Algebra II - zadania seria I 1. Wykaż, że jeśli g : V × V → R jest funkcjonałem dwuliniowym, to dla dowolnych ~x, ~y ∈ V oraz α ∈ R zachodzi g( α~
x, α~
y) = α 2 g( ~
x, ~
y).
2. Wykaż, że jeśli g : V × V → R jest antysymetrycznym funkcjonałem dwuliniowym, to g( ~x, ~x) = 0 dla dowolnego ~x ∈ V .
3. Udowodnić, że dowolny funkcjonał dwuliniowy g : V × V → R można przedstawić w postaci g = g 1 + g 2, gdzie g 1 jest funkcjonałem symetrycznym, a g 2 funkcjonałem antysymetrycznym.
4. Niech g :
2
2
R × R → R będzie funkcjonałem dwuliniowym okreslonym jako g( ~
x, ~
y) = 2 x 1 y 1 + x 1 y 2 − 4 x 2 y 2. Wyznacz macierz g w bazie
a) kanonicznej
1 1
b)
,
2
1
− 1 1
c)
,
0
1
5. Oblicz wartość funkcjonału dwuliniowego g( ~
x, ~
y), który w bazie kanonicznej przestrzeni 3
R ma macierz A, jeśli
1
0
2
0
− 1
a) ~
x =
2
1
1
0
3
, ~
y =
, A =
.
0
1
2
1
− 2
1
2
2
0
− 1
b) ~
x =
0
0
1
0
3
, ~
y =
, A =
.
− 1
1
2
1
− 2
6. Niech
4
R [ x] oznacza przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 4 o współczynnikach rzeczywistych. Niech funkcjonał
dwuliniowy g :
4
4
R [ x] × R [ x] → R będzie określony jako Z
1
g( w( x) , p( x)) =
w( x) p( x) dx.
0
Znajdź macierz tego funkcjonału w bazach a) (1 , x, x 2 , x 3 , x 4) b) (1 , x − 1 , x 2 − x, x 3 − x 2 , x 4 − x 3) 7. Wykaż, że g( ~
x, ~
y) = 3 x 1 y 1 + 2 x 1 y 2 − 2 x 1 y 3 + 2 x 2 y 1 − 2 x 3 y 1 jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym. Wyznacz tę bazę przestrzeni
3
R , w której ma on macierz diagonalną.
8. Wykaż, że g :
n
n
R × R
→ R, określony jako g( ~x, ~y) = ~xT ~y jest symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym. Wyznacz macierz tego funkcjonału w bazach: a) ( ~
e 1 , ~e 2 , . . . , ~en) b) ( ~
e 1 , ~e 1 + ~e 2 , . . . , ~e 1 + ~e 2 + . . . + ~en).