Algebra z geometrią analityczną
zadania z odpowiedziami
Maciej Burnecki
Spis treści
Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna
2
3
4
6
7
10
11
Iloczyn skalarny i odległość w R
13
Przestrzenie i przekształcenia liniowe
13
15
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1
Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematycz-
na
1.1. Uprość wyrażenie
(a)
a − b
a
2
− 2ab + b
2
a
b
− 1
,
(b)
b − a
a
2
− b
2
b
a
+ 1
,
(c)
a
4
+ a
3
b + a
2
b
2
a
3
− b
3
b
2
a
2
− 1
.
1.2. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f (x) wyznacz współczynnik przy
x
m
, jeśli
(a) f (x) =
x
5
+
1
√
x
10
, m = 39,
(b) f (x) =
x
4
−
1
x
2
9
, m = 24.
1.3. Zapisz w prostszej postaci liczbę
(a)
n
X
k=0
n
k
3
k
,
(b)
n
X
k=0
n
k
(−2)
k
.
1.4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij, że dla wszystkich liczb
naturalnych dodatnich n ∈ N
+
:
(a) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ . . . + n
2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
,
(b) 4
n−1
n
2
,
(c) liczba 7
n
− 4
n
jest podzielna przez 3.
2
Odpowiedzi, wskazówki
1.1.
(a)
1
b
,
(b) −
1
a
,
(c) −a − b.
1.2.
(a) a
2
=
10
2
= 45,
(b) a
2
=
9
2
= 36.
1.3.
(a) 4
n
,
(b) (−1)
n
.
1.4. Najpierw przez podstawienie sprawdź, że teza zachodzi dla n = 1; praw-
dziwe zatem jest twierdzenie T
1
. Następnie z prawdziwości twierdzeń
T
1
, T
2
, . . . , T
n
(może wystarczyć użycie tylko T
n
) wywnioskuj prawdziwość
twierdzenia T
n+1
, gdzie n ∈ N
+
.
2
Geometria analityczna w R
2
2.1. Wyznacz w mierze łukowej kąt pomiędzy wektorami u, v, jeśli
(a) u =
1,
√
3
, v =
−1,
√
3
,
(b) u =
−
√
3, 1
, v =
−1,
√
3
,
(c) u =
√
2,
√
2
, v =
−1, −
√
3
,
(d) u =
−
√
2, −
√
2
, v =
√
3, −1
.
Wskazówka: dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako
sumy lub różnice odpowiednich kątów.
2.2. Wyznacz kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = (1, 1), B =
(
√
3, 2 +
√
3), C = (1 +
√
3, 2).
2.3. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B w trójkącie o wierz-
chołkach A = (3, 5), B = (0, 6) oraz C = (2, 2).
2.4. Wyznacz punkt przecięcia oraz kąt, pod jakim przecinają się proste, okre-
ślone przez układy równań
x = 2
√
3 −
√
3 t,
y = −5 + t
oraz
x = s,
y = −1 −
√
3 s,
gdzie t, s ∈ R.
2.5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty (4, 6), (5, 5) i (−2, −2).
2.6. Nazwij i opisz równaniem zbiór tych punktów z płaszczyzny, których odle-
głość od punktu A = (1, 2) jest dwa razy większa od odległości od punktu
B = (4, 5).
3
2.7. Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną
ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A, B, jeśli
(a) S = (1, −3), A = (−1, 2), B = (2, 4),
(b) S = (−2, −1), A = (1, 2), B = (4, 1).
2.8. Napisz równania tych stycznych do okręgu o równaniu x
2
+2x+y
2
−3 = 0,
które przecinają się z prostą
√
3 x − y + 1 = 0 pod kątem
π
3
.
Odpowiedzi, wskazówki
2.1.
(a)
π
3
,
(b)
π
6
,
(c)
11
12
π,
(d)
7
12
π.
2.2.
π
2
.
2.3.
√
10.
2.4. Proste przecinają się pod kątem
π
6
w punkcie (
√
3, −4).
2.5. (x − 1)
2
+ (y − 2)
2
= 25.
2.6. okrąg (zwany okręgiem Apoloniusza), o równaniu (x − 5)
2
+ (y − 6)
2
= 8.
2.7.
(a) (x − 1)
2
+ (y + 3)
2
=
19
2
13
,
(b) (x + 2)
2
+ (y + 1)
2
=
12
2
10
.
2.8. y = −2, y = 2, y = −
√
3 x +
√
3 +
√
14, y = −
√
3 x +
√
3 −
√
14.
3
Liczby zespolone
3.1. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
(a) z =
1 + i
2 − i
,
(b) z =
2 + 3i
4 + 5i
.
3.2. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniają-
cych warunek
(a) Re(−2iz + 4) 0,
(b) Im(z − i) = Im((2 − i)z + i),
(c) Re z
2
= [Im(iz)]
2
− 4,
4
(d) |iz + 2| = |iz − 2i|,
(e) | − 2z| = |4z − 4|.
3.3. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
(a) z =
(1 +
√
3i)
20
(1 − i)
40
,
(b) z =
(1 + i)
40
(
√
3 − i)
20
,
(c) z =
(
√
3 − i)
24
(1 −
√
3i)
14
(1 − i)
20
.
3.4. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniają-
cych warunek
(a) 0 ¬ arg(1 + iz) ¬ π/2,
(b) Im z
4
< 0.
3.5. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z
liczby
(a) z = −1,
(b) z = i,
(c) z = −2 + 2i,
(d) z = 1 + i.
3.6. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie
(a) z
2
− 2z + 4 = 0,
(b) z
4
= (−1 + 2z)
4
.
3.7. Wyznacz pole figury F = {z ∈ C : Im z
3
0 ∧ −1 ¬ Im(z) < 0}.
