Algebra II - zadania seria I
1. Wykaż, że jeśli g : V × V → R jest funkcjonałem dwuliniowym, to dla dowolnych ~x, ~y ∈ V oraz α ∈ R zachodzi
g(α~
x, α~
y) = α
2
g(~
x, ~
y).
2. Wykaż, że jeśli g : V × V → R jest antysymetrycznym funkcjonałem dwuliniowym, to g(~x, ~x) = 0 dla dowolnego ~x ∈ V .
3. Udowodnić, że dowolny funkcjonał dwuliniowy g : V × V → R można przedstawić w postaci g = g
1
+ g
2
, gdzie g
1
jest
funkcjonałem symetrycznym, a g
2
funkcjonałem antysymetrycznym.
4. Niech g : R
2
× R
2
→ R będzie funkcjonałem dwuliniowym okreslonym jako g(~x, ~y) = 2x
1
y
1
+ x
1
y
2
− 4x
2
y
2
. Wyznacz
macierz g w bazie
a) kanonicznej
b)
1
2
,
1
1
c)
−1
0
,
1
1
5. Oblicz wartość funkcjonału dwuliniowego g(~
x, ~
y), który w bazie kanonicznej przestrzeni R
3
ma macierz A, jeśli
a) ~
x =
1
2
0
, ~
y =
0
1
1
, A =
2
0
−1
1
0
3
2
1
−2
.
b) ~
x =
1
0
−1
, ~
y =
2
0
1
, A =
2
0
−1
1
0
3
2
1
−2
.
6. Niech R
4
[x] oznacza przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 4 o współczynnikach rzeczywistych. Niech funkcjonał
dwuliniowy g : R
4
[x] × R
4
[x] → R będzie określony jako
g(w(x), p(x)) =
Z
1
0
w(x)p(x) dx.
Znajdź macierz tego funkcjonału w bazach
a) (1, x, x
2
, x
3
, x
4
)
b) (1, x − 1, x
2
− x, x
3
− x
2
, x
4
− x
3
)
7. Wykaż, że g(~
x, ~
y) = 3x
1
y
1
+ 2x
1
y
2
− 2x
1
y
3
+ 2x
2
y
1
− 2x
3
y
1
jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym. Wyznacz
tę bazę przestrzeni R
3
, w której ma on macierz diagonalną.
8. Wykaż, że g : R
n
× R
n
→ R, określony jako g(~x, ~y) = ~x
T
~
y jest symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym. Wyznacz
macierz tego funkcjonału w bazach:
a) (~
e
1
, ~
e
2
, . . . , ~
e
n
)
b) (~
e
1
, ~
e
1
+ ~
e
2
, . . . , ~
e
1
+ ~
e
2
+ . . . + ~
e
n
).