Algebra II - zadania seria I

1. Wykaż, że jeśli g : V × V → R jest funkcjonałem dwuliniowym, to dla dowolnych ~x, ~y ∈ V oraz α ∈ R zachodzi

g(α~

x, α~

y) = α

2

g(~

x, ~

y).

2. Wykaż, że jeśli g : V × V → R jest antysymetrycznym funkcjonałem dwuliniowym, to g(~x, ~x) = 0 dla dowolnego ~x ∈ V .

3. Udowodnić, że dowolny funkcjonał dwuliniowy g : V × V → R można przedstawić w postaci g = g

1

+ g

2

, gdzie g

1

jest

funkcjonałem symetrycznym, a g

2

funkcjonałem antysymetrycznym.

4. Niech g : R

2

× R

2

→ R będzie funkcjonałem dwuliniowym okreslonym jako g(~x, ~y) = 2x

1

y

1

+ x

1

y

2

− 4x

2

y

2

. Wyznacz

macierz g w bazie

a) kanonicznej

b)



1
2



,



1
1



c)



−1

0



,



1
1



5. Oblicz wartość funkcjonału dwuliniowego g(~

x, ~

y), który w bazie kanonicznej przestrzeni R

3

ma macierz A, jeśli

a) ~

x =





1
2
0





, ~

y =





0
1
1





, A =





2

0

−1

1

0

3

2

1

−2





.

b) ~

x =





1
0

−1





, ~

y =





2
0
1





, A =





2

0

−1

1

0

3

2

1

−2





.

6. Niech R

4

[x] oznacza przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 4 o współczynnikach rzeczywistych. Niech funkcjonał

dwuliniowy g : R

4

[x] × R

4

[x] → R będzie określony jako

g(w(x), p(x)) =

Z

1

0

w(x)p(x) dx.

Znajdź macierz tego funkcjonału w bazach

a) (1, x, x

2

, x

3

, x

4

)

b) (1, x − 1, x

2

− x, x

3

− x

2

, x

4

− x

3

)

7. Wykaż, że g(~

x, ~

y) = 3x

1

y

1

+ 2x

1

y

2

− 2x

1

y

3

+ 2x

2

y

1

− 2x

3

y

1

jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym. Wyznacz

tę bazę przestrzeni R

3

, w której ma on macierz diagonalną.

8. Wykaż, że g : R

n

× R

n

→ R, określony jako g(~x, ~y) = ~x

T

~

y jest symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym. Wyznacz

macierz tego funkcjonału w bazach:

a) (~

e

1

, ~

e

2

, . . . , ~

e

n

)

b) (~

e

1

, ~

e

1

+ ~

e

2

, . . . , ~

e

1

+ ~

e

2

+ . . . + ~

e

n

).