Odpowiedzi, wskazówki
3.1.
(a) z =
1
5
+
3
5
i,
(b) z =
23
41
+
2
41
i.
3.2.
(a) półpłaszczyzna y −2,
(b) prosta y =
1
3
x −
2
3
,
(c) proste y = 2, y = −2,
(d) prosta y = x,
(e) okrąg o środku w punkcie
4
3
, 0
i promieniu
2
3
.
3.3.
(a) −
1
2
+
√
3
2
i,
5
(b) −
1
2
−
√
3
2
i,
(c)
1
2
−
√
3
2
i.
3.4.
(a) Zbiór A składa się z liczb zespolonych z, określonych przez warunki
Re(z) 0 ∧ Im(z) ¬ 1 ∧ z 6= i (przesunięta o wektor (0, 1) czwarta
ćwiartka układu współrzędnych, z brzegiem i bez punktu (0, 1)),
(b) arg(z) ∈
π
4
,
π
2
∪
3π
4
, π
∪
5π
4
,
3π
2
∪
7π
4
, 2π
, co na płaszczyźnie
przedstawia sumę wnętrz czterech kątów.
3.5.
(a) w
0
=
1
2
+
√
3
2
, w
1
= −1, w
2
=
1
2
−
√
3
2
,
(b) w
0
=
√
3
2
+
1
2
i, w
1
= −
√
3
2
+
1
2
i, w
2
= −i,
(c) w
0
= 1 + i, w
1
= −
1
2
−
√
3
2
+
−
1
2
+
√
3
2
!
i, w
2
= −
1
2
+
√
3
2
+
−
1
2
−
√
3
2
!
i,
(d) w
0
=
1 +
√
3
2
3
√
2
+
√
3 − 1
2
3
√
2
i, w
1
=
−1
3
√
2
+
1
3
√
2
i, w
2
=
1 −
√
3
2
3
√
2
−
1 +
√
3
2
3
√
2
i.
Wskazówka: cos
π
12
=
q
1+cos
(
2·
π
12
)
2
=
√
2+
√
3
2
=
1+
√
3
2
√
2
, sin
π
12
=
√
3−1
2
√
2
.
3.6.
(a) z ∈
1 +
√
3 i, 1 −
√
3 i
,
(b) z ∈
1,
2
5
−
1
5
i,
1
3
,
2
5
+
1
5
i
.
3.7.
√
3
3
.
4
Wielomiany i funkcje wymierne
4.1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli
(a) P (x) = x
5
− x
4
+ 3x
3
+ x + 7, Q(x) = x
3
+ x + 1,
(b) P (x) = x
4
+ 2x
3
+ x
2
+ x + 1, Q(x) = x
2
+ x + 3.
4.2. Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian
W (x) = x
4
+ x
3
− 3x
2
− 4x − 4.
4.3. Nie wykonując dzielenia, wyznacz resztę z dzielenia wielomianu
W (x) = x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1 przez x
2
− 1.
4.4. Rozłóż na czynniki liniowe wielomian zespolony W (z) = z
3
− 2z
2
+ 4z − 8.
4.5. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną wła-
ściwą
6
(a) f (x) =
x
2
+ 3
x
3
+ 2x
2
+ 5x + 4
,
(b) f (x) =
−x + 2
x
3
+ 3x
2
+ 4x + 4
,
(c) f (x) =
2x
3
+ 4x
2
+ 5x + 5
x
4
+ 3x
3
+ 3x
2
+ 3x + 2
.
4.6. Rozłóż na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję
wymierną f (x) =
x
4
− 5x
3
+ 5x
2
− 19x − 1
x
3
− 5x
2
+ 4x − 20
.
Odpowiedzi, wskazówki
4.1.
(a) I(x) = x
2
− x + 2, R(x) = 5,
(b) I(x) = x
2
+ x − 3, R(x) = x + 10.
4.2. W (x) = (x + 2)(x − 2) x
2
+ x + 1
.
4.3. R(x) = 2x + 3.
4.4. W (z) = (z − 2)(z + 2i)(z − 2i).
4.5.
(a) f (x) =
−1
x
2
+x+4
+
1
x+1
,
(b) f (x) =
−x
x
2
+x+2
+
1
x+2
,
(c) f (x) =
1
x+1
+
1
x+2
+
1
x
2
+1
.
4.6. f (x) = x +
1
x−5
+
1
x
2
+4
.
5
Macierze i wyznaczniki
5.1. Wyznacz macierz A wymiaru 3 × 3, której wyrazy określone są za pomocą
wzoru a
ij
= i − 2j.
5.2. Podaj przykład dwóch macierzy wymiaru 2 × 2 dowodzący, że mnożenie
macierzy nie jest przemienne.
5.3. Rozwiąż równanie macierzowe
0
0
1
1
0
0
0
1
0
·
1
1
0
1
1
0
+ 2 · A
T
=
1
2
3
3
2
−1
.
5.4. Wyznacz iloczyn A =
x
y
1
·
a
h
g
h
b
f
g
f
c
·
x
y
1
, a następnie
z jego pomocą, w notacji macierzowej zapisz równanie okręgu x
2
+ y
2
+
4x + 6y − 12 = 0. Zaznacz ten okrąg na płaszczyżnie.
5.5. Rozłóż na iloczyn cykli rozłącznych, a następnie transpozycji permutację
7
(a) σ =
1
2
3
4
5
6
2
4
6
1
5
3
,
(b) σ =
1
2
3
4
5
6
7
7
5
4
1
2
6
3
.
Określ parzystość i znak permutacji σ. W rozkładach zastosuj zapis cy-
kliczny.
