niepusty podzbiór H grupy G, będący grupą względem działania w G nazywamy podgrupą grupy G.
Przykład 12. (Z, +) i (Q, +) są podgrupami grupy (R, +). (N, +) i (IQ, +) nie są podgrupą grupy (R, +).
Definicja 9. Permutacją n-elementową, gdzie n ∈ N, nazywamy każde różnowartościowe odwzorowanie σ zbioru
{1,2, . . . ,n} na siebie. Permutacje taką zapisujemy w postaci
1
2
. . .
i
. . .
n
a
1
a
2
. . .
a
i
. . .
a
n
,
gdzie a
i
oznacza wartość permutacji σ dla argumentu i. Zbiór wszystkich permutacji n-elementowych oznaczamy
przez S
n
.
Twierdzenie 4. (S
n
, ◦), gdzie ◦ oznacza złożenie permutacji jest grupą.
Umowa: złożenie permutacji będziemy nazywali mnożeniem permutacji.
Przykład 13.
1
2
3
4
4
2
1
3
1
2
3
4
1
3
2
4
=
1
2
3
4
4
1
2
3
1
2
3
4
1
3
2
4
1
2
3
4
4
2
1
3
=
1
2
3
4
4
3
1
2
Uwaga 1. (S
4
, ◦) nie jest grupą abelową.
Definicja 10. Niech σ ∈ S
n
. Mówimy, że para uporządkowana (a
k
,a
l
) tworzy inwersję w permutacj σ, jeśli
k < l oraz a
k
> a
l
. Liczbę wszystkich inwersji w permutacji σ oznaczamy przez I(σ). Natomiast liczbę (−1)
I(σ)
nazywamy znakiem permutacji σ i oznaczamy ją symbolem sgn σ. Jeśli sgn σ = 1 to mówimy, że permutacja σ
jest parzysta, a jeśli sgn σ = −1 to mówimy, że permutacja σ jest nieparzysta.
Przykład 14. Niech
σ =
1
2
3
4
5
6
3
1
5
2
6
4
;
τ =
1
2
3
4
5
6
3
5
4
1
6
2
.
Wówczas permutacja σ jest nieparzysta, a permutacja τ jest parzysta.
Definicja 11. Niech w zbiorze A określone będą działania ? oraz ◦. Mówimy, że działanie ? jest rozdzielne
względem działania ◦, jeśli dla dowolnych a,b,c ∈ A zachodzą równości a ? (b ◦ c) = (a ? b) ◦ (a ? c) oraz (a ◦ b) ? c =
(a ? b) ◦ (b ? c).
Przykład 15. W zbiorze R mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, ale dodawanie nie jest rozdzielne
względem mnożenia.
3
Definicja 12. Ciałem nazywamy zbiór K wraz z dwoma dwuargumentowymi działaniami + oraz · takimi, że:
1. (K, +) jest grupą abelową (element neutralny oznaczamy tu przez 0, zaś element przeciwny do elementu x
oznaczamy przez −x),
2. (K\{0}, ·) jest grupą abelową (element neutralny oznaczamy tu przez 1, zaś element odwrotny do elementu
x 6= 0 oznaczamy przez x
−1
),
3. · jest rozdzielne względem +.
Uwaga 2. Z definicji ciała wynika, że działania + i · w ciele muszą spełniać następujące warunki:
1. Dla każdego a, b, c ∈ K (a + b) + c = a + (b + c).
2. Istnieje 0 ∈ K t.ż. dla każdego a ∈ K a + 0 = a.
3. Dla każdego a ∈ K istnieje b ∈ K t.ż. a + b = 0.
4. Dla każdego a, b ∈ K a + b = b + a.
5. Dla każdego a, b, c ∈ K (a · b) · c = a · (b · c).
6. Istnieje 1 ∈ K t.ż. dla każdego a ∈ K a · 1 = a.
7. Dla każdego a ∈ K\{0} istnieje b ∈ K t.ż. a · b = 1.
8. Dla każdego a, b ∈ K a · b = b · a.
9. Dla każdego a, b, c ∈ K a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
Przykład 16. (R, +, ·), (Q, +, ·) i (Z
3
, +, ·) są ciałami. (Z, +, ·) i (Z
6
, +, ·) nie są ciałami.
