Algebra — materiały pomocnicze do nauki do egzaminu

ver. 2.0

6 lipca 2011

1

Spis treści

1

Pierwszy semestr

3

1.1

Przestrzenie wektorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Wyznaczniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Rząd macierzy

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.3

Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.4

Układy równań liniowych

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Odwzorowania liniowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1

Macierz odwzorowania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2

Diagonalizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.1

Krzywe stożkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2

Drugi semestr

8

2.1

Liczby zespolone

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2

Odwzorowania wieloliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3

Formy kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3.1

Bazy ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3.2

Dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3.3

Macierze ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3.4

Macierze symetryczne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3.5

Postać kanoniczna formy kwadratowej

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3.6

Powierzchnie stopnia drugiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4

Struktury algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4.1

Homomorfizmy struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.5

Przestrzeń wektorowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.5.1

Liniowa niezależność wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.5.2

Baza i wymiar przestrzeni wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.5.3

Sumy podprzestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.6

Przestrzenie afiniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.6.1

Podprzestrzeń afiniczna

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.7

Odwzorowania liniowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.8

Reprezentacja macierzowa odwzorowania liniowego

. . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.9

Wartości i wektory własne odwzorowania liniowego i macierzy . . . . . . . . . .

12

2.10 Wektory główne, podprzestrzenie charakterystyczne i postać Jordana macierzy .

13

2.10.1 Wektory główne endomorfizmu i macierzy

. . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.10.2 Postać Jordana endomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2

1

Pierwszy semestr

1.1

Przestrzenie wektorowe

Def. przestrzeni wektorowej.
Def. generowania wektora przez inne wektory.
Def. bazy w R

n

.

Tw. o równoliczności baz (dow. z tw. Steinitza).
Def. wymiaru przestrz. wekt.
Def. repera bazowego.
Def. współrzędnych wektora w bazie.
Tw. o jednoznaczności współrzędnych w bazie.
Def. podprzestrzeni wektorowej, wkw, uogólnione wkw.
Tw. część wspólna podp. wektorowych też jest podp. wekt.
Def. powłoki liniowej.
Tw. o powłoce liniowej (najmn. podp. zawierająca dane wektory).
Def. podprzestrzeni rozpiętej przez wektory.
Tw. Steinitza (z Wikipedii, dowód wygląda prościej niż nasz) :
Teza
Załóżmy, że X = {v

1

, . . . , v

n

} jest bazą przestrzeni V oraz układ wektorów Y = {w

1

, . . . w

s

}

jest liniowo niezależny. Wtedy:

ˆ s 6 n

ˆ Spośród wektorów v

1

, . . . , v

n

można wybrać n − s wektorów, które wraz z wektorami

w

1

, . . . w

s

tworzą bazę V , czyli: ∃

X

0

⊂X

|X

0

| = n − shX

0

∪ Y i = V

Dowód
Ustalmy n. Dowód indukcyjny po t = |Y |.
Dla t = 0, Y jest zbiorem pustym, więc wystarczy wziąć X = X

0

.

Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich Y takich, że |Y | = t − 1. Pokażemy

prawdziwość twierdzenia dla |Y | = t.

Ustalmy Y = {w

1

, . . . w

s

}, |Y | = s = t. Niech Y

1

= {w

1

, . . . w

s−1

}. Z założenia indukcyjnego

mamy s − 1

6 n oraz ∃

X

0

1

⊂X

|X

0

1

| = n − (s − 1)hX

0

1

∪ Y

1

i = V . Aby uprościć zapis, przyjmijmy,

że X

0

1

= {v

1

, . . . , v

n−s+1

}.

Wówczas mamy, że hX

0

1

∪ Y

1

i = hv

1

, . . . , v

n−s+1

, w

1

, . . . w

s−1

i. Stąd w

s

= α

1

v

1

+ . . . +

α

n−s+1

v

n−s+1

+ β

1

w

1

+ . . . β

s−1

w

s−1

dla pewnych α

i

, β

i

.

Zauważmy, że istnieje takie i, że α

i

6= 0, gdyż w przeciwnym razie mielibyśmy w

s

= β

1

w

1

+

. . . β

s−1

w

s−1

, co przeczyłoby liniowej niezależności Y . Bez straty ogólności, załóżmy, że α

n−s+1

6=

0.