5.6. Za pomocą permutacyjnej definicji wyznacznika wyprowadź wzory na wy-
znaczniki macierzy stopnia 2 i 3 (wzór Sarrusa).
5.7. Dwoma sposobami, za pomocą rozwinięcia Laplace’a oraz przez sprowa-
dzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, a dodatkowo w podpunkcie
(a) ze wzoru, w podpunkcie (b) ze wzoru Sarrusa, oblicz wyznacznik
(a)
1
2
3
5
,
(b)
1
1
1
1
2
2
1
2
4
,
(c)
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
.
5.8. Dla jakich wartości parametru a ∈ R macierz
(a) A =
a
a
2
a
,
(b) A =
a
1
1
1
1
a
1
a
1
,
(c) B =
a
1
1
1
1
a
1
1
1
1
1
a
1
1
a
1
jest nieosobliwa?
5.9. Dwoma sposobami, za pomocą dopełnień algebraicznych oraz przez prze-
kształcanie razem z macierzą jednostkową, wyznacz macierz odwrotną do
macierzy
(a) A =
1
1
−1
4
,
(b) B =
1
1
−1
1
−1
1
−1
1
1
,
8
(c) C =
1
1
1
1
2
1
1
1
2
.
Odpowiedzi, wskazówki
5.1. A =
−1
−3
−5
0
−2
−4
1
−1
−3
.
5.2. np.
1
1
0
1
·
1
1
0
0
=
1
1
0
0
6=
1
2
0
0
=
1
1
0
0
·
1
1
0
1
.
5.3. A =
0
1
1
1
1
−1
.
5.4. A =
ax
2
+ 2hxy + by
2
+ 2gx + 2f y + c
,
x
y
1
·
1
0
2
0
1
3
2
3
−12
·
x
y
1
=
0
; równanie przedstawia okrąg o środku w punkcie (−2, −3)
i promieniu 5.
5.5.
(a) Przykładowy zapis: σ = (1 2 4) (3 6) = (1 4) (1 2) (3 6), permutacja
nieparzysta, znak sgn(σ) = −1,
(b) przykładowy zapis: σ = (1 7 3 4) (2 5) = (1 4) (1 3) (1 7) (2 5),
permutacja parzysta, znak sgn(σ) = 1.
5.6. Dla n = 2 są dwie permutacje, zatem dwa składniki w sumie. Permutacji
zbioru trzyelementowego jest 6.
5.7.
(a) −1,
(b) 2,
(c) 1.
5.8.
(a) a ∈ R \ {0, 2},
(b) a ∈ R \ {−2, 1},
(c) a ∈ R \ {−3, 1}.
5.9.
(a) A
−1
=
4
5
−
1
5
1
5
1
5
,
(b) B
−1
=
1
2
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
1
2
,
9
(c) C
−1
=
3
−1
−1
−1
1
0
−1
0
1
.
6
Układy równań liniowych
6.1. Metodą eliminacji Gaussa rozwiąż układ równań
(a)
x
+
y
=
3
x
−
3y
=
−5,
(b)
x
+
y
+
z
=
0
x
−
y
+
z
=
0
x
+
y
−
z
=
2,
(c)
x
+
y
+
z
−
t
=
4
x
+
y
−
z
+
t
=
−4
x
−
y
+
z
+
t
=
2
−x
+
y
+
z
+
t
=
−2.
Dodatkowo, układ (a) rozwiąż za pomocą wzorów Cramera oraz me-
todą macierzy odwrotnej.
6.2. Rozwiąż układ równań
(a)
−x
−
y
+
z
+
t
=
4
x
−
y
−
z
+
t
=
0
x
−
y
−
z
−
t
=
−8,
(b)
x
+
y
+
z
=
1
2x
+
y
+
2z
=
1
3x
+
2y
+
3z
=
3.
6.3. Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
x
+
y
+
az
=
1
x
+
ay
+
z
=
a
ax
+
y
+
z
=
−a − 1
ma nieskończenie wiele rozwiązań?
6.4. Niech sgn(a) =
−1
dla x ∈ (−∞, 0)
0
dla x = 0
1
dla x ∈ (0, ∞)
oznacza znak liczby a ∈ R.
Wyznacz te wartości a, dla których układ równań
x
+
2y
+
z
=
2
x
+
y
+
2z
=
sgn(a) − 1
2x
+
y
+
z
=
2
2y
+
2z
=
0
nie ma rozwiązań.
10
Odpowiedzi, wskazówki
6.1.
(a) x = 1, y = 2,
(b) x = 1, y = 0, z = −1,
(c) x = 1, y = −1, z = 2, t = −2.
6.2.
(a) y = 2, t = 4, z = x + 2, z – dowolne,
(b) układ sprzeczny (brak rozwiązań).
6.3. a = −2.
6.4. a ∈ (−∞, 0].
7
Geometria analityczna w R
3
7.1. Dla jakich wartości parametru a ∈ R równoległościan o trzech kolejnych
wierzchołkach podstawy A = (−5, 2, 1), B = (2, 1, 2), C = (3, a
2
, 3) i wierz-
chołku E = (−a − 5, 4, −18) nad A, jest prostopadłościanem?
7.2. Dla jakich wartości parametru a ∈ R kąt pomiędzy wektorami
u = (a, −16, 4) oraz v = (2a, 1, −4) jest prosty?
7.3. Za pomocą iloczynu wektorowego wyznacz te wartości parametru a ∈ R,
dla których wektory u = (1, a
2
, 1), v = (3, 12, 3) są równoległe.
7.4. Podaj przykład równania ogólnego płaszczyzny
(a) przechodzącej przez punkty A = (−1, 1, 1), B = (0, 1, 2), C = (3, 0, 5),
(b) o równaniu parametrycznym
x = 1 + t + s
y = 2 + t − s
z = 1 + t + s,
gdzie t, s ∈ R.
