Algebra II - zadania seria II
1. Wykaż, że zbiór form kwadratowych określonych na przestrzeni V tworzy przestrzeń wektorową.
2. Zbadaj określoność macierzy:
a)
1
0
−2
0
3
1
−2
1
2
b)
2
1
−1
1
α
0
−1
0
2
c)
0
0
−2
0
−1
3
−2
3
2
3. Zbadaj określoność form kwadratowych:
a) f : R
3
→ R. f(x) = −x
2
1
− 2x
2
2
− x
2
3
− x
1
x
3
+ 2x
1
x
2
;
b) f : R
3
→ R. f(x) = 5x
2
1
+ x
2
2
+ λx
2
3
+ 4x
1
x
2
− 2x
1
x
3
− 2x
2
x
3
.
4. Udowodnij, że macierze Gramma A
T
A, AA
T
są nieujemnie określone, a jeśli A - kwadratowa nieosobliwa to określoność
jest ściśle dodatnia.
5. Udowodnij, że macierz symetryczna A jest nieujemnie określona wtedy i tylko wtedy gdy istnieje macierz B taka, że
A = B
T
B.
6. Udowodnij, że forma kwadratowa f : R
n
→ R jest nieujemnie lub niedodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
{x ∈ R
n
: f (x) = 0}
jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R
n
.
7. Wykaż, że jeśli macierz A jest dodatnio określona , to istnieje macierz odwrotna A
−1
, która jest dodatnio określona.