Liczby zespolone
Wiadomo, że równanie kwadratowe ax
2
+ bx + c = 0, a,b,c ∈ R nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdy b
2
− 4ac < 0.
Można powiedzieć, że zbiór liczb rzeczywistych jest ńiekompletny”bo niezawiera rozwiązań takiego równania.
Był to jeden z powodów, dla których w XV I wieku zbiór liczb rzeczywistych został rozszerzony poprzez dodanie
jednej liczby i majątej tą własność, że i
2
= −1. Tak więc i jest rozwiązaniem równania x
2
+ 1 = 0.
Wyrażenia w postaci a + bi, gdzie a,b ∈ R, nazywano liczbami zespolonymi i wykonywano działania na tych
liczbach analogicznie jak na liczbach rzeczywistych z uwzględnieniem własności i
2
= −1. I tak
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (bc + ad)i.
Przykład 17. (2+3i)+(4−2i) = 6+i,
(2+3i)−(4−2i) = −2+5i,
(2+3i)(4−2i) = 14+8i,
2+3i
4−2i
=
1
10
+
4
5
i.
Logiczne uzasadnienie istnienia tych liczb zespolonych dokonane zostało dopiero na początku XIX wieku
przez Gaussa.
W zbiorze R × R = {z = (a,b) : a,b ∈ R} wprowadzamy działania
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Twierdzenie 5 (własności działań w zbiorze liczb zespolonych). Niech z
1
, z
2
i z
3
będą dowolnymi liczbami
zespolonymi. Wtedy
1. (z
1
⊕ z
2
) ⊕ z
3
= z
1
⊕ (z
2
⊕ z
3
).
2. Dla każdej liczby zespolonej z liczba 0 = (0, 0) spełna równaność z ⊕ 0 = z.
3. Dla każdej liczby zespolonej z = (a, b) liczba −z = (−a, −b) spełna równość z ⊕ (−z) = 0.
4
4. z
1
⊕ z
2
= z
2
⊕ z
1
.
5. (z
1
z
2
) z
3
= z
1
(z
2
z
3
).
6. Dla każdej liczby zespolonej z liczba 1 = (1, 0) spełna równaność z 1 = z.
7. Dla każdej liczby zespolonej z = (a, b) 6= 0 liczba
1
z
=
a
a
2
+ b
2
, −
b
a
2
+ b
2
spełnia równość z
1
z
= 1.
8. z
1
z
2
= z
2
z
1
.
9. z
1
(z
2
⊕ z
3
) = (z
1
z
2
) ⊕ (z
1
· z
3
).
Twierdzenie 6. (R × R, ⊕ , ) jest ciałem w którym równanie x
2
= −1 (x
2
= x x) ma rozwiązanie. Elementy
tego ciała nazywamy liczbami zespolonymi a samo ciało ciałem liczb zespolonych.
Definicja 13. Różnicą i ilorazem liczb zespolonych z = (a, b) i w = (c, d) nazywamy, odpowiednio, liczby z − w
i
z
w
, gdzie
z − w = (a − c, b − d),
z
w
=
ac + bd
c
2
+ b
2
,
bc − ad
c
2
+ d
2
, gdy w 6= 0.
Stwierdzenie 1. Każdą liczbę zespoloną z = (a, b) można zapisać w postaci
(a, b) = (a, 0) ⊕ ((b, 0) (0, 1)).
Twierdzenie 7. Każdą liczbę zespoloną z = (a, b) można przedstawić w postaci z = a + bi.
