Document Outline

Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym
ciałem K.

Definicja

Przekształceniem liniowym

f : V → W nazywamy

przekształcenie spełniające warunek:

f (λv + ηw) = λf (v) + ηf (w)

dla λ, η ∈ K, v, w ∈ V .

(1)

Równoważnie:

i =1

f (v

)

dla λ

∈ K, v

∈ V .

(2)

Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym
ciałem K.

Definicja

Przekształceniem liniowym

f : V → W nazywamy

przekształcenie spełniające warunek:

f (λv + ηw) = λf (v) + ηf (w)

dla λ, η ∈ K, v, w ∈ V .

(1)

Równoważnie:

i =1

f (v

)

dla λ

∈ K, v

∈ V .

(2)

Warunek (1) jest równoważny układowi warunków:

f (v + w)

f (v) + f (w)

v, w ∈ V ,

(3)

f (λv)

λf (v)

λ ∈ K, v ∈ V .

(4)

Pierwszy z nich nazywa się warunkiem

addytywności

, a drugi —

jednorodności

. Przekształcenia liniowe nazywa się też

operatorami

Warunek (1) jest równoważny układowi warunków:

f (v + w)

f (v) + f (w)

v, w ∈ V ,

(3)

f (λv)

λf (v)

λ ∈ K, v ∈ V .

(4)

Pierwszy z nich nazywa się warunkiem

addytywności

, a drugi —

jednorodności

. Przekształcenia liniowe nazywa się też

operatorami

Warunek (1) jest równoważny układowi warunków:

f (v + w)

f (v) + f (w)

v, w ∈ V ,

(3)

f (λv)

λf (v)

λ ∈ K, v ∈ V .

(4)

Pierwszy z nich nazywa się warunkiem

addytywności

, a drugi —

jednorodności

. Przekształcenia liniowe nazywa się też

operatorami

Przykłady przekształceń liniowych

Przykłady

Wiadomo, że wtedy sumie

wektorów odpowiada suma ich obrazów (czyli przekształcenie jest
addytywne) oraz że jeśli wektor pomnożymy przez liczbę, to jego
obraz także należy pomnożyć przez tę liczbę (zatem f jest
jednorodne).

2. Rozważmy obrót przestrzeni dokoła pewnej osi o ustalony kąt.
Tak jak poprzednie przekształcenie, to także jest liniowe.

Przykłady przekształceń liniowych

Przykłady

1. W tym przykładzie zarówno V , jak i W będzie płaszczyzną,
traktowaną jako zbiór wektorów zaczepionych w początku układu
współrzędnych. Niech f oznacza obrót płaszczyzny dokoła
ustalonego punktu o ustalony kąt. Wiadomo, że wtedy sumie
wektorów odpowiada suma ich obrazów (czyli przekształcenie jest
addytywne) oraz że jeśli wektor pomnożymy przez liczbę, to jego
obraz także należy pomnożyć przez tę liczbę (zatem f jest
jednorodne).

2. Rozważmy obrót przestrzeni dokoła pewnej osi o ustalony kąt.
Tak jak poprzednie przekształcenie, to także jest liniowe.

Przykłady przekształceń liniowych

Przykłady

2. Rozważmy obrót przestrzeni dokoła pewnej osi o ustalony kąt.
Tak jak poprzednie przekształcenie, to także jest liniowe.

Przykłady przekształceń liniowych

3. Niech V będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n,
a W — przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n−1.
Rozważymy

operator różniczkowania

D : V → W

przyporządkowujący wielomianowi jego pochodną.

Ponieważ dla

dowolnych wielomianów p(x ) i q(x ) mamy:

D(p(x )+q(x )) = (p(x )+q(x ))

= p

(x )+q

(x ) = D(p(x ))+D(q(x ))

oraz

D(cp(x ) = (cp(x ))

= cp

(x ) = cD(p(x )),

więc operator różniczkowania jest liniowy.

Przykłady przekształceń liniowych

3. Niech V będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n,
a W — przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n−1.
Rozważymy

operator różniczkowania

D : V → W

przyporządkowujący wielomianowi jego pochodną. Ponieważ dla
dowolnych wielomianów p(x ) i q(x ) mamy:

D(p(x )+q(x )) = (p(x )+q(x ))

= p

(x )+q

(x ) = D(p(x ))+D(q(x ))

oraz

D(cp(x ) = (cp(x ))

= cp

(x ) = cD(p(x )),

więc operator różniczkowania jest liniowy.