7.5. Podaj przykład równania parametrycznego płaszczyzny o równaniu ogól-
nym x + y + 2z + 1 = 0.
7.6. Podaj przykład równania parametrycznego prostej o równaniu krawędzio-
wym
x + y + z − 1 = 0
x + 2y + 3z − 2 = 0.
7.7. Podaj przykład równania krawędziowego prostej o równaniu parametrycz-
nym
x = 1 + t
y = 2 − t
z = 4 + t,
gdzie t ∈ R.
7.8. Podaj przykład równania parametrycznego prostej prostopadłej do pro-
stych o równaniach
x = t
y = 1
z = 1 + t,
x = −s
y = 2 + s
z = 1 − s,
gdzie t, s ∈ R. w punkcie
ich przecięcia.
11
7.9. Wyznacz kąt pomiędzy płaszczyznami π
1
, π
2
, jeśli π
1
jest określona rów-
naniem parametrycznym
x = 1 + t + s
y = t − s
z = t + s,
gdzie t, s ∈ R, a π
2
równaniem
ogólnym y − z − 1 = 0.
7.10. Wyznacz kąt pomiędzy prostą l :
x + y + z + 2 = 0
x − y + z + 3 = 0
i płaszczyzną π :
x + y + 5 = 0.
7.11. Wyznacz pole
(a) równoległoboku o kolejnych wierzchołkach
A = (2, 2, 4), B = (0, −2, −2), C = (2, 1, 2),
(b) równoległoboku o środku w punkcie O = (2, 1, 2) i końcach jednego
z boków A = (2, 2, 4), B = (0, −2, −2),
(c) trójkąta o wierzchołkach A = (−2, −2, −4), B = (0, 2, 2), C = (−2, −1, −2).
7.12. Wyznacz objętość
(a) czworościanu o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2), C = (1, −2, −2)
i D = (−1, 1, −1),
(b) równoległościanu rozpietego na wektorach u = (1, 1, 1), v = (1, 1, 2)
oraz w = (−1, −1, 3) × (1, 2, 3).
Odpowiedzi, wskazówki
7.1. a = −3.
7.2. a = 4 lub a = −4.
7.3. a = 2 lub a = −2.
7.4.
(a) x − z + 2 = 0,
(b) x − z = 0.
7.5.
x = −1 + t + 2s
y = −t
z = −s.
7.6.
x = 1 + t
y = −1 − 2t
z = 1 + t.
7.7.
x + y − 4 = 0
y + z − 6 = 0.
7.8.
x = 1 + t
y = 1
z = 2 − t.
12
7.9.
π
3
.
7.10.
π
6
.
7.11.
(a) 2
√
6,
(b) 4
√
5,
(c)
√
6.
7.12.
(a) 1,
(b) 15.
8
Iloczyn skalarny i odległość w R
n
8.1. Wyznacz odległość pomiędzy punktami P, Q ∈ R
n
, jeśli
(a) n = 4, P = (1, 2, 3, −2), Q = (2, 1, 4, −3),
(b) n = 8, P = (5, 3, −2, 7, 9, 11, 1, 2), Q = (3, 4, −3, 5, 9, 9, 2, 1).
8.2. Wyznacz kosinus kąta pomiędzy wektorami u, v ∈ R
n
, jeśli
(a) n = 5, u = (1, 0, −2, 2, 0), v = (−1, 1, 1, 1, 0),
(b) n = 7, u = (1, −2, 0, 3, 1, 0, −1),
v = 2 · (1, 1, −1, 1, 1, 2
√
3, −5) − (−1, 1, 0, 0, 0, 3
√
3, −10).
Odpowiedzi, wskazówki
8.1.
(a) 2,
(b) 4.
8.2.
(a) −
1
6
,
(b)
9
20
.
9
Przestrzenie i przekształcenia liniowe
9.1. Zbadaj liniową niezależność układu złożonego z wektorów
(a) (1, 2), (3, 4) ∈ R
2
,
(b) (1, 2, 3), (3, 4, 5) ∈ R
3
,
(c) (1, 2, 3), (3, 4, 5), (4, 6, 8) ∈ R
3
,
(d) (1, 0, −2, 2, 0), (−1, 1, 1, 1, 0), (1, 2, 0, 5, 7) ∈ R
5
,
(e) (1, −2, 0, 3, 1, 0, −1), (3, 1, −2, 2, 2,
√
3, 0), (1, 1, −1, 1, 1, 2
√
3, −5),
(−1, 1, 0, 0, 0, 3
√
3, −10) ∈ R
7
.
13
9.2. Zbadaj, czy układy niezależne w poprzednim zadaniu tworzą bazy danej
przestrzeni, a jeśli nie, to uzupełnij do bazy.
9.3. Załóżmy, że przekształcenie liniowe f : R
n
→ R
m
jest określone wzorem
(a) f (x, y, z, t) = (x − y, x + y + z + 2t),
(b) f (x, y, z) = (x − y, x + y + z, x + y, x − z),
gdzie x, y, z, t ∈ R.
Wyznacz n, m ∈ N
+
, a następnie zapisz w standardowych bazach macierz
A
f
przekształcenia f .
9.4. Wyznacz jądro, obraz i rząd przekształceń f z poprzedniego zadania.
9.5. Załóżmy, że macierz A
f
przekształcenia liniowego f : R
n
→ R
m
ma postać
(a) A
f
=
5
−1
−1
0
0
8
−4
1
1
2
,
(b) A
f
=
1
−1
0
1
3
2
1
4
6
1
5
7
.
Wyznacz n, m ∈ N
+
, a następnie zapisz przekształcenie f za pomocą
wzoru.