Jeśli z = a + ib jest liczbą zespoloną, to liczby rzeczywiste a i b nazywamy, odpowiednio, częścią rzeczywistą
i częścią urojoną liczby z i piszemy Re(z) = a oraz Im(z) = b np. Re(2 − i) = 2 i Im(2 − i) = −1. Dwie liczby
zespolone z
1
= a
1
+ ib
1
i z
2
= a
2
+ ib
2
są sobie równe z
1
= z
2
wtedy i tylko wtedy, gdy a
1
= a
2
i b
1
= b
2
.
Uwaga 3. C = {a + bi: a,b ∈ R} - zbiór liczb zespolonych.
Przykład 18. Wyznaczyć liczby rzeczywiste x i y takie, że (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 1 − 3i.
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej. Liczbę zespoloną z = a + bi przedstawiamy na płaszczyźnie
w postaci punktu o współrzędnych (a, b) lub w postaci wektora o początku w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie
(a, b). W tej interpretacji zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy płaszczyzną zespoloną lub płaszczyzną
Gaussa. Oś OX nazywamy osią rzeczywistą a oś OY osią urojoną.
Uwaga 4. Interpretacja geometryczna dodawania i odejmowania dwóch liczb zespolonych.
Definicja 14. Sprzężeniem liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbę z = a − bi.
Np. jeśli z = 3 − 2i to z = 3 + 2i.
Twierdzenie 8. Jeśli z i w są liczbami zespolonymi, to
a) z ± w = z ± w;
b) zw = zw,
z
w
=
z
w
, gdy w 6= 0;
c) (z
n
) = (z)
n
;
d) z jest liczbą rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy z = z.
5
Definicja 15. Modułem liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a,b ∈ R, nazywamy liczbę rzeczywistą |z| zdefiniowaną
wzorem |z| =
√
a
2
+ b
2
.
Np. Jeśli z = 3 − 4i to |z| = 5.
Uwaga 5. Geometrycznie moduł liczby zespolonej z jest odległością punktu z od początku układu współrzędnych.
Moduł różnicy liczb zespolonych z
1
i z
2
jest długością odcinaka łączącego punkty z
1
i z
2
.
Twierdzenie 9. Jeśli z, w ∈ C, to
a) |z| =
√
zz,
|z| = |z| = | − z|;
b) |zw| = |z||w|,
z
w
=
|z|
|w|
, gdy w 6= 0;
c) |z|
> |Re((z))| > Re(z),
|z| > |Im(z))| > Im(z);
d) |z + w|
6 |z| + |w|, (nierówność trójkąta)
e) ||z| − |w||
6 |z + w|.
Uwaga 6. Interpretacja geometryczna nierówności trójkąta.
Wniosek 1. Dla każdej liczby n ∈ N i z,z
1
,z
2
. . . z
n
∈ C jest:
a) |z
n
| = |z|
n
i |z
−n
| = |z|
−n
(z 6= 0),
b) |z
1
+ z
2
+ · · · + z
n
| 6 |z
1
| + |z
2
| + · · · + |z
n
|.
Przykład 19.
(1 − i)
4
(6 + 8i)
(3 + 3i)
2
= 2
2
9
.
Przykład 20. Na płaszczyżnie zespolonej zaznaczyć zbiór tych liczb zespolonych z które spełniają warunki:
|z − 1 − 2i| = 4, |z − i| 6 1 i |z + 3 + i| > 2.
Przykład 21. Rozwiązać następujące równanie, gdzie z jest liczbą zespoloną:
zz + 2z = 19 + 4i.
Dla 0 6= z = a + bi mamy
z = |z|
a
|z|
+
b
|z|
=
p
a
2
+ b
2
a
√
a
2
+ b
2
+
b
√
a
2
+ b
2
przy czym
a
√
a
2
+ b
2
2
+
b
√
a
2
+ b
2
2
= 1.
Istnieje więc dokładnie jedno θ ∈ [0, 2π) takie, że
cos θ =
a
√
a
2
+ b
2
,
sin θ =
b
√
a
2
+ b
2
.