Wówczas mamy: v

n−s+1

= α

−1
n−s+1

(w

s

− α

1

v

1

− . . . − α

n−s

v

n−s

− β

1

w

1

− . . . β

s−1

w

s−1

). Stąd

V = hv

1

, . . . , v

n−s

, w

1

, . . . w

s

i, gdyż dla każdego v ∈ V istnieją takie α

0
i

, β

0

i

, że v = α

0
1

v

1

+ . . . +

α

0
n−s+1

v

n−s+1

+ β

0

1

w

1

+ . . . β

0

s−1

w

s−1

.

Wystarczy wziąć X

0

= {v

1

, . . . , v

n−s

}. Wówczas hX

0

∪ Y i = V .

Zauważmy, że s − 1¡n. W przeciwnym razie, gdyby s − 1 = n, mielibyśmy X

0

1

= ∅, więc

hY

0

1

i = V , więc w

s

∈ hY

0

1

i, co przeczy liniowej niezależności Y

0

1

. Skoro s − 1¡n to s

6 n.

Tw. równoważne definicje bazy R

n

.

Tw. każda niezerowa podprzestrzeń ma bazę.
Tw. o uzupełnianiu do bazy.
Tw. V ⊂ U ⊂ R

n

=⇒ dim V ¬ dim U ¬ n ∧ (dim V = dim U =⇒ V = U ). (dow. z tw.

Steinitza).

Tw. (analogiczne do war. równoważnych dla bazy, ale dla podprzestrzeni wekt.)

3

1.2

Macierze

Def. macierzy.
Def. rodzaje macierzy (zerowa, kwadratowa, trójkątna górna/dolna, diagonalna, jednostko-

wa, symetryczna).

Def. działania na macierzach + dowody prostych twierdzeń od tych działaniach.
Def. transpozycji.

1.2.1

Wyznaczniki

Przykład z polem równoległoboku i objętością równoległościanu.
Def. permutacji.
Def. działań złożenia i permutacji odwrotnej.
Def. inwersji.
Def. transpozycji.
Def. znaku permutacji.
Tw. Transpozycja zmienia znak permutacji (dow. z wypisania co ona robi).
Tw. permutacja jest złożeniem transpozycji.
Def. parzystości permutacji.
Tw. parzystość a składanie / permutacja odwrotna.
Def. Wyznacznika.
Tw. wyznacznik macierzy transponowanej.
Tw. Laplace’a o liczeniu wyznacznika.
Tw. o wyznaczniku macierzy trójkątnej/diagonalnej.

Tw. Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy.

h

A 0

−I B

i

∼

h

A AB

−I

0

i

przez dodawanie do

kolumn prawej strony kombinacji liniowych kolumn z lewej o wsp. b

ij

.

1.2.2

Rząd macierzy

Def. rzędu kolumnowego/wierszowego.
Def. operacji elementarnych na wierszach/kolumnach macierzy.
Tw. o niezmienniczości rzędów względem operacji elementarnych.
Def. Postaci schodkowej.
Tw. o równości rzędu kolumnowego i wierszowego (poprzez sprowadzenie do postaci schod-

kowej).

Def. rzędu macierzy.
Tw. rząd macierzy nieosobliwej jest równy licznie wierszy/kolumn.
Tw. rząd macierzy a liczba kolumn/wierszy, transpozycja, suma, iloczyn macierzy.

1.2.3

Macierz odwrotna

Def. macierzy odwrotnej.
Tw. jedyność macierzy odwrotnej (dow nwp z C = CI = CAB = IB = B)
Tw. o odwracalności macierzy o niezerowym wyznaczniku i postaci współczynników mac.

odwrotnej (dow. z tw. Cauchy’ego i rozw. Laplace’a).

Def. macierzy nieosobliwej.
Tw. macierz odwrotna a transpozycja, iloczyn przez skalar/macierz, potęgowanie.

4

1.2.4

Układy równań liniowych

Def. układu równań liniowych.
Def. rozwiązania układu.
Def. macierzy współczynników układu/macierzy wyrazów wolnych/macierzy uzupełnionej.
Def. układu jednorodnego, oznaczonego, nieoznaczonego, sprzecznego, kwadratowego.
Def. układu Cramera.
Tw. Cramera o układach Cramera (dow. z rozpatrzenia układu jako kombinacji liniowej

kolumn).