Przykłady przekształceń liniowych

3. Niech V będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n,
a W — przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n−1.
Rozważymy

operator różniczkowania

D : V → W

przyporządkowujący wielomianowi jego pochodną. Ponieważ dla
dowolnych wielomianów p(x ) i q(x ) mamy:

D(p(x )+q(x )) = (p(x )+q(x ))

= p

(x )+q

(x ) = D(p(x ))+D(q(x ))

oraz

D(cp(x ) = (cp(x ))

= cp

(x ) = cD(p(x )),

więc operator różniczkowania jest liniowy.

Przykłady przekształceń liniowych

4. Niech V = W = C (0, 1). Operator

f (x ) 7→

f (t) dt

jest liniowy, bo

(f (t)+g (t) dt =

f (t) dt+

g (t) dt ,

cf (t) dt = c

f (t) dt.

5. Analogicznie, operator całkowania f (x ) 7→

f (t) dt

odwzorowujący C (0, 1) w R jest liniowy.

Przykłady przekształceń liniowych

6. Jeżeli V jest przestrzenią ciągów zbieżnych, W = R i dla
dowolnego (a

) określimy

L((a

)) = lim

n→∞

to otrzymamy przekształcenie liniowe L : V → R

bo wiadomo, że

lim

n→∞

+ b

) = lim

n→∞

+ lim

n→∞

oraz

lim

n→∞

= c lim

n→∞

Przykłady przekształceń liniowych

6. Jeżeli V jest przestrzenią ciągów zbieżnych, W = R i dla
dowolnego (a

) określimy

L((a

)) = lim

n→∞

to otrzymamy przekształcenie liniowe L : V → R bo wiadomo, że
lim

n→∞

+ b

) = lim

n→∞

+ lim

n→∞

oraz

lim

n→∞

= c lim

n→∞

Przykłady przekształceń liniowych

7. Niech A będzie macierzą typu m × n, V = R

, W = R

Przekształcenie f : V → W określone wzorem

f (X) = A · X,

gdzie X oznacza wektor przestrzeni V traktowany jako macierz
jednokolumnowa, jest liniowe.

Wynika to z własności iloczynu macierzy:

A · cX = cA · X

A · X

+ X

= A · X

+ A · X

Przykłady przekształceń liniowych

7. Niech A będzie macierzą typu m × n, V = R

, W = R

Przekształcenie f : V → W określone wzorem

f (X) = A · X,

gdzie X oznacza wektor przestrzeni V traktowany jako macierz
jednokolumnowa, jest liniowe.
Wynika to z własności iloczynu macierzy:

A · cX = cA · X

A · X

+ X

= A · X

+ A · X

Przykłady przekształceń liniowych

7. Niech A będzie macierzą typu m × n, V = R

, W = R

Przekształcenie f : V → W określone wzorem

f (X) = A · X,

gdzie X oznacza wektor przestrzeni V traktowany jako macierz
jednokolumnowa, jest liniowe.
Wynika to z własności iloczynu macierzy:

A · cX = cA · X

A · X

+ X

= A · X

+ A · X

Przykłady przekształceń liniowych

8. Wśród przekształceń V → V na pewno dwa są liniowe:

przekształcenie tożsamościowe

id , określone wzorem id (v) = v,

oraz przekształcenie zerowe 0, 0(v) = 0.

Jeśli v

6= 0 jest ustalonym wektorem, to

przekształcenie stałe

f ,

f (v) = v

nie jest

liniowe, bo nie jest addytywne: f (v + w) = v

ale f (v) + f (w) = 2v

Przykłady przekształceń liniowych

8. Wśród przekształceń V → V na pewno dwa są liniowe:

przekształcenie tożsamościowe

id , określone wzorem id (v) = v,

oraz przekształcenie zerowe 0, 0(v) = 0.
Jeśli v

6= 0 jest ustalonym wektorem, to

przekształcenie stałe

f ,

f (v) = v

nie jest

liniowe, bo nie jest addytywne: f (v + w) = v

ale f (v) + f (w) = 2v

Twierdzenie

Jeżeli v

, . . . , v

stanowią jakąkolwiek bazę przestrzeni liniowej V i

, . . . , w

są dowolnymi wektorami przestrzeni W , to istnieje

dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : V → W takie, że
f (v

) = w

dla i = 1, . . . , n.

Przekształcenie to jest określone

wzorem:

i =1

(5)

Twierdzenie

Jeżeli v

, . . . , v

stanowią jakąkolwiek bazę przestrzeni liniowej V i

, . . . , w

są dowolnymi wektorami przestrzeni W , to istnieje

dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : V → W takie, że
f (v

) = w

dla i = 1, . . . , n. Przekształcenie to jest określone

wzorem:

i =1

(5)

D o w ó d. Wzór (5) określa wartość przekształcenia f dla
dowolnego wektora v ∈ V , bo wektor v ma jednoznaczne
przedstawienie w bazie v

, . . . , v

Dla wektorów v =

n
i =1

u =

n
i =1

mamy:

f (αv + βu)

f (α

n
i =1

+ β

n
i =1

) = f (

n
i =1

(αλ

+ βη

) =

(αλ

+ βη

= α

n
i =1

+ β

n
i =1

αf (v) + βf (u).