Zatem z = |z|(cos θ + i sin θ) i gdy θ ∈ [0, 2π) to przedstawienie to jest jednoznaczne. θ nazywamy argumentem
liczby zespolonej z i oznaczać będziemy arg(z). Geometrycznie argumentem liczby z jest miara kąta skierowanego,
jaki wektor Oz tworzy z dodatnim kierunkiem osi Ox.
Przykład 22.
√
2
2
+
√
2
2
i = cos
π
4
+ i sin
π
4
,
√
3 + i = 2
cos
π
6
+ i sin
π
6
,
− 3 + 3
√
3i = 6
cos
5π
6
+ i sin
5π
6
,
1 = cos 0 + i sin 0,
i = cos
π
2
+ i
π
2
.
6
Lemat 1. Niech z
1
= r
1
(cos θ
1
+ i sin θ
1
) i z
2
= r
2
(cos θ
2
+ i sin θ
2
). Wówczas
z
1
z
2
= r
1
r
2
(sin(θ
1
+ θ
2
) + i sin(θ
1
+ θ
2
)),
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(cos(θ
1
− θ
2
) + i sin(θ
1
− θ
2
)) .
Wniosek 2. Zachodzi wzór
[r(cos θ + i sin θ)]
n
= r
n
(cos(nθ) + i sin(nθ))
zwany wzorem de Moivre’a.
Przykład 23.
(sin θ + i cos θ)
n
=
h
cos
π
2
− θ
+ i sin
π
2
− θ
i
n
= cos
nπ
2
− nθ
+ i sin
nπ
2
− nθ
,
(1 + i)
16
=
h
√
2
cos
π
4
+ i sin
π
4
i
16
= 256,
(1 + cos α + i sin α)
n
= 2
n
cos
α
2
n
cos
nα
2
+ i sin
nα
2
, gdzie
α ∈ [−π, π].
Uwaga 7 (Wzór Newtona).
(a + b)
n
=
n
X
k=0
n
k
a
n−k
b
k
,
gdzie
n
k
=
n!
k!(n − k)!
.
Przykład 24. Korzystając ze wzoru de Moivre’a i Newtona zapisać sin 3x i cos 3x za pomocą potęg sin x i cos x.
Przykład 25. Wyznaczyć, zbiór liczb zespolonych z, spełniających nierówność π < arg(z − i) < 2π.
Definicja 16. Liczbę w nazywamy pierwiastkiem n−tego stopnia z liczby zespolonej z (n ∈ N), gdy w
n
= z.
Twierdzenie 10. Każda liczba zespolona z = |z|(cos θ + i sin θ) różna od zera ma dokładnie n różnych pier-
wiastków n-tego stopnia i wszystkie one określone są wzorem
w
k
=
n
p|z|
cos
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
,
gdzie k − 0, 1, . . . , n − 1, a
n
p|z| jest pierwiastkiem arytmetycznym.
Uwaga 8 (interpretacja geometryczna pierwiastków). Pierwiastki w
0
, w
1
, . . . , n − 1 stopnia n
> 3 z liczby
zespolonej z są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu
n
p|z| i środku w początku układu
współrzędnych.
Przykład 26. Pierwiastkami 3 stopnia z 1 +
√
3i są: w
0
=
3
√
2 cos
π
9
+ i sin
π
9
, w
1
=
3
√
2 cos
7π
9
+ i sin
7π
9
i
w
2
=
3
√
2 cos
13π
9
+ i sin
13π
9
.
Wniosek 3. Pierwiastkami n-tego stopnia z 1 są:
k
= cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
gdzie
k = 0,1, . . . ,n − 1.
Wniosek 4. Jeśli w jest jakimkolwiek pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z 6= 0 i = cos
2π
n
+ i sin
2π
n
, to
liczby: w, w, w
2
,. . . ,w
n−1
są wszystkimi pierwiastkami n-tego stopnia z liczby z.