Tw. Kroneckera-Capellego.
Tw. o układach niesprzecznych (rozszerzenie tw. K-C).
Tw. układy równań liniowych mogą być tylko sprzeczne, oznaczone bądź nieoznaczone.
Tw. układy jednorodne są niesprzeczne.
Uwaga o wzorach Cramera.
Metoda Gaussa rozwiązywania układów równań.
Tw. o podprzestrzeni rozwiązań układu jednorodnego i jej wymiarze.
Tw. o układach niejednorodnych i stowarzyszonych z nimi układach jednorodnych.
[dow. Tw. Steinitza, ale brzydki]

1.3

Odwzorowania liniowe

Def.oOdwzorowania liniowego.
Tw. obraz wektora zerowego i przeciwnego.
Tw. wkw i uogólniony wkw liniowości odwzorowania.
Tw. o zadaniu odwzorowania poprzez podanie wartości na wektorach z bazy dziedziny.
Def. jądra i obrazu.
Tw. jądro i obraz są podprzestrzeniami liniowymi dziedziny/obrazu.
Tw. o generatorach obrazu.
Def. rzędu odwzorowania.
Tw. o wymiarach jądra i obrazu.
Tw. o sumie wymiarów jądra i obrazu. (dow. — uzupełniamy do bazy R

n

)

Def. monomorfizmu, epimorfizmu, izomorfizmu, endomorfizmu, automorfizmu.
Tw. wkw na epimorficzność (rząd odwz. = dim przeciwdziedziny)
Tw. wkw na monomoficzność (rząd = dim dziedziny oraz ker f = {0})
Tw. wkw na izomorficzność / automorficzność.
Def. działania na odwzorowaniach.
Tw. suma/iloczyn przez odwz. liniowego skalar są liniowe.
Def. złożenia odwzorowań.
Tw. złożenie odwz. lin. jest liniowe.
Def. odwzorowania odwrotnego.
Tw. odwz. odwrotne do automorfizmu jest automorfizmem.
Def. forma liniowa, funkcjonał liniowy.

1.3.1

Macierz odwzorowania liniowego

Def. macierzy odwz. liniowego.
Tw. o jednoznaczności macierzy odwz. lin. w danych bazach.
Tw. o odwzorowaniu liniowym zadanym macierzą.
Def. macierz endomorfizmu w takich samych bazach w dziedzinie i przeciwdziedzinie.
Tw. o macierzy identyczności w dowolnej bazie.
Lemat o liniowej niezależności wektorów współrzędnych w bazie.

5

Tw. o równości rzędu odwzorowania i jego macierzy.
Tw. o macierzy złożenia odwzorowań.
Tw. o macierzy odwzorowania odwrotnego.
Uzasadnienie odwracania macierzy szukaniem odwzorowania odwrotnego.
Uzasadnienie poprawności algorytmu Gaussa (AX = Y , [A, I]

h

X

Y

i

= 0, [I, B]

h

X

Y

i

= 0

operacjami elementarnymi jak w Gaussie ⇒ równoważne układy ).

Def. macierzy przejścia.
Tw. o macierzy przejścia i wektorach kolumnowych współrzędnych wektora w bazie.
Tw. o zmianie odwzorowania przy zmianie baz przestrzeni.
Def. macierzy równoważnych i podobnych.
Tw. macierze tego samego odwzorowania są równoważne, a tego samego endomorfizmu przy

jednakowych bazach w dziedzinie i przeciwdziedzinie podobne.

Tw. wkw na równoważność macierzy (to z rzędem).
Wniosek z dowodu tw. o wkw na równoważność macierzy.
Tw. o wyznaczniku macierzy podobnych.
Def. śladu macierzy.
Tw. o śladzie iloczynu macierzy (dow. z rozpisania obu stron).
Tw. o śladzie macierzy podobnych.

1.3.2

Diagonalizacja

Def. wartości własnej, wektora własnego, widma.
Tw. wartości własne a podprzestrzenie.
Def. podprzestrzeni własnej.
Tw. podp. własna jako jądro pewnego odwzorowania.
Tw. każdy wektor własny odpowiada dokładnie jednej wartości własnej.
Tw. Wartość własna a odpowiedni wyznacznik, wektor własny a jego kolumnowa macierz

współrzędnych i odpowiednie równanie macierzowe.

Tw. wartości własne jednoznacznie liczy się z wyznacznika odpowiedniej macierzy, niezależ-

nie od wyboru bazy.

