Zadania z przedmiotu

Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr

seria 4

1. Sprawdzi´

c liniow

,

a zale˙zno´s´

c uk ladu A wektor´

ow przestrzeni liniowej V nad cia lem K, je˙zeli

(a) A = {(1, −2), (2, 3)}, V = K

2

, K = R;

(b) A = {(−1, −2), (−2, 1), (1, 0)}, V = K

2

, K = R;

(c) A = {(2, 1, 0), (0, 2, 1), (1, 0, 2)}, V = K

3

, K = Z

3

;

(d) A = {(2, 1, 0), (0, 2, 1), (1, 0, 2)}, V = K

3

, K = Z

5

;

(e) A =

1,

√

3,

√

3,

√

5

, V = R, K = Q;

(e) A =

√p | p jest liczb

,

a pierwsz

,

a

, V = R, K = Q.

2. Wyznaczy´

c wszystkie warto´sci λ, dla kt´

orych wektor w jest kombinacj

,

a liniow

,

a wektor´

ow v

1

,

v

2

, v

3

:

(a) v

1

= (2, 3, 5), v

2

= (3, 7, 8), v

3

= (1, −6, 1), w = (7, −2, λ);

(b) v

1

= (3, 2, 5), v

2

= (2, 4, 7), v

3

= (5, 6, λ), w = (1, 3, 5).

3. Niech V oznacza przestrze´

n funkcji rzeczywistych ci

,

ag lych na R. Sprawdzi´c liniow

,

a zale˙zno´s´

c

uk lad´

ow funkcji:

(a) A = {1, sin x, cos x};

(b) A = {sin x, sin 2x, sin 3x};

(c) A =

1, cos 2x, sin

2

x

.

4. W przestrzeni liniowej V = K

n

nad cia lem K okre´slamy podzbi´

or

W = {(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) | x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

= 0} .

(a) Wykaza´

c, ˙ze W jest podprzestrzeni

,

a liniow

,

a przestrzeni V ;

(b) Poda´

c przyk lad bazy przestrzeni W ;

(c) Rozszerzy´

c baz

,

e podprzestrzeni W (z punktu (b)) do bazy przestrzeni V .

5. Niech R[x]

n

oznacza zbi´

or wszystkich wielomian´

ow o wsp´

o lczynnikach rzeczywistych stopnia

co najwy˙zej n.

(a) Wykaza´

c, ˙ze R[x]

n

jest przestrzeni

,

a liniow

,

a nad R.

(b) Wykaza´

c, ˙ze W = {f (x) ∈ R[x]

n

| f (1) = 0} jest podprzestrzeni

,

a przestrzeni liniowej

R[x]

n

. Wyznaczy´

c wymiar W .

(c) Wykaza´

c, ˙ze zbi´

or wielomian´

ow stopnia co najwy˙zej n, dla kt´

orych liczba 1 jest co naj-

mniej k-krotnym pierwiastkiem, jest podprzestrzeni

,

a przestrzeni liniowej R[x]

n

. Znale´

z´

c

wymiar tej przestrzeni.

6. Znale´

z´

c wsp´

o lrz

,

edne wektora v ∈ V w bazie B przestrzeni V , je´sli

(a) V = R

3

, v = (1, 2, 3), B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)};

(b) V = K

n

, v = (n, n − 1, n − 2, . . . , 2, 1), B = {η

1

, η

2

, . . . , η

n

}, gdzie η

k

= 

1

+ · · · + 

k

dla k = 1, 2, . . . , n. [Przypomnienie: 

i

= (0, 0, ..., 1, 0, ..., 0), tzn. i-ta wsp´

o lrz

,

edna jest

r´

owna 1, a pozosta le 0.]

7. Wyznaczy´

c wszystkie bazy i wszystkie podprzestrzenie 2-wymiarowej przestrzeni liniowej V

nad cia lem Z

3

.

8. Ile element´

ow ma n-wymiarowa przestrze´

n liniowa nad cia lem p-elementowym?

9. Niech dany b

,

edzie uk lad k wektor´

ow przestrzeni R

n

:

v

i

= (x

i1

, x

i2

, . . . , x

in

),

i = 1, 2, . . . , k,

gdzie k ≤ n. Wykaza´

c, ˙ze je´sli

k

X

i=1

|x

ij

| < 2|x

jj

|

dla ka˙zdego j = 1, 2, . . . , k, to dany uk lad wektor´

ow jest liniowo niezale˙zny.

1