Przykład 27. Pierwiastkami 3-go stopnia z liczby (1 + i)
6
są: w = 2i, w = −
√
3 − i oraz w
2
=
√
3 − i.
Przykład 28. Rozwiązaniami równania (2x + 1)
4
= (x − 2)
4
są liczby:
x =
1 + 2
k
k
− 2
,
gdzie
k
jest pierwiastkiem stopnia 4-tego z jedności. Zatem rozwiązaniami są: −3, −i,
1
3
oraz i.
7
Pierwiastkami stopnia drugiego z liczby z = |z|(cos θ + i sin θ) są:
w
0
=
p|z|
cos
θ
2
+ i sin
θ
2
oraz w
1
=
p|z|
cos
θ
2
+ π
+ i sin
θ
2
+ π
= −w
0
.
Uwaga 9. Niech z = a + ib i w = x + iy, gdzie a, b, x, y ∈ R. Na to by liczba zespolona w była pierwiastkiem
kwadratowym liczby z potrzeba i wystarczy, aby
(x + iy)
2
= a + ib,
x
2
− y
2
+ 2xyi = a + ib,
x
2
− y
2
= a
oraz
2xy = b.
Przykład 29. Pierwiastkami kwadratowymi z liczby 1 − 2
√
2i są: −
√
2 + i oraz
√
2 − i.
Twierdzenie 11. Pierwiastkami zespolonymi równania az
2
+ bz + c = 0, gdzie a, b, c ∈ Z i a 6= 0są
z
1
=
−b −
√
∆
2a
z
2
=
−b +
√
∆
2a
, gdzie
∆ = b
2
− 4ac.
Ponadto
az
2
+ bz + c = a(z − z
1
)(z − z
2
).
Przykład 30. Pierwiastkami równania z
2
+ iz + 2 = 0 są z
1
= −2i i z
2
= i. Zatem z
2
+ iz + 2 = (z + 2i)(z − i).
Twierdzenie 12 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Jeśli a
i
∈ C dla i = 1, 2, . . . , n, a
n
6= 0, to wielomian
w(z) = a
n
z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ · · · + a
1
z + a
0
ma pierwiastek z
0
∈ C.
Zasadnicze twierdzenie algebry zostało sformułowane w XVIII wieku przez Maclaurina i Eulera. Twierdze-
nie to próbowali udowodnić najwięksi matematycy tego okresu: d’Alembert, Euler, Lagrange. Kilka dowodów
twierdzenia podał Gauss w XIX wieku. W znanych współcześnie dowodach wykorzystuje się metody analizy
matematycznej lub zaawansowane metody algebry.
Wniosek 5. Jeśli a
i
∈ C dla i = 1, 2, . . . , n, a
n
6= 0, to wielomian
w(z) = a
n
z
n
+ a
n−1
z
n−1
+ · · · + a
1
z + a
0
można rozłożyć na czynniki
w(z) = a
n
(z − z
1
)(z − z
2
) . . . (z − z
n
),
gdzie z
i
∈ C, niekonieczne różne, są pierwiastkami równania w(z) = 0.
Przykład 31. Pierwiastkami równania z
4
− z
3
− iz + i = 0 są liczby: 1, −i,
√
3+i
2
oraz
−
√
3+i
2
. Ponadto
z
4
− z
3
− iz + i = (z − 1)(z + i)
z −
√
3 + i
2
!
z −
−
√
3 + i
2
!
.
Pierwiastkami równania z
4
− 4z
3
+ 5z
2
− 4z + 4 = 0 są liczby: i, −i, oraz 2. Ponadto
z
4
− 4z
3
+ 5z
2
− 4z + 4 = (z − i)(z + i)(z − 2)
2
.
Definicja 17. Dla θ ∈ R liczbę zespoloną cos θ + i sin θ oznaczamy krótko przez e
iθ
;
e
iθ
= cos θ + i sin θ.