Def. wielomianu charakterystycznego.
Tw. krotność algebraiczna a geometryczna.
Def. krotności algebraicznej i geometrycznej.
Tw. o liniowej niezależności wektorów odpowiadających różnym wartościom własnym.
Tw. o diagonalizowalności endomorfizmu mającego tyle różnych wartości własnych co wy-

miar dziedziny (przeciwdziedziny).

Tw. Ograniczenie liczby wartości własnych.
Def. diagonalizowalności.
Tw. Endomorfizm jest diagonalizowalny wtw gdy istnieje baza R

n

złożona z jego wektorów

własnych.

Wn. Na przekątnej macierzy endomorfizmu w bazie złożonej z jego wektorów własnych są

jego wartości własne.

Tw. wkw diagonalizowalności.
Tw. o współczynnikach przy najwyższej i najniższej potędze w wielomianie charakterystycz-

nym.

Tw. wkw diagonalizowalności endomorfizmu (z krotnościami algebraiczną i geometryczną).
Def. diagonalizowalność macierzy.
Def. wartości własnej i wektora własnego macierzy.
Tw. ślad i wyznacznik macierzy diagonalizowalnej.

6

1.4

Geometria

Przyjęty układ współrzędnych w R

3

.

Punkty oznaczamy w nawiasach okrągłych, wektory w kwadratowych.
Def. metryki.
Def. normy wektora.
Def. normy euklidesowej.
Def. iloczynu skalarnego.
Tw. własności iloczynu skalarnego.
Tw. nierówność Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza.
Tw. własności normy.
Def. kąta między wektorami.
Def. prostopadłości wektorów.
Def. układu prawoskrętnego.
Def. iloczynu wektorowego.
Tw. wzór na współrzędne iloczynu wektorowego.
Tw. Własności iloczynu wektorowego.
Tw. o iloczynie wektorowym wektorów liniowo zależnych.
Tw. iloczyn wektorowy a pole równoległoboku.
Def. iloczynu mieszanego.
Wn. objętość równoległościanu/czworościanu a iloczyn mieszany.
Tw. Iloczyn mieszany a odpowiedni wyznacznik.
Tw. własności iloczynu mieszanego.
Def. płaszczyzny, równanie normalne, ogólne, parametryczne, odcinkowe.
Def. prostej, równanie parametryczne, kierunkowe, krawędziowe.
Tw. Wzór na odległość punktu od płaszczyzny.
Tw. wzór na odległość płaszczyzn równoległych.
Wzajemne położenie dwóch prostych.
Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn.
Wzajemne położenie trzech płaszczyzn.
Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny.
Tw. odległość punktu od prostej.

1.4.1

Krzywe stożkowe

Def. elipsy.
Def. półosi małej i wielkiej, mimośrodu, półparametru, kierownic.
Tw. elipsa to zbiór pktów dla których stosunek odległości od ogniska do odległości od odpow.

kierownicy jest stały.

Def. hiperboli.
Tw. hiperbola to zbiór pktów dla których stosunek odległości od ogniska do odległości od

odpow. kierownicy jest stały.

Def. paraboli.
Równanie stożkowej we współrzędnych biegunowych.

7

2

Drugi semestr

2.1

Liczby zespolone

Nieformalne wprowadzenie.
Def. liczby zespolonej i działań.
Podstawowe własności działań na liczbach zespolonych.
(tu brakuje wykładu z 8 III)
Wzór de Moivre’a.
Tw. Bezout.
Tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu.
Zasadnicze twierdzenie algebry (bez dowodu).
Tw. o przedstawieniu wielomianu jako iloczynu dwumianów.
Tw. o pierwiastkach zespolonych wielomianu o współczynnikach rzeczywistych.
Uwaga o przedstawieniu wielomianu rzeczywistego jako iloczynu czynników liniowych i dru-

giego stopnia.

Tw. o postaci pierwiastków równania drugiego stopnia.

2.2

Odwzorowania wieloliniowe

Def. odwzorowania wieloliniowego.
Uw. o wartości odwzorowania wieloliniowego gdy jednym z argumentów jest wektor zerowy.
Def. odwzorowania symetrycznego i antysymetrycznego.
Tw. o odwzorowaniu antysymetrycznym (własności).
Def. formy n-liniowej.

