Zadania z przedmiotu

Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr

seria 5

1. Wyznaczy´

c baz

,

e i wymiar podprzestrzeni Lin{v

1

, v

2

, . . . , v

5

} ⊆ K

4

, je˙zeli v

1

= (1, 0, 0, −1),

v

2

= (2, 1, 1, 0), v

3

= (1, 1, 1, 1), v

4

= (1, 2, 3, 4), v

5

= (0, 1, 2, 3).

2. Wyznaczy´

c wymiary sumy i cz

,

e´sci wsp´

olnej podprzestrzeni Lin(X) i Lin(Y ), je˙zeli

(a) X = {(1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0)}, Y = {(1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1)};

(b) X = {(1, 1, 1, 1), (1, −1, 1, −1), (1, 3, 1, 3)}, Y = {(1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1)};

(c) X = {(2, −1, 0, −2), (3, −2, 1, 0), (1, −1, 1, −1)}, Y = {(3, −1, −1, 0), (0, −1, 2, 3),

(5, −2, −1, 0)};

3. Roz lo˙zy´

c przestrze´

n liniow

,

a R

4

nad R na sum

,

e prost

,

a U ⊕ W , tak ˙zeby

U = Lin{(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0)}.

4. Czy dla przestrzeni R[x]

5

(wielomian´

ow stopnia co najwy˙zej 5-ego) zachodzi r´

owno´s´

c:

R[x]

5

= U ⊕ V ⊕ W,

gdzie U = Lin(1, x

3

), V = Lin(x

2

+ 1, 2 + x), W = Lin(x

4

+ 1, x

5

+ x

2

)?

5. Roz lo˙zy´

c podprzestrze´

n

V = {(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) ∈ R

4

| x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

+ 4x

4

= 0}

przestrzeni liniowej R

4

nad R na sum

,

e prost

,

a podprzestrzeni jednowymiarowych.

6. Wykaza´

c, ˙ze zbi´

or {(x, y, z) ∈ R

3

| x + 2y + 3z = 2} jest warstw

,

a pewnego wektora v ∈ R

3

wzgl

,

edem pewnej podprzestrzeni V przestrzeni liniowej R

3

nad R. Czy v i V s

,

a wyznaczone

jednoznacznie?

7. Niech podprzestrzenie U, V ⊆ R

n

b

,

ed

,

a okre´slone nast

,

epuj

,

aco:

U = {(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) | x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

= 0},

V = {(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) | x

1

= x

2

= · · · = x

n

}.

Wykaza´

c, ˙ze R

n

= U ⊕ V oraz wyznaczy´

c rzuty wektor´

ow jednostkowych na podprzestrze´

n U

wzd lu˙z podprzestrzeni V (Uwaga: Je˙zeli V = U ⊕ W oraz v = u + w, gdzie u ∈ U, w ∈ W , to u
nazywa si

,

e rzutem wektora v na U wzd lu˙z podprzestrzeni W ).

8. W przestrzeni R

4

okre´slamy podprzestrzenie

U = Lin{(1, 1, 1, 1), (−1, −2, 0, 1)}, V = Lin{(−1, −1, 1, −1), (2, 2, 0, 1)}.

Wykaza´

c, ˙ze R

4

= U ⊕ V i znale´

z´

c rzut wektora (2, 1, 2, 2) na podprzestrze´

n U wzd lu˙z V .

9. Niech V b

,

edzie jednowymiarow

,

a przestrzeni

,

a liniow

,

a nad cia lem K. Wyznaczy´

c wszystkie

przekszta lcenia liniowe ϕ : V −→ V .

10. Niech ϕ : R

3

−→ R

3

b

,

edzie takim przekszta lceniem liniowym, ˙ze

ϕ((1, 1, 1)) = (2, 1, 2), ϕ((1, 1, 0)) = (0, 1, 0), ϕ((1, 0, 0)) = (3, 1, 5).

Zale´

z´

c ϕ((0, 0, 1)), ϕ((3, 2, 1)), ϕ((1, −1, 0)).

11. Dla danego przekszta lcenia liniowego ϕ wyznaczy´

c wymiary Ker ϕ, Im ϕ, je˙zeli

(a) ϕ : R

3

−→ R

2

, ϕ((x, y, z)) = (x, y + 2z);

(b) ϕ : R

3

−→ R

4

, ϕ((x, y, z)) = (x, y + 2z, x − y, 2z);

(c) ϕ : R

3

−→ R

3

, ϕ((x, y, z)) = (x, y + z, x + y + z);

(d) ϕ : R

4

−→ R

2

, ϕ((x, y, z, t)) = (x + z, y + t).

12. Wykaza´

c, ˙ze je´sli ϕ : V −→ W jest przekszta lceniem liniowym i U jest podprzestrzeni

,

a

przestrzeni liniowej W , to przeciwobraz ϕ

−1

(U ) jest podprzestrzeni

,

a przestrzeni V oraz je´sli

U ⊆ Im ϕ, to

ϕ(ϕ

−1

(U )) = U.

1