8
Twierdzenie 13 (Wzory Eulera). Niech θ ∈ R. Wówczas zachodzą wzory:
cos θ =
e
iθ
+ e
−iθ
2
;
sin θ =
e
iθ
− e
−iθ
2i
.
Stwierdzenie 2. Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci z = |z|e
iθ
, gdzie |z| jest modułem liczby z,
a θ jej argumentem głównym.
Przykład 32. −1 = e
iπ
, 1 + i =
√
2e
i
π
4
.
Twierdzenie 14. Niech z = re
iθ
, z
1
= r
1
e
iθ
1
, z
2
= r
2
e
iθ
2
i k ∈ Z. Wówczas
z
1
z
2
= r
1
r
2
e
i(θ
1
+θ
2
)
,
z
1
z
2
=
r
1
r
2
e
i(θ
1
−θ
2
)
(z
2
6= 0),
z
k
= r
k
e
ikθ
,
− z = re
i(θ+π)
,
z = re
−iθ
.
Przykład 33. Korzystając ze wzorów Eulera pokazać, że
cos x + cos y = 2 cos
x − y
2
cos
x + y
2
.
Liczb zespolonych używa się w elektrotechnice do opisu obwodów elektrycznych prądu zmiennego. Jednostkę
urojoną oznacza się wtedy symbolem j w celu odróżnienia jej od natężenia prądu i płynącego w obwodzie.
Zespolonym odpowiednikiem prądu i = a cos ωt + b sin ωt, gdzie a, b ∈ R, jest liczba zespolona a + jb.
Macierze
Definicja 18. Macierzą o m wierszach i n kolumnach nazywamy prostokątną tablice
A =
a
11
a
12
a
13
. . .
a
1n
a
21
a
22
a
23
. . .
a
2n
a
31
a
32
a
33
. . .
a
3n
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
a
m1
a
m2
a
m3
. . .
a
mn
utworzonych z elementów a
ij
(1
6 i 6 m, 1 6 j 6 n) ustalonego ciała K. Elementy a
ij
macierzy A nazywamy jej
współczynnikami. Na oznaczenie macierzy będziemy także używali symbolu [a
ij
]
m×n
. Symbolem K
m×n
będziemy
oznaczali zbiór wszystkich macierzy o wymiarach m × n, których współczynniki należą do ciała K. Macierze
a
i?
=
h
a
i1
a
i2
a
i3
. . .
a
in
i
∈ K
1×n
oraz
a
?j
=
a
1j
a
2j
a
3j
..
.a
mj
∈ K
m×1
nazywamy, odpowiednio, i-tym wierszem i j-tą kolumną macierzy A.
Przykład 34. Niech
A =
−1
2
−12
0
0
3
oraz
B =
i
2
2
1 − i
.
Macierz A jest macierzą rzeczywistą o 2 wierszach i 3 kolumnach. Macierz B jest macierzą zespoloną o 2
wierszach i 2 kolumnach.
Definicja 19 (rodzaje macierzy). Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy są zerami nazywamy
macierzą zerową i oznaczamy 0
m×n
lub 0, gdy znamy jej wymiar. Macierz, której liczba wierszy jest równa
liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową. Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza i ko-
lumny, tworzą główną przekątną macierzy. Macierz kwadratową, w której wszystkie elementy stojące nad główną
9
przekątną są zerami, nazywamy macierzą trójkątną dolną. Macierz kwadratową, w której wszystkie elementy sto-
jące poniżej głównej przekątnej są zerami, nazywamy macierzą trójkątną górną. Macierz kwadratową, w której
wszystkie elementy nie stojące na przekątną są zerami, nazywamy macierzą diagonalną i oznaczamy ją sym-
bolem diag(a
1
, a
2
, . . . ,a
n
). Macierz diagonalną, w której wszystkie elementy głównej przekatnej są jedynkami,
nazywamy macierzą jednostkową. Macierz jednostkową o wymiarze n × n oznaczamy I
n
lub I, gdy znamy jej
wymiar.