2.3

Formy kwadratowe

Def. formy kwadratowej.
Uw. o formach generujących formę kwadratową.
Tw. o istnieniu formy symetrycznej generującej formę kwadratową.
Tw. o jednoznaczności tejże formy symetrycznej.
Def. formy biegunowej.
Def. dodatniej, ujemnej określoności (półokreśloności, nieokreśloności) formy kwadratowej.
Nierówność Schwarza.
Def. macierzy formy dwuliniowej.
Uw. o macierzy formy dwuliniowej.
Uw. o macierzy formy biegunowej formy kwadratowej.
Def. Macierzy formy kwadratowej.
Uw. o jednoznaczności macierzy formy dwuliniowej.
Uw. o jednoznaczności macierzy formy kwadratowej.
Uw. symetryczność formy dwuliniowej a symetryczność macierzy tej formy.
Tw. o zmianie bazy macierzy formy kwadratowej.

2.3.1

Bazy ortogonalne

Def. układu ortogonalnego i ortonormalnego.
Tw. o liniowej niezależności układu ortogonalnego.
Tw. o istnieniu bazy ortonormalnej podprzestrzeni p.w. R

n

(w dowodzie ortonormalizacja

Grama-Schmidta).

8

2.3.2

Dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni

Def. Sumy podprzestrzeni i sumy prostej.
Tw. suma podprzestrzeni jest podprzestrzenią.
Tw. wkw na sumę prostą.
Def. dopełnienia podprzestrzeni.
Def. ortogonalności wektora do podprzestrzeni.
Tw. wkw na ortogonalność wektora do podprzestrzeni.
Def. dopełnienia ortogonalnego.
Tw. o istnieniu dopełnienia ortogonalnego.
Tw. o wymiarze sumy podprzestrzeni.

2.3.3

Macierze ortogonalne

Def. macierzy ortogonalnej.
Uw. o wierszach i kolumnach macierzy ortogonalnej.
Wniosek o wyznaczniku macierzy ortogonalnej.
Tw. o ortogonalności macierzy przejścia pomiędzy dwoma bazami ortonormalnymi.

2.3.4

Macierze symetryczne

Tw. o wartościach własnych macierzy symetrycznej (że są rzeczywiste).
Tw. o ortogonalności wektorów własnych odpowiadających różnym wartościom własnym

macierzy symetrycznej.

Lemat o iloczynie skalarnym i wektorach współrzędnych w bazie ortonormalnej.
Tw. o bazie ortonormalnej złożonej z wektorów macierzy symetrycznej (to z kosmicznym

dowodem).

Wn. o diagonalizowalności macierzy symetrycznej.

2.3.5

Postać kanoniczna formy kwadratowej

Def. postaci kanonicznej.
Tw. o istnieniu postaci kanonicznej (w dowodzie metoda ze znajdywaniem wartości wła-

snych).

Tw. o określoności macierzy a jej postaci kanonicznej (dwa twierdzenia — osobne dla pół-

określoności).

Sprowadzanie do postaci kanonicznej metodą Lagrange’a.
Uw. o niejednoznaczności postaci kanonicznej.
Tw. (prawo bezwładności form kwadratowych).
Sprowadzanie do postaci kanonicznej metodą Jacobiego.
Tw. o metodzie Jacobiego.
Tw. Sylvestera.

2.3.6

Powierzchnie stopnia drugiego

Def. powierzchni stopnia drugiego.
Postaci kanoniczne równania powierzchni stopnia drugiego (w domu mieliśmy doczytać o

algorytmie sprowadzania do odpowiedniej postaci). Chodzi o te paraboloidy i tak dalej.

9

2.4

Struktury algebraiczne

Def. działania wewnętrznego.
Uw. (niby-definicja struktury algebraicznej).
Własności działania wewnętrznego (łączność, przemienność, element neutralny).
Tw. o jedyności elementu neutralnego.
Def. elementu symetrycznego.
Tw. o jedyności elementu symetrycznego (przy odpowiednich założeniach).
Tw. o elemencie symetrycznym do wyniku działania na dwóch elementach.
Def. struktury algebraicznej.
Def. grupy, grupy abelowej.
Tw. (prawo/lewostronne skracanie równości).
Def. pierścienia (pierścienia przemiennego).
Uw. o działaniu addytywnym/multiplikatywnym.
Tw. o istnieniu prawo/lewostronnej różnicy w grupie.
Def. pierścienia z jednością, dzielników zera, pierścienia całkowitego.
Def. elementu odwrotnego.
Def. ciała, ciała przemiennego.
Tw. o pierścieniu z jednością.
Wn. o braku dzielników zera w ciele.
Wn. wkw na bycie ciałem.
Tw. o prawo/lewostronnym skracaniu w ciele.