9.6. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦g oraz f ◦g w bazach standardo-
wych, jeżeli f : R
3
→ R
5
oraz g : R
4
→ R
3
są przekształceniami linowymi,
danymi wzorami: f (x, y, z) = (x, x + y, x + y + z, x + z, y + z), g(s, t, u, v) =
(u + v, t + u + v, s + t + u + v).
9.7. Wyznacz wartości własne i odpowiadające im wektory własne przekształ-
cenia liniowego f : R
2
→ R
2
, jeśli
(a) f (x, y) = (−y, 6x − 5y),
(b) f (x, y) = (−x + y, 2x).
Odpowiedzi, wskazówki
9.1.
(a) liniowo niezależny,
(b) liniowo niezależny,
(c) liniowo zależny,
(d) liniowo niezależny,
(e) liniowo zależny.
9.2. Bazą jest tylko układ z pierwszego podpunktu.
14
9.3.
(a) n = 4, m = 2, A
f
=
1
−1
0
0
1
1
1
2
,
(b) n = 3, m = 4, A
f
=
1
−1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
−1
.
9.4.
(a) Ker(f ) = {(x, x, 2t − 2x, t) : x, t ∈ R} =
{x(1, 1, −2, 0) + t(0, 0, 2, 1) : x, t ∈ R}(jedna z możliwości zapisu),
Im(f ) = R
2
, Rz(f ) = 2,
(b) Ker(f ) = {(0, 0, 0)},
Im(f ) = {x(1, 1, 1, 1) + y(−1, 1, 1, 0) + z(0, 1, 0, −1) : x, y, z ∈ R},
Rz(f ) = 3.
9.5.
(a) n = 5, m = 2, f (x, y, z, t, u) = (5x − y − z, 8x − 4y + z + t + u),
(b) n = 3, m = 4, f (x, y, z) = (x − y, x + 3y + 2z, x + 4y + 6z, x + 5y + 7z).
9.6. Złożenie g ◦ f nie istnieje.
Macierz złożenia f ◦ g ma postać
M
f ◦g
= M
f
·M
g
=
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
·
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
=
0
0
1
1
0
1
2
2
1
2
3
3
1
1
2
2
1
2
2
2
.
9.7.
(a) Wartości własnej a
1
= −2 odpowiadają wektory własne postaci v
1
=
α(1, 2), wartości własnej a
2
= −3 odpowiadają wektory własne po-
staci v
2
= α(1, 3), gdzie α ∈ R \ {0},
(b) wartości własnej a
1
= 1 odpowiadają wektory własne postaci v
1
=
α(1, 2), wartości własnej a
2
= −2 odpowiadają wektory własne po-
staci v
2
= α(1, −1) dla α ∈ R \ {0}.
10
Powtórzenie
10.1. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierz-
chołkach A = (−1, 5), B = (2, 4) oraz C = (1, 1).
10.2. Wyznacz w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierz-
chołkach A = (2, 1), B = (3, 2) oraz C =
2 −
√
3, 1 +
√
3
.
10.3. Wyznacz punkt przecięcia oraz kąt, pod jakim przecinają się proste na
płaszczyźnie, określone równaniami parametrycznymi
x =
√
3 t,
y = −t
oraz
x =
√
3,
y = −1 + s,
gdzie t, s ∈ R
15
10.4. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A =
1
2
1
1
3
1
1
2
2
.
10.5. Zbadaj, dla jakich rzeczywistych parametrów a ∈ R istnieje macierz od-
wrotna A
−1
do macierzy A =
1
1
1
1
2
1
1
1
a
,
a następnie wyznacz ogólny wzór na A
−1
.
10.6. Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
2x + (1 + a)y + (1 + a)z = 1 + a
x + ay + z = a
ax + y + z = −a − 1
ma nieskończenie wiele rozwiązań?
10.7. W zależności od rzeczywistego parametru a ∈ R, rozwiąż układ równań
2x + 3y − z = 1
x − ay + 2z = 3
2x − ay + 3z = 5.
10.8. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
x = 1 + t + s
y = −t + s
z = 1 − t + 2s,
gdzie t, s ∈ R.
10.9. Wyznacz punkt przecięcia prostych
x = −1 + t
y = 1
z = 1 + t
oraz
x = 3 − s
y = s
z = 5 − s,
a następnie napisz równanie ogólne płaszczyzny zawierającej te proste.
10.10. Wyznacz odległość punktu P = (1, 2, 1) od płaszczyzny π, zadanej w
postaci parametrycznej
x = 1 + s + t
y = 2 + s
z = −1 + s − t.
10.11. Opisz oraz zaznacz na płaszczyżnie zbiór liczb zespolonych z spełniających
warunek
(a) 0 ¬ arg(2 − iz) ¬
π
2
,
(b) Im z
4
> 0.
10.12. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
(a) z =
(−
√
3 + i)
12
(1 − i)
24
,
(b) z =
(1 − i
√
3)
700
(−1 + i)
1400
.
16
10.13. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z
liczby z = −2
√
2.
10.14. Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian
W (x) = x
4
+ 2x
3
− x − 2.
10.15. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
f (x) =
3x
2
+ 5x + 1
x
3
+ 3x
2
+ 3x + 2
.
10.16. Wyznacz jądro, obraz i rząd przekształcenia f : R
4
→ R
2
, określonego
wzorem f (x, y, z, t) = (z − y, x + y + z + 2t), gdzie x, y, z, t ∈ R.
10.17. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦ g oraz g ◦ f w bazach stan-
dardowych, jeżeli f : R
3
→ R
2
oraz g : R
2
→ R
5
są przekształceniami
linowymi, danymi wzorami: f (x, y, z) = (x − 2y, x + y + 3z), g(u, v) =
(u + v, v, u − 2v, 3u, u).