Przykład 35. Niech
A =
0
0
0
0
0
0
, B =
i
2
2
1 − i
,C =
2
0
0
3
−1
0
1
4
−2
,
D =
2
−1
3i
0
−1
9
0
0
−2
, E =
6
0
0
0
−1
0
0
0
−2
, F =
1
0
0
1
.
Macierze A, B, C, D, E i F są odpowiednio macierzą zerową, kwadratową, trójkątną dolną, trójkątną górną,
diagonalną i jednostkową.
Definicja 20. Macierze A = [a
ij
]
m×n
∈ K
m×n
, B = [b
ij
]
k×l
∈ K
k×l
nazywamy równymi i piszemy A = B, gdy
m = k, n = l i a
ij
= b
ij
dla i = 1, . . . , m oraz j = 1, . . . , n.
Definicja 21. Niech A = [a
ij
]
m×n
∈ K
m×n
, B = [b
ij
]
m×n
∈ K
m×n
i α ∈ K. Wówczas
A ± B = [a
ij
± b
ij
]
m×n
oraz
αA = [αa
ij
]
m×n
.
Przykład 36. Niech
A =
−1
2
−12
0
0
3
oraz
B =
2
2
1
2
1
−8
.
Wówczas
A + B =
1
4
−11
2
1
−5
oraz − 3B =
−6
−6
−3
−6
−3
24
.
Twierdzenie 15. Niech A, B, C ∈ K
m×n
, α, β ∈ K oraz 0 będzie macierzą zerową wymiaru m × n. Wówczas
a) A + B = B + A;
b) A + (B + C) = (A + B) + C;
c) A + 0 = 0 + A = A;
d) A + (−1)A = 0;
e) α(A + B) = αA + αB;
f ) (α + β)A = αA + βB;
g) (αβ)A = α(βA);
h) 1 · A = A.
Wniosek 6. Z własności a)-d) wynika, że (K
m×n
, +) jest grupą przemienną.
10
Przykład 37. Wyznaczyć macierz X taką, że
2
i
−i
1
1 − i
+ X
= 3X −
2 − i
i
1
0
.
Definicja 22. Niech A = [a
ij
]
m×n
∈ K
m×n
oraz B = [b
ij
]
n×k
∈ K
n×k
. Wówczas
A · B = [c
ij
]
m×k
, gdzie
c
ij
=
n
X
l=1
a
il
b
lj
dla 1
6 i 6 m oraz 1 6 j 6 k.
Przykład 38.
2
0
1
1
0
−1
·
0
−1
2
−1
3
2
=
3
0
−3
−3
1
−1
−1
0
·
2
1
1
2
=
1
−1
2
−1
2
1
1
2
·
1
−1
−1
0
=
1
−2
−1
−1
.
Uwaga 10. Z powyższego przykładu widzimy, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.
Twierdzenie 16. Dla skalara α i macierzy A, B, C oraz macierzy jednostkowej I zachodzą następujące równości
(pod warunkiem, że występujące w nich działania są wykonalne):
a) A(B + C) = AB + AC;
b) (A + B)C = AC + BC;
c) IA = A i AI = A;
d) (αA)B = A(αB) = α(AB);
e) A(BC) = (AB)C.
Przykład 39. Wyznaczyć X taką, że
1
−2
h
2
3
i
+ X
=
1
−1
−2
2
.
Praktyczny przykład:
Niech macierz A reprezentuje tygodniową produkcje firmy ABAX. Firma ma trzy różne fabryki i wytwarza cztery
różne produkty (załóżmy, że liczymy je w jednostkach po 1000 sztuk). Macierz A ma postać
A =
7
5
0
1
0
4
3
7
3
2
0
2
.
Plan produkcyjny w drugim tygodniu jest inny. Przedstawia go macierz B:
B =
9
4
1
0
0
5
1
8
4
1
1
0
.
Zysk jednostkowy na poszczególnych produktach jest równy 3,9,8,2. Możemy zapisać go w formie macierzy
Z =
3
9
8
2
.