D o w ó d. Wzór (5) określa wartość przekształcenia f dla
dowolnego wektora v ∈ V , bo wektor v ma jednoznaczne
przedstawienie w bazie v

, . . . , v

. Dla wektorów v =

n
i =1

u =

n
i =1

mamy:

f (αv + βu)

f (α

n
i =1

+ β

n
i =1

) = f (

n
i =1

(αλ

+ βη

) =

(αλ

+ βη

= α

n
i =1

+ β

n
i =1

αf (v) + βf (u).

Macierz przekształcenia

Jeżeli w W mamy bazę {u

, . . . , u

}, to każdy z wektorów w

j = 1, . . . , n można wyrazić za pomocą współrzędnych, tj.

f (v

) = w

i =1

= (a

, a

, . . . , a

Z liczb a

można utworzyć macierz A = [a

] typu m × n, którą

nazwiemy macierzą przekształcenia liniowego f w bazach {v

} i

j -tą kolumnę tej macierzy stanowią współrzędne wektora
f (v

) = u

Macierz przekształcenia

Jeżeli w W mamy bazę {u

, . . . , u

}, to każdy z wektorów w

j = 1, . . . , n można wyrazić za pomocą współrzędnych, tj.

f (v

) = w

i =1

= (a

, a

, . . . , a

Z liczb a

można utworzyć macierz A = [a

] typu m × n, którą

nazwiemy macierzą przekształcenia liniowego f w bazach {v

} i

j -tą kolumnę tej macierzy stanowią współrzędne wektora
f (v

) = u

Macierz przekształcenia

Jeżeli w W mamy bazę {u

, . . . , u

}, to każdy z wektorów w

j = 1, . . . , n można wyrazić za pomocą współrzędnych, tj.

f (v

) = w

i =1

= (a

, a

, . . . , a

Z liczb a

można utworzyć macierz A = [a

] typu m × n, którą

nazwiemy macierzą przekształcenia liniowego f w bazach {v

} i

j -tą kolumnę tej macierzy stanowią współrzędne wektora
f (v

) = u

Macierz przekształcenia

Twierdzenie

Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie pomiędzy
przekształceniami liniowymi f : V → W a macierzami A = [a

]

typu m × n o wyrazach z ciała K.

Jeżeli dane jest f , to

odpowiadająca mu macierz A jest macierzą, której j -ta kolumna
składa się ze współrzędnych wektora f (v

); jeśli dana jest macierz

A = [a

], to f jest jedynym przekształceniem liniowym

przeprowadzającym każdy wektor bazy {v

} przestrzeni V na j-tą

kolumnę (a

, a

, . . . , a

) macierzy A.

Macierz przekształcenia

Twierdzenie

Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie pomiędzy
przekształceniami liniowymi f : V → W a macierzami A = [a

]

typu m × n o wyrazach z ciała K. Jeżeli dane jest f , to
odpowiadająca mu macierz A jest macierzą, której j -ta kolumna
składa się ze współrzędnych wektora f (v

);

jeśli dana jest macierz

A = [a

], to f jest jedynym przekształceniem liniowym

przeprowadzającym każdy wektor bazy {v

} przestrzeni V na j-tą

kolumnę (a

, a

, . . . , a

) macierzy A.

Macierz przekształcenia

Twierdzenie

Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie pomiędzy
przekształceniami liniowymi f : V → W a macierzami A = [a

]

typu m × n o wyrazach z ciała K. Jeżeli dane jest f , to
odpowiadająca mu macierz A jest macierzą, której j -ta kolumna
składa się ze współrzędnych wektora f (v

); jeśli dana jest macierz

A = [a

], to f jest jedynym przekształceniem liniowym

przeprowadzającym każdy wektor bazy {v

} przestrzeni V na j-tą

kolumnę (a

, a

, . . . , a

) macierzy A.

Macierz przekształcenia

Przykłady

1. Niech V = W = R

, niech f : V → W będzie obrotem

płaszczyzny dokoła początku układu o ustalony kąt ϕ. Jeżeli w obu
przestrzeniach rozpatrujemy bazy kanoniczne, to
f (e

) = (cos ϕ, sin ϕ), f (e

) = (− sin ϕ, cos ϕ). Zatem macierz

obrotu ma postać:

A =

cos ϕ

− sin ϕ

sin ϕ

cos ϕ

(6)

Macierz przekształcenia

Tej macierzy można używać do obliczania wartości przekształcenia.
Jeśli v = (x , y ), f (v) = (x

, y

), to ponieważ f (v) = Av

, więc

cos ϕ

− sin ϕ

sin ϕ

cos ϕ

x
y

czyli

x cos ϕ − y sin ϕ,

(7)

x sin ϕ + y cos ϕ.