2.4.1

Homomorfizmy struktur

Def. homomorfizmu grup.
Def. izomorfizmu grup.
Tw. o izomorficzności funkcji odwrotnej do izomorfizmu.
Tw. o obrazie elementu neutralnego i odwrotnego przez homomorfizm.
Def. homomorfizmu pierścieni.
Def. izomorfizmu pierścieni.
Tw. o izomorficzności funkcji odwrotnej do izomorfizmu (tym razem dla pierścieni/ciał).
Def. izomorficzności ciał/pierścieni.
Tw. o izomorfizmie pierścieni.

2.5

Przestrzeń wektorowa

Def. działania zewnętrznego.
Def. przestrzeni wektorowej.
Trochę przykładów.
Własności działań w przestrzeni wektorowej.
Def. podprzestrzeni wektorowej.
Uw. o wektorze zerowym.
Tw. (równoważna charakterystyka podprzestrzeni).
Tw. (uogólniona równoważna charakterystyka podprzestrzeni).

2.5.1

Liniowa niezależność wektorów

Def. kombinacji liniowej.
Def. liniowej niezależności.
Tw. o wektorach liniowo zależnych (jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych).

10

Tw. o jednoznaczności przedstawienia wektora jako kombinacji liniowej wektorów liniowo

niezależnych.

2.5.2

Baza i wymiar przestrzeni wektorowej

Tw. część wspólna rodziny podprzestrzeni jest podprzestrzenią.
Def. powłoki liniowej.
Wn. o powłoce liniowej.
Tw. o powłoce liniowej (postać wektorów do niej należących).
Def. bazy przestrzeni wektorowej.
Wn. wkw na bycie bazą (z jednoznacznością przestawienia każdego wektora).
Wn. Równoważność warunków na bazę.
Tw. o rozszerzaniu do bazy (bez dowodu).
Wn. każda niezerowa przestrzeń wektorowa ma bazę.
Tw. o równoliczności baz (bez dowodu).
Def. wymiaru przestrzeni wektorowej.
Wn. o wymiarze podprzestrzeni.
Def. repera bazowego.
Def. współrzędnych.

2.5.3

Sumy podprzestrzeni

Def. sumy podprzestrzeni.
Tw. o tym, że suma też jest podprzestrzenią.
Tw. o sumie prostej.
Def. dopełnienia podprzestrzeni.
Tw. o istnieniu dopełnienia podprzestrzeni.
Tw. o wymiarze sumy podprzestrzeni.

2.6

Przestrzenie afiniczne

Def. przestrzeni afinicznej, punktu, przestrzeni wektorów swobodnych, wymiaru, wektora

łączącego punkty.

Własności działania w przestrzeni afinicznej.
Def. translacji o wektor.
Def. układu współrzędnych, jego środka i współrzędnych.

2.6.1

Podprzestrzeń afiniczna

Def. podprzestrzeni afinicznej, przestrzeni wektorów równoległych.
Tw. o podprzestrzeni wektorowej i afinicznej.
Wn. o układzie współrzędnych podprzestrzeni afinicznej.
Def. równania parametrycznego podprzestrzeni.
Uw. podprzestrzeń afiniczna też jest przestrzenią afiniczną.
Def. prostej afinicznej, płaszczyzny afinicznej, hiperpowierzchni afinicznej.

2.7

Odwzorowania liniowe

Def. odwzorowania liniowego.
Tw. o obrazie wektora zerowego i wektora przeciwnego.
Tw. o wkw na liniowość odwzorowania.

11

Tw. uogólnione wkw na liniowość odwzorowania.
Wn. o jednoznaczności odwzorowania przy zadaniu wartości na wektorach z pewnej bazy.
Def. Jądra i obrazu.
Tw. Jądro i obraz są podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni wektorowych.
Wn. Obraz jest liniową powłoką obrazów wektorów z bazy dziedziny.
Def. rzędu odwzorowania.
Tw. o sumie wymiarów jądra i obrazu.
Def. monomorfizmu, epimorfizmu, izomorfizmu, automorfizmu, formy.
Uw. o epimorfizmie.
Tw. o monomorfizmie.
Tw. o endomorfizmie.
Tw. o złożeniu odwzorowań liniowych.
Uw. o sumie i iloczynie skalara i odwzorowania liniowego.
Tw. odwzorowanie odwrotne do izomorfizmu też jest izomorfizmem.
Def. przestrzeni izomorficznych.
Tw. przestrzenie wektorowe nad danym ciałem są izomorficzne wtedy i tylko wtedy gdy

mają ten sam wymiar.