Łączna produkcja w ciągu tych dwóch tygodni wynosi: A + B. Aby obliczyć łączny zysk dla każdej fabryki w
pierwszym tygodniu wykonujemy działanie: A · Z.
11
Definicja 23. Macierzą transponowaną macierzy A = [a
ij
] ∈ K
m×n
nazywamy macierz A
T
= [a
ji
] ∈ K
n×m
dla
i = 1, . . . , n oraz j = 1, . . . , m.
A
T
powstaje z macierzy A przez zamianę wierszy na kolumny i kolumny na wiersze.
Przykład 40.
A =
9
4
1
0
5
2
oraz
A
T
=
9
0
4
5
1
2
.
Definicja 24. Macierz kwadratową A nazywamy macierzą symetryczną, gdy A
T
= A, a jest ona skośnie syme-
tryczna, gdy A
T
= −A.
Twierdzenie 17. Dla dowolnych macierzy A, B ∈ K
m×n
i C ∈ K
n×k
oraz skalara α ∈ K mamy
a) (A
T
)
T
= A;
b) (αA)
T
= αA
T
;
c) (A + B)
T
= A
T
+ B
T
;
d) (AC)
T
= C
T
A
T
.
Definicja 25. Mówimy, że macierz kwadratowa A ∈ K
n×n
jest odwracalna, jeśli istnieje macierz B ∈ K
n×n
,
taka że AB = BA = I
n
.
Przykład 41. Sprawdzić, że macierzą odwrotną do macierzy A jest macierz B, gdzie
A =
3
2
7
5
oraz
B =
5
−2
−7
3
.
Stwierdzenie 3. Jeśli A ∈ K
n×n
i B ∈ K
n×n
, to AB = I
n
wtedy i tylko wtedy, gdy BA = I
n
.
Przykład 42. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:
A =
5
8
3
5
.
Twierdzenie 18. Jeśli A i B są macierzami odwracalnymi ze zbioru K
n×n
,to
a) macierz A
−1
jest odwracalna i (A
−1
)
−1
= A;
b) macierz A
T
jest odwracalna i (A
T
)
−1
= (A
−1
)
T
;
c) macierz AB jest odwracalna i (AB)
−1
= B
−1
A
−1
.
Przykład 43. Niech macierze A, B i C będą dane. Wyznaczyć X spełnających równanie:
a) AXB = C,
b) (AX)
T
= B,
c) (AX)
−1
= B.
Przykład 44. Uzasadnić, że macierz
1
1
−1
−1
nie ma macierzy odwrotnej.
Definicja 26. Potęge macierzy kwadratowej A ∈ K
n×n
definiujemy przyjmując, że A
0
= I
n
i A
k+1
= A
k
A dla
k > 0.
12
Definicja 27. Jeśli A = [a
ij
] ∈ K
n×n
, to sumę elementów należących do jej głównych przekątnych nazywamy
śladem macierzy A i oznaczamy tr(A).
Przykład 45.
tr
1
2
0
−1
3
9
0
4
−1
= 1 + 3 + (−1) = 3.
Twierdzenie 19. Jeśli A ∈ K
m×n
i B ∈ K
n×m
, to tr(AB) =tr(BA).
Definicja 28. Macierze A, B ∈ K
n×n
nazywamy podobnymi, gdy istnieje macierz odwracalna C ∈ K
n×n
taka,
że B = C
−1
AC. Macierz C nazywamy macierzą podobieństwa macierzy A do macierzy B.
Przykład 46. Macierze A =
4
1
3
2
i B =
1
0
0
5
są podobne, a macierz C =
−1
1
3
1
jest dla nich
macierzą podobieństwa.
Twierdzenie 20. Jeśli macierze kwadratowe A i B są podobne, to tr(A)=tr(B).
Przykład 47. Czy macierze A =
1
−1
2
9
i B =
1
−1
8
5
są podobne?
13