(8)

Macierz przekształcenia

Tej macierzy można używać do obliczania wartości przekształcenia.
Jeśli v = (x , y ), f (v) = (x

, y

), to ponieważ f (v) = Av

, więc

cos ϕ

− sin ϕ

sin ϕ

cos ϕ

x
y

czyli

x cos ϕ − y sin ϕ,

(7)

x sin ϕ + y cos ϕ.

(8)

Macierz przekształcenia

2. Niech f : R

→ R

będzie przekształceniem określonym wzorem

f (x , y , z) = (x , y , 0).

Geometrycznie można to przekształcenie interpretować jako
rzutowanie przestrzeni na płaszczyznę Oxy .

W bazach

standardowych jego macierzą jest

A =











Zmiana baz, np. na bazę (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1) (w obu
przestrzeniach) skutkuje zmianą macierzy:

A =











Baza w przestrzeni V nie musi być identyczna z bazą w przestrzeni
W .

Macierz przekształcenia

2. Niech f : R

→ R

będzie przekształceniem określonym wzorem

f (x , y , z) = (x , y , 0).

Geometrycznie można to przekształcenie interpretować jako
rzutowanie przestrzeni na płaszczyznę Oxy . W bazach
standardowych jego macierzą jest

A =











Zmiana baz, np. na bazę (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1) (w obu
przestrzeniach) skutkuje zmianą macierzy:

A =











Baza w przestrzeni V nie musi być identyczna z bazą w przestrzeni
W .

Macierz przekształcenia

2. Niech f : R

→ R

będzie przekształceniem określonym wzorem

f (x , y , z) = (x , y , 0).

Geometrycznie można to przekształcenie interpretować jako
rzutowanie przestrzeni na płaszczyznę Oxy . W bazach
standardowych jego macierzą jest

A =











Zmiana baz, np. na bazę (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1) (w obu
przestrzeniach) skutkuje zmianą macierzy:

A =











Baza w przestrzeni V nie musi być identyczna z bazą w przestrzeni
W .

Zadanie

Sprawdzić, że f : R

→ R

, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest

liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.

Niech v

= (x

, y

), v

= (x

, y

). Wtedy

+ v

= (x

+ x

, y

+ y

), więc

f (v

+ v

)

f (x

+ x

, y

+ y

) =

(3(x

+ x

) − (y

+ y

), 4(x

+ x

) + y

+ y

, 5(y

+ y

)) =

(3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) + (3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) =

f (v

) + f (v

)

f (αv)

f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =

α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).

Zadanie

Sprawdzić, że f : R

→ R

, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest

liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v

= (x

, y

), v

= (x

, y

). Wtedy

+ v

= (x

+ x

, y

+ y

), więc

f (v

+ v

)

f (x

+ x

, y

+ y

) =

(3(x

+ x

) − (y

+ y

), 4(x

+ x

) + y

+ y

, 5(y

+ y

)) =

(3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) + (3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) =

f (v

) + f (v

)

f (αv)

f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =

α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).

Zadanie

Sprawdzić, że f : R

→ R

, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest

liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v

= (x

, y

), v

= (x

, y

). Wtedy

+ v

= (x

+ x

, y

+ y

), więc

f (v

+ v

)

f (x

+ x

, y

+ y

) =

(3(x

+ x

) − (y

+ y

), 4(x

+ x

) + y

+ y

, 5(y

+ y

)) =

(3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) + (3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) =

f (v

) + f (v

)

f (αv)

f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =

α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).

Zadanie

Sprawdzić, że f : R

→ R

, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest

liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v

= (x

, y

), v

= (x

, y

). Wtedy

+ v

= (x

+ x

, y

+ y

), więc

f (v

+ v

)

f (x

+ x

, y

+ y

) =

(3(x

+ x

) − (y

+ y

), 4(x

+ x

) + y

+ y

, 5(y

+ y

)) =

(3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) + (3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) =

f (v

) + f (v

)

f (αv)

f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =

α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).

Zadanie

Sprawdzić, że f : R

→ R

, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest

liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v

= (x

, y

), v

= (x

, y

). Wtedy

+ v

= (x

+ x

, y

+ y

), więc

f (v

+ v

)

f (x

+ x

, y

+ y

) =

(3(x

+ x

) − (y

+ y

), 4(x

+ x

) + y

+ y

, 5(y

+ y

)) =

(3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) + (3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) =

f (v

) + f (v

)

f (αv)

f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =

α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).