Odpowiedzi, wskazówki
10.1.
√
10.
10.2.
π
6
.
10.3. P
0
=
√
3, −1
, ϕ =
2
3
π.
10.4. A
−1
=
4
−2
−1
−1
1
0
−1
0
1
.
10.5. Macierz odwrotna istnieje dla a ∈ R \ {1},
wtedy A
−1
=
2a−1
a−1
−1
−1
a−1
−1
1
0
−1
a−1
0
1
a−1
.
10.6. a = −2.
10.7. Dla a ∈ R \ {1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = 1, y = 0, z = 1,
a dla a = 1 nieskończenie wiele rozwiązań postaci
x = 2 − z,
y = −1 + z,
z ∈ R.
10.8. x + 3y − 2z + 1 = 0.
10.9. Punktem wspólnym prostych jest P = (2, 1, 4) (dla t = 3 i s = 1), a
płaszczyzna ma równanie −x + z − 2 = 0.
10.10. Równaniem ogólnym płaszczyzny jest −x + 2y − z − 4 = 0, a odległość
d(P, π) =
r
2
3
.
17
10.11.
(a) Jest to zbiór {z ∈ C : Rez ¬ 0 ∧ Imz −2 ∧ z 6= −2i},
(b) arg(z) ∈
0,
π
4
∪
π
2
,
3π
4
∪
π,
5π
4
∪
3π
4
,
7π
4
, co na płasz-
czyźnie jest sumą wnętrz czterech kątów.
10.12.
(a) z = 1,
(b) z = −
1
2
+
√
3
2
i.
10.13.
√
2
2
+ i
√
6
2
, −
√
2,
√
2
2
− i
√
6
2
.
10.14. W (x) = (x − 1)(x + 2)(x
2
+ x + 1).
10.15. f (x) =
2x
x
2
+ x + 1
+
1
x + 2
.
10.16. Ker(f ) = {(z, z, 2t − 2z, t) : z, t ∈ R} =
{z(1, 1, −2, 0) + t(0, 0, 2, 1) : z, t ∈ R}(jedna z możliwości zapisu),
Im(f ) = R
2
, Rz(f ) = 2.
10.17. Złożenie f ◦ g nie istnieje. Macierz złożenia g ◦ f ma postać
M
g◦f
= M
g
· M
f
=
1
1
1
−2
3
0
1
0
·
1
−2
0
1
1
3
=
2
−1
3
1
1
3
−1
−4
−6
3
−6
0
1
−2
0
.
11
Pierwsze kolokwium
Zestaw A
1. Oblicz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A w trójkącie o wierz-
chołkach A = (−2, 2), B = (2, 4) oraz C = (7, 1).
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
(−
√
3 + i)
25
(1 − i)
50
.
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
f (x) =
2x
2
+ 5
x
3
+ 4x − 5
.
Odpowiedzi, wskazówki
1. h =
22
√
34
.
2. z = −
1
2
+
√
3
2
i.
3. f (x) =
1
x−1
+
x
x
2
+x+5
.
18
Zestaw B
1. Wyznacz w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierz-
chołkach A = (2, 6), B = (3, 7) oraz C =
2 −
√
3, 6 +
√
3
.
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
(1 − i
√
3)
50
(−1 + i)
100
.
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
f (x) =
3x
2
+ 6x + 3
x
3
+ 3x
2
+ 3x + 2
.
Odpowiedzi, wskazówki
1.
π
6
.
2. z =
1
2
+
√
3
2
i.
3. f (x) =
1
x+2
+
2x+1
x
2
+x+1
.
Zestaw C
1. Wyznacz kąt pomiędzy prostymi na płaszczyźnie, o równaniach
x = t,
y = −
√
3 t + 2
oraz
x = −s,
y = −
√
3 s − 7,
gdzie t, s ∈ R.
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
(
√
3 − i)
25
(−1 + i)
50
.
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
f (x) =
2x
2
− 2x + 2
x
3
− 2x
2
+ 3x − 2
.
Odpowiedzi, wskazówki
1.
π
3
.
2. z =
1
2
+
√
3
2
i.
3. f (x) =
1
x−1
+
x
x
2
−x+2
.
Zestaw D
1. Wyznacz kąt pomiędzy prostą y = −
1
√
3
x − 5, a prostą o równaniu
x = t,
y = −
√
3 t + 11,
gdzie t ∈ R.
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
(−1 + i
√
3)
50
(1 − i)
100
.
19
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
f (x) =
2x
2
+ x + 1
x
3
+ x
2
− x + 2
.
Odpowiedzi, wskazówki
1.
π
6
.
2. z =
1
2
+
√
3
2
i.
3. f (x) =
1
x+2
+
x
x
2
−x+1
.
Zestaw E
1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f (x) =
x
2
+
1
√
x
20
wyznacz współczynnik przy
1
x
5
.
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
(−
√
3 + i)
21
(1 − i)
42
.
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
f (x) =
x
2
+ x + 10
x
3
+ 2x
2
+ 6x + 5
.
Odpowiedzi, wskazówki
1. 190.
2. z = −1.
3. f (x) =
2
x+1
+
−x
x
2
+x+5
.
Zestaw F
1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f (x) =
x
5
−
1
x
30
wyznacz współczynnik przy
1
x
18
.
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
(1 − i
√
3)
15
(−1 + i)
30
.
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
f (x) =
x
2
− x − 4
x
3
− 2x
2
+ 5x − 4
.
20
Odpowiedzi, wskazówki
1. 435.
2. z = i.
3. f (x) =
−1
x−1
+
2x
x
2
−x+4
.
Zestaw G
1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f (x) =
x +
1
√
x
30
wyznacz współczynnik przy x
27
.
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
(1 −
√
3 i)
21
(1 + i)
42
.