2.8

Reprezentacja macierzowa odwzorowania liniowego

Def. macierzy odwzorowania liniowego w bazach.
Wn. o postaci macierzy odwzorowania liniowego.
Def. macierzowej postaci odwzorowania liniowego.
Wn. o jednoznaczności macierzy odwzorowania liniowego w bazach.
Def. macierzy endomorfizmu.
Tw. rząd odwzorowania liniowego jest równy rzędowi jego macierzy (bez dowodu).
Wn. rząd macierzy odwzorowania nie zależy od wyboru baz.
Tw. o macierzy sumy i iloczynu skalara i odwzorowania liniowego.
Tw. o macierzy złożenia odwzorowań liniowych.
Tw. wkw na automorfizm i macierz odwzorowania odwrotnego do automorfizmu.
Def. macierzy przejścia.
Wn. macierz przejścia jest nieosobliwa i jej odwrotność to macierz przejścia z bazami na

odwrót.

Wn. macierz przejścia a kolumnowa macierz współrzędnych wektora w bazie.
Tw. o zmianie macierzy odwzorowania liniowego przy zmianie bazy.

2.9

Wartości i wektory własne odwzorowania liniowego i macierzy

Def. wartości własnej, wektora własnego, widma.
Tw. o podprzestrzeni własnej.
Def. podprzestrzeni własnej.
Uw. podprzestrzeń własna jako jądro pewnego odwzorowania.
Tw. każdy wektora własny danego endomorfizmu odpowiada dokładnie jednej wartości wła-

snej.

Tw. o wartościach i wektorach własnych macierzy.
Def. wielomianu charakterystycznego.
Tw. wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
Def. endomorfizmu diagonalizowalnego.
Tw. wkw na diagonalizowalność (istnienie bazy złożonej z wektorów własnych).
Wn. postać macierzy odwzorowania liniowego w bazie z wektorów własnych.

12

Tw. o wymiarze podprzestrzeni własnej.
Def. krotności geometrycznej i algebraicznej.
Tw. wkw na diagonalizowalność (z wielomianem charakterystycznym).
Def. macierzy diagonalizowalnej.
Uw. macierz diagonalizowalna jest macierzą pewnego endomorfizmu diagonalizowalnego.
Def. wartości własnej, wektora własnego, wielomianu charakterystycznego macierzy kwa-

dratowej.

2.10

Wektory główne, podprzestrzenie charakterystyczne i postać
Jordana macierzy

Def. wielomianu anulującego.
Tw. Cayley’a-Hamiltona (wielomian charakterystyczny jest wielomianem anulującym danej

macierzy).

Def. wielomianu minimalnego.
Tw. o jednoznaczności wielomianu minimalnego.
Tw. Każda wartość własna macierzy kwadratowej jest pierwiastkiem jej wielomianu mini-

malnego.

Wn. postać wielomianu minimalnego.

2.10.1

Wektory główne endomorfizmu i macierzy

Def. wektora głównego k-tego rzędu.
Uw. wektory główne k-tego rzędu odpowiadają wektorom głównym k-1-go rzędu.
Wn. wkw na bycie wektorem głównym rzędu k związanym z wartością własną λ.
Tw. wektory główne kolejnych rzędów są liniowo niezależne.
Tw. tożsamość Bezouta
Tw. wektory główne a wielomian minimalny.
Def. podprzestrzeni charakterystycznej.
Wn. postać podprzestrzeni charakterystycznej.
Tw. o wymiarach podprzestrzeni charakterystycznych.
Tw. suma prosta podprzestrzeni charakterystycznych dowolnego endomorfizmu stanowi całą

przestrzeń (dziedzinę tego endomorfizmu) (bez dowodu).

Wn. z powyższego twierdzenia.

2.10.2

Postać Jordana endomorfizmu

Def. macierzy Jordana i postaci Jordana.
Uw. macierz Jordana jest podobna do macierzy A.
Uw. Ogólna postać macierzy Jordana.
Przykład szukania postaci Jordana.

13