Zadanie

Sprawdzić, że f : R

→ R

, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest

liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v

= (x

, y

), v

= (x

, y

). Wtedy

+ v

= (x

+ x

, y

+ y

), więc

f (v

+ v

)

f (x

+ x

, y

+ y

) =

(3(x

+ x

) − (y

+ y

), 4(x

+ x

) + y

+ y

, 5(y

+ y

)) =

(3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) + (3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) =

f (v

) + f (v

)

f (αv)

f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =

α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).

Zadanie

Sprawdzić, że f : R

→ R

, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest

liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v

= (x

, y

), v

= (x

, y

). Wtedy

+ v

= (x

+ x

, y

+ y

), więc

f (v

+ v

)

f (x

+ x

, y

+ y

) =

(3(x

+ x

) − (y

+ y

), 4(x

+ x

) + y

+ y

, 5(y

+ y

)) =

(3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) + (3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) =

f (v

) + f (v

)

f (αv)

f (αx , αy ) =

(3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =

α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).

Zadanie

Sprawdzić, że f : R

→ R

, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest

liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v

= (x

, y

), v

= (x

, y

). Wtedy

+ v

= (x

+ x

, y

+ y

), więc

f (v

+ v

)

f (x

+ x

, y

+ y

) =

(3(x

+ x

) − (y

+ y

), 4(x

+ x

) + y

+ y

, 5(y

+ y

)) =

(3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) + (3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) =

f (v

) + f (v

)

f (αv)

f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =

α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).

Zadanie

Sprawdzić, że f : R

→ R

, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest

liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v

= (x

, y

), v

= (x

, y

). Wtedy

+ v

= (x

+ x

, y

+ y

), więc

f (v

+ v

)

f (x

+ x

, y

+ y

) =

(3(x

+ x

) − (y

+ y

), 4(x

+ x

) + y

+ y

, 5(y

+ y

)) =

(3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) + (3x

− y

, 4x

+ y

, 5y

) =

f (v

) + f (v

)

f (αv)

f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =

α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).

Zadanie

Ponieważ f (1, 0) = (3, 4, 0) i f (0, 1) = (−1, 1, 5), więc macierzą
przekształcenia jest:

A =






−1






Warto porównać ze wzorem przekształcenia:

f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y )

Macierz przekształcenia

3. Niech V będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n,
W będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n−1.
Wyznaczymy macierz operatora różniczkowania D : V → W w
bazach {1, x , . . . , x

}, {1, x, . . . , x

n−1

A =










. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

n−1

. . .










Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v

}

n
k=1

, {w

}

p
j =1

, {u

}

i =1

Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy

h(v

) =

j =1

g (w

) =

i =1

więc

f (v

)

g (h(v

)) = g





j =1





j =1

i =1





j =1





i =1

Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v

}

n
k=1

, {w

}

p
j =1

, {u

}

i =1

Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy

h(v

) =

j =1

g (w

) =

i =1

więc

f (v

)

g (h(v

)) = g





j =1





j =1

i =1





j =1





i =1

Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v

}

n
k=1

, {w

}

p
j =1

, {u

}

i =1

Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy

h(v

) =

j =1

g (w

) =

i =1

więc

f (v

)

g (h(v

)) = g





j =1





j =1

i =1





j =1





i =1

Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v

}

n
k=1

, {w

}

p
j =1

, {u

}

i =1

Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy

h(v

) =

j =1

g (w

) =

i =1

więc

f (v

)

g (h(v

)) = g





j =1





j =1

i =1





j =1





i =1

Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v

}

n
k=1

, {w

}

p
j =1

, {u

}

i =1

Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy

h(v

) =

j =1

g (w

) =

i =1

więc

f (v

)

g (h(v

)) = g





j =1





j =1

i =1





j =1





i =1

Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v

}

n
k=1

, {w

}

p
j =1

, {u

}

i =1

Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy

h(v

) =

j =1

g (w

) =

i =1

więc

f (v

)

g (h(v

)) =





j =1





j =1

i =1





j =1





i =1

Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v

}

n
k=1

, {w

}

p
j =1

, {u

}

i =1

Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy

h(v

) =

j =1

g (w

) =

i =1

więc

f (v

)

g (h(v

)) = g





j =1





j =1

i =1





j =1





i =1

Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v

}

n
k=1

, {w

}

p
j =1

, {u

}

i =1

Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy

h(v

) =

j =1

g (w

) =

i =1

więc

f (v

)

g (h(v

)) = g





j =1





j =1

i =1





j =1





i =1

Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v

}

n
k=1

, {w

}

p
j =1

, {u

}

i =1

Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy

h(v

) =

j =1

g (w

) =

i =1

więc

f (v

)

g (h(v

)) = g





j =1





j =1

i =1





j =1





i =1

Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v

}

n
k=1

, {w

}

p
j =1

, {u

}

i =1

Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy

h(v

) =

j =1

g (w

) =

i =1

więc

f (v

)

g (h(v

)) = g





j =1





j =1

i =1





j =1





i =1

gdzie

j =1

(wzór na iloczyn macierzy!)