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
f (x) =
2x
2
+ 7
x
3
+ 6x + 7
.
Odpowiedzi, wskazówki
1. 435.
2. z = i.
3. f (x) =
1
x+1
+
x
x
2
−x+7
.
Zestaw H
1. W rozwinięciu dwumianowym funkcji f (x) =
√
x +
1
x
40
wyznacz współczynnik przy x
17
.
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z =
(1 +
√
3 i)
15
(1 − i)
30
.
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
f (x) =
2x
2
+ 5
x
3
+ 4x − 5
.
Odpowiedzi, wskazówki
1. 780.
2. z = i.
3. f (x) =
1
x−1
+
x
x
2
+x+5
.
21
12
Drugie kolokwium
Zestaw A
1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A =
2
5
2
1
3
1
1
2
2
.
2. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
x = 5 + t + 2s
y = 2 + t
z = −t + s,
gdzie t, s ∈ R.
3. Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
3x + (1 + 2a)y + (2 + a)z = 1 + 2a
x + ay + z = a
ax + y + z = −a − 1
nie ma rozwiązań?
Odpowiedzi, wskazówki
1. A
−1
=
4
−6
−1
−1
2
0
−1
1
1
.
2. x + 3y − 2z − 11 = 0.
3. a = 1.
Zestaw B
1. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A =
2
5
2
1
3
1
1
2
2
.
2. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
x = 5 + t + 2s
y = 2
z = −t + s,
gdzie t, s ∈ R.
3. Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
3x + (1 + 2a)y + (2 + a)z = 1 + 2a
x + ay + z = a
ax + y + z = −a − 1
ma nieskończenie wiele rozwiązań?
Odpowiedzi, wskazówki
1. B
−1
=
8
−2
−1
−3
1
0
−1
0
1
.
22
2. y = 2.
3. a = −2.
Zestaw C
1. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
x = 1 − t + 2s
y = 2 − t
z = t + s,
gdzie t, s ∈ R.
2. Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
3x + (1 + 2a)y + (2 + a)z = 1 + 2a
x + ay + z = a
(1 + a)x + (1 + a)y + 2z = −1
nie ma rozwiązań?
3. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦ g oraz g ◦ f w bazach stan-
dardowych, jeżeli f : R
3
→ R
2
oraz g : R
2
→ R
5
są przekształceniami
linowymi, danymi wzorami: f (x, y, z) = (x − 2y, x − y − 3z), g(u, v) =
(u − v, v, u − 2v, 3u, u).
Odpowiedzi, wskazówki
mają być uzupełnione
Zestaw D
1. Wyznacz równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
x = 1 + t + 2s
y = 2 + s
z = −t + s,
gdzie t, s ∈ R.
2. Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
4x + (1 + 3a)y + (3 + a)z = 1 + 3a
x + ay + z = a
ax + y + z = −a − 1
ma nieskończenie wiele rozwiązań?
3. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦g oraz g◦f w bazach standardo-
wych, jeżeli f : R
3
→ R
4
oraz g : R
2
→ R
3
są przekształceniami linowymi,
danymi wzorami: f (x, y, z) = (x−2y, x+y+3z, x, y), g(u, v) = (u+v, v, u).
Odpowiedzi, wskazówki
mają być uzupełnione
23
Zestaw E
1. Oblicz wysokość w czworościanie o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 2),
C = (1, 2, 3), D = (2, 2, 2), opuszczoną z wierzchołka D.
2. Rozwiąż układ równań
−x
−
y
+
z
+
t
=
4
2x
−
2y
−
2z
=
−8
x
−
y
−
z
−
t
=
−8.
3. Zbadaj liniową niezależność układu wektorów u = (1, 1, 1, 1), v = (2, 1, 1, 1),
w = (1, 2, 1, 1), m = (1, 1, 2, 1) ∈ R
4
.
Odpowiedzi, wskazówki
mają być uzupełnione
Zestaw F
1. Wyznacz odległość punktu P = (1, 1, −1) od płaszczyzny
x = 1 + t + 2s
y = 1 + s
z = −t + s,
gdzie t, s ∈ R.
2. Rozwiąż układ równań
x
−
3y
−
z
+
3t
=
4
x
−
y
−
z
+
t
=
0
x
−
y
−
z
−
t
=
−8.
3. Wyznacz rząd macierzy A =
1
1
1
1
2
2
3
4
4
.
Odpowiedzi, wskazówki
mają być uzupełnione
Zestaw G
1. Oblicz wysokość (tzn. długość odcinka) w ostrosłupie o trzech wierzchoł-
kach podstawy A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 2), C = (2, 2, 1), opuszczoną z
wierzchołka D = (2, 2, 2).
2. Rozwiąż układ równań
x
−
3y
−
z
+
t
=
−4
2x
−
2y
−
2z
=
−8
x
−
y
−
z
−
t
=
−8.
3. Zbadaj liniową niezależność układu wektorów u = (1, 1, 1, 1), v = (5, 1, 1, 1),
w = (1, 2, 1, 1), p = (1, 1, 2, 1) ∈ R
4
.
24
Odpowiedzi, wskazówki
mają być uzupełnione
Zestaw H
1. Wyznacz odległość punktu P = (3, 1, −1) od płaszczyzny
x = 1 + t + 2s
y = 1 + 5s
z = −t + s,
gdzie t, s ∈ R.
2. Rozwiąż układ równań
2x
−
4y
−
2z
+
4t
=
4
x
−
y
−
z
+
t
=
0
x
−
y
−
z
−
t
=
−8.
3. Wyznacz rząd macierzy A =
2
3
3
1
2
2
3
4
4
.
Odpowiedzi, wskazówki
mają być uzupełnione
13
Egzamin
Zestaw A
1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z, spełnia-
jących warunek Im z
3
<
√
3
2
|z|
3
.
2. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A =
4
11
4
3
7
5
1
2
2
.
Sprawdź otrzymany wynik, wykonując mnożenie macierzy.
3. Oblicz wysokość (tzn. długość odcinka) w czworościanie o wierzchołkach
A = (1, 1, 1), B = (2, 3, 4), C = (2, 5, 8), D = (−1, 1, −1), opuszczoną z
wierzchołka D.
4. Rozwiąż układ równań
5x
−
7y
−
5z
+
t
=
−20
2x
−
2y
−
2z
=
−8
x
−
y
−
z
−
t
=
−8.
5. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦ g oraz g ◦ f w bazach standar-
dowych, jeżeli f : R
4
→ R
3
oraz g : R
3
→ R
6
są przekształceniami linowy-
mi, danymi wzorami: f (x, y, z, t) = (x − 2y, x − y − 3z, x + t), g(u, v, w) =
(u − v, v, u − 2v, 3u, u, u + v + w).
25
Odpowiedzi, wskazówki
1. Otrzymujemy Im z
3
= |z|
3
sin(3ϕ) <
√
3
2
|z|
3
, stąd |z| 6= 0 oraz sin(3ϕ) <
√
3
2
. Otrzymujemy 3ϕ ∈
−
4
3
π,
1
3
π
∪
2
3
π,
7
3
π
∪
8
3
π,
13
3
π
, zatem ϕ ∈
−
4
9
π,
1
9
π
∪
2
9
π,
7
9
π
∪
8
9
π,
13
9
π
, co przedstawia sumę wnętrz trzech
kątów.
2. A
−1
=
4
−14
27
−1
4
−8
−1
3
−5
.
3. Równanie x − 2y + z = 0 opisuje płaszczyznę podstawy, wysokość to
odległość wierzchołka D od tej płaszczyzny i wynosi h =
2
√
2
√
3
.
4. x = z − 2, y = 2, z ∈ R, t = 4 – nieskończenie wiele rozwiązań.
5. Istnieje tylko złożenie g ◦ f , jego macierzą w bazach standardowych jest
M
g◦f
=
0
−1
3
0
1
−1
−3
0
−1
0
6
0
3
−6
0
0
1
−2
0
0
3
−3
−3
1
.
Zestaw B
1. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z, spełnia-
jących warunek Re z
3
1
2
|z|
3
.
2. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A =
4
11
4
1
3
1
1
2
2
.
Sprawdź otrzymany wynik, wykonując mnożenie macierzy.
3. Wyznacz odległość punktu P = (−2, 1, −1) od płaszczyzny
x = 1 + t + 2s
y = 1 + 2s
z = 2 − 2t + s,
gdzie t, s ∈ R.
4. Rozwiąż układ równań
4x
−
6y
−
4z
+
6t
=
4
x
−
y
−
z
+
t
=
0
x
−
y
−
z
−
t
=
−8.
5. Wyznacz, o ile istnieją, macierze złożeń f ◦g oraz g◦f w bazach standardo-
wych, jeżeli f : R
4
→ R
5
oraz g : R
3
→ R
4
są przekształceniami linowymi,
danymi wzorami: f (x, y, z, t) = (x − 2y, x + y + 3z, x, y, t − z), g(u, v, w) =
(u + v, v, u, u − w).
26
Odpowiedzi, wskazówki
1. Otrzymujemy Re z
3
= |z|
3
cos(3ϕ)
1
2
|z|
3
, stąd |z| = 0 lub cos(3ϕ)
√
3
2
. W tym drugim przypadku, 3ϕ ∈
−
1
3
π,
1
3
π
∪
5
3
π,
7
3
π
∪
11
3
π,
13
3
π
,
zatem ϕ ∈
−
1
9
π,
1
9
π
∪
5
9
π,
7
9
π
∪
11
9
π,
13
9
π
. Zbiór A jest sumą trzech
kątów wraz z brzegami.
2. A
−1
=
4
−14
−1
−1
4
0
−1
3
1
.
3. Równanie 4x − 5y + 2z − 3 = 0 jest równaniem ogólnym danej płaszczyzny,
odległość d =
6
√
5
.
4. x = z − 2, y = 2, z ∈ R, t = 4 – nieskończenie wiele rozwiązań.
5. Istnieje tylko złożenie f ◦ g, jego macierzą w bazach standardowych jest
M
f ◦g
=
1
−1
0
4
2
0
1
1
0
0
1
0
0
0
−1
.
27
Document Outline
- Wyrazenia algebraiczne, indukcja matematyczna
- Geometria analityczna w R2
- Liczby zespolone
- Wielomiany i funkcje wymierne
- Macierze i wyznaczniki
- Układy równan liniowych
- Geometria analityczna w R3
- Iloczyn skalarny i odległosc w Rn
- Przestrzenie i przekształcenia liniowe
- Powtórzenie
- Pierwsze kolokwium
- Drugie kolokwium
- Egzamin
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ALG ZADANIA 2
alg foxa
ALG e 2007 02 05 A
alg lin 1 sem wyk (1)
03 prez Alg Lin
Pytania egz AGiSN, SiMR - st. mgr, Alg. i Sieci Neuronowe
MSI-ściaga, SiMR - st. mgr, Alg. i Sieci Neuronowe
Alg
alg lin zad egza I
opracowanie alg
alg II zad 1
ALG GEOM
alg wz
ALG k1w 2011.11.19 A, PJWSTK, 0sem, ALG, kolokwia
alg-e, WTD, algebra liniowa
Wyrażenia alg
ALG k1w 11 11 19 B
roz+wagl+grzy+alg+bor+zol, Spis treści:
więcej podobnych podstron