Zatem macierzą złożenia f = g ◦ h jest C = [c

] = BA.

Wniosek

Złożeniu przekształceń odpowiada iloczyn macierzy.

gdzie

j =1

(wzór na iloczyn macierzy!)
Zatem macierzą złożenia f = g ◦ h jest C = [c

] = BA.

Wniosek

Złożeniu przekształceń odpowiada iloczyn macierzy.

gdzie

j =1

(wzór na iloczyn macierzy!)
Zatem macierzą złożenia f = g ◦ h jest C = [c

] = BA.

Wniosek

Złożeniu przekształceń odpowiada iloczyn macierzy.

Przykład

Obliczyć A

100

, gdy

A =

√

−

√

Z równości (6) widać, że macierz A jest macierzą obrotu
płaszczyzny o kąt ϕ = π/4. Zatem macierzy A

100

odpowiada

stukrotne złożenie tego obrotu, czyli obrót o kąt 100ϕ = 25π.
Ponieważ cos(25π) = −1, sin(25π) = 0, więc znowu na mocy (6):

100

−1

Przykład

Obliczyć A

100

, gdy

A =

√

−

√

Z równości (6) widać, że macierz A jest macierzą obrotu
płaszczyzny o kąt ϕ = π/4.

Zatem macierzy A

100

odpowiada

stukrotne złożenie tego obrotu, czyli obrót o kąt 100ϕ = 25π.
Ponieważ cos(25π) = −1, sin(25π) = 0, więc znowu na mocy (6):

100

−1

Przykład

Obliczyć A

100

, gdy

A =

√

−

√

Z równości (6) widać, że macierz A jest macierzą obrotu
płaszczyzny o kąt ϕ = π/4. Zatem macierzy A

100

odpowiada

stukrotne złożenie tego obrotu, czyli obrót o kąt 100ϕ = 25π.

Ponieważ cos(25π) = −1, sin(25π) = 0, więc znowu na mocy (6):

100

−1

Przykład

Obliczyć A

100

, gdy

A =

√

−

√

Z równości (6) widać, że macierz A jest macierzą obrotu
płaszczyzny o kąt ϕ = π/4. Zatem macierzy A

100

odpowiada

stukrotne złożenie tego obrotu, czyli obrót o kąt 100ϕ = 25π.
Ponieważ cos(25π) = −1, sin(25π) = 0,

więc znowu na mocy (6):

100

−1

Przykład

Obliczyć A

100

, gdy

A =

√

−

√

Z równości (6) widać, że macierz A jest macierzą obrotu
płaszczyzny o kąt ϕ = π/4. Zatem macierzy A

100

odpowiada

stukrotne złożenie tego obrotu, czyli obrót o kąt 100ϕ = 25π.
Ponieważ cos(25π) = −1, sin(25π) = 0, więc znowu na mocy (6):

100

−1

Przekształcenie odwrotne

Niech f : V → V będzie przekształceniem liniowym. Jeżeli
g : V → V jest takie, że

f ◦ g = g ◦ f = id

to g nazywamy przekształceniem

odwrotnym

względem f i

piszemy g = f

−1

Np. przekształceniem odwrotnym do obrotu płaszczyzny o kąt ϕ
jest obrót o kąt −ϕ.

Przekształcenie odwrotne

Niech f : V → V będzie przekształceniem liniowym. Jeżeli
g : V → V jest takie, że

f ◦ g = g ◦ f = id

to g nazywamy przekształceniem

odwrotnym

względem f i

piszemy g = f

−1

Np. przekształceniem odwrotnym do obrotu płaszczyzny o kąt ϕ
jest obrót o kąt −ϕ.

Macierz odwrotna

Złożeniu przekształceń odpowiada iloczyn ich macierzy, więc jeśli
A jest macierzą f , a A

−1

macierzą f

−1

, to

−1

= A

−1

A = I.

(9)

Macierz A

−1

mającą własność (9) nazywamy

macierzą odwrotną

względem A.

Macierz odwrotna

Złożeniu przekształceń odpowiada iloczyn ich macierzy, więc jeśli
A jest macierzą f , a A

−1

macierzą f

−1

, to

−1

= A

−1

A = I.

(9)

Macierz A

−1

mającą własność (9) nazywamy

macierzą odwrotną

względem A.

Macierz odwrotna

Złożeniu przekształceń odpowiada iloczyn ich macierzy, więc jeśli
A jest macierzą f , a A

−1

macierzą f

−1

, to

−1

= A

−1

A = I.

(9)

Macierz A

−1

mającą własność (9) nazywamy

macierzą odwrotną

względem A.

Macierz odwrotna

Twierdzenie (Cauchy’ego)

Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia

det(AB) = det A · det B.

Po zastosowaniu twierdzenia Cauchy’ego do równości (9)
otrzymujemy:

det A · det A

−1

= det(AA

−1

) = det I = 1.

Wnosimy stąd, że macierz mająca macierz odwrotną musi być

nieosobliwa (det A 6= 0), oraz, że wyznacznik macierzy odwrotnej
jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej.

Macierz odwrotna

Twierdzenie (Cauchy’ego)

Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia

det(AB) = det A · det B.

Po zastosowaniu twierdzenia Cauchy’ego do równości (9)
otrzymujemy:

det A · det A

−1

det(AA

−1

) = det I = 1.

Wnosimy stąd, że macierz mająca macierz odwrotną musi być

nieosobliwa (det A 6= 0), oraz, że wyznacznik macierzy odwrotnej
jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej.

Macierz odwrotna

Twierdzenie (Cauchy’ego)

Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia

det(AB) = det A · det B.

Po zastosowaniu twierdzenia Cauchy’ego do równości (9)
otrzymujemy:

det A · det A

−1

= det(AA

−1

) =

det I = 1.

Wnosimy stąd, że macierz mająca macierz odwrotną musi być

nieosobliwa (det A 6= 0), oraz, że wyznacznik macierzy odwrotnej
jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej.

Macierz odwrotna

Twierdzenie (Cauchy’ego)

Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia

det(AB) = det A · det B.

Po zastosowaniu twierdzenia Cauchy’ego do równości (9)
otrzymujemy:

det A · det A

−1

= det(AA

−1

) = det I = 1.

Wnosimy stąd, że macierz mająca macierz odwrotną musi być

nieosobliwa (det A 6= 0), oraz, że wyznacznik macierzy odwrotnej
jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej.

Macierz odwrotna

Twierdzenie (Cauchy’ego)

Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia

det(AB) = det A · det B.

Po zastosowaniu twierdzenia Cauchy’ego do równości (9)
otrzymujemy:

det A · det A

−1

= det(AA

−1

) = det I = 1.

Wnosimy stąd, że macierz mająca macierz odwrotną musi być

nieosobliwa (det A 6= 0),

oraz, że wyznacznik macierzy odwrotnej

jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej.

Macierz odwrotna

Twierdzenie (Cauchy’ego)

Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia

det(AB) = det A · det B.

Po zastosowaniu twierdzenia Cauchy’ego do równości (9)
otrzymujemy:

det A · det A

−1

= det(AA

−1

) = det I = 1.

Wnosimy stąd, że macierz mająca macierz odwrotną musi być

nieosobliwa (det A 6= 0), oraz, że wyznacznik macierzy odwrotnej
jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej.

Macierz odwrotna

Macierz odwrotna iloczynu dwóch macierzy nieosobliwych jest
równa iloczynowi macierzy odwrotnych tych macierzy wziętych w
odwrotnej kolejności:

(AB)

−1

= B

−1

D o w ó d.

(AB)(B

−1

)

A(BB

−1

AIA

−1

= AA

−1

= I.

Macierz odwrotna

Macierz odwrotna iloczynu dwóch macierzy nieosobliwych jest
równa iloczynowi macierzy odwrotnych tych macierzy wziętych w
odwrotnej kolejności:

(AB)

−1

= B

−1

D o w ó d.

(AB)(B

−1

)

A(BB

−1

AIA

−1

= AA

−1

= I.

Macierz odwrotna

Macierz odwrotną możemy obliczyć dwoma sposobami.

Sposób 1. Zastosować wzór:

−1

det A








. . .








(10)

Wzór można sprawdzić, obliczając AA

−1

, bo element c

tego

iloczynu jest postaci:

Macierz odwrotna

Macierz odwrotną możemy obliczyć dwoma sposobami.

Sposób 1. Zastosować wzór:

−1

det A








. . .








(10)

Wzór można sprawdzić, obliczając AA

−1

, bo element c

tego

iloczynu jest postaci:

Macierz odwrotna

det A

k=1

a jak wiadomo:

k=1

(

dla

i 6= j

det A

dla

i = j

Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M

], zmieniamy znaki odpowiednich

elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A

], tę

macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.

macierz dołączona

= [A

], wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.

Macierz odwrotna

det A

k=1

a jak wiadomo:

k=1

(

dla

i 6= j

det A

dla

i = j

Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M

], zmieniamy znaki odpowiednich

elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A

], tę

macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.

macierz dołączona

= [A

], wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.

Macierz odwrotna

det A

k=1

a jak wiadomo:

k=1

(

dla

i 6= j

det A

dla

i = j

Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),

tworzymy macierz minorów [M

], zmieniamy znaki odpowiednich

elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A

], tę

macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.

macierz dołączona

= [A

], wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.

Macierz odwrotna

det A

k=1

a jak wiadomo:

k=1

(

dla

i 6= j

det A

dla

i = j

Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M

zmieniamy znaki odpowiednich

elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A

], tę

macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.

macierz dołączona

= [A

], wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.

Macierz odwrotna

det A

k=1

a jak wiadomo:

k=1

(

dla

i 6= j

det A

dla

i = j

Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M

], zmieniamy znaki odpowiednich

elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A

tę

macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.

macierz dołączona

= [A

], wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.

Macierz odwrotna

det A

k=1

a jak wiadomo:

k=1

(

dla

i 6= j

det A

dla

i = j

Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M

], zmieniamy znaki odpowiednich

elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A

], tę

macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.

macierz dołączona

= [A

wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.

Macierz odwrotna

det A

k=1

a jak wiadomo:

k=1

(

dla

i 6= j

det A

dla

i = j

Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M

], zmieniamy znaki odpowiednich

elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A

], tę

macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.

macierz dołączona

= [A

], wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.

Macierz odwrotna

Przykład
Znaleźć macierz odwrotną do macierzy

A =

Obliczamy det A = −7 i następnie

] =

−4

−3

−4

Zatem

−1

= −

−3

−4

Macierz odwrotna

Przykład
Znaleźć macierz odwrotną do macierzy

A =

Obliczamy det A = −7 i następnie

] =

−4

−3

−4

Zatem

−1

= −

−3

−4

Macierz odwrotna

Przykład
Znaleźć macierz odwrotną do macierzy

A =

Obliczamy det A = −7 i następnie

] =

−4

−3

−4

Zatem

−1

= −

−3

−4

Macierz odwrotna

Przykład
Znaleźć macierz odwrotną do macierzy

A =

Obliczamy det A = −7 i następnie

] =

−4

−3

−4

Zatem

−1

= −

−3

−4

Macierz odwrotna

Przykład
Znajdziemy odwrotność macierzy z poprzedniego przykładu.
Zapisujemy macierze A i I obok siebie; kolejne etapy
przekształcenia łączymy znakiem równoważności ∼:

∼

−7 −4 1

∼

−

5
7

3
7

4
7

−

1
7

Macierz odwrotna

Przykład
Znajdziemy odwrotność macierzy z poprzedniego przykładu.
Zapisujemy macierze A i I obok siebie; kolejne etapy
przekształcenia łączymy znakiem równoważności ∼:

∼

−7 −4 1

∼

−

5
7

3
7

4
7

−

1
7

Macierz odwrotna

Przykład
Znajdziemy odwrotność macierzy z poprzedniego przykładu.
Zapisujemy macierze A i I obok siebie; kolejne etapy
przekształcenia łączymy znakiem równoważności ∼:

∼

−7 −4 1

∼

−

5
7

3
7

4
7

−

1
7

Macierz odwrotna

Przykład
Znajdziemy odwrotność macierzy z poprzedniego przykładu.
Zapisujemy macierze A i I obok siebie; kolejne etapy
przekształcenia łączymy znakiem równoważności ∼:

∼

−7 −4 1

∼

−

5
7

3
7

4
7

−

1
7

Zadanie

Dane są macierze:

A =

−2

−1

, B =






−1






Jakim przekształceniom odpowiadają te macierze? Znaleźć
h = f

◦ f

. Wyznaczyć h

−1

Zadanie

Macierzy A odpowiada przekształcenie
f

: R

→ R

, f

(x , y , z) = (x + y − 2z, 3x − y + 2z),

a macierzy B odpowiada przekształcenie f

: R

→ R

(x , y ) = (2x − y , x + 2y , 2y ).

Złożenie możemy obliczyć bezpośrednio, ale lepiej obliczyć iloczyn
macierzy:

AB =

−3

−1

i stąd h : R

→ R

, h(x , y ) = (3x − 3y , 5x − y ).

Zadanie

Również h

−1

najlepiej wyznaczyć posługując się macierzą

odwrotną (którą można obliczyć dowolną metodą).

(AB)

−1

−

1
4

−

1
4

Zatem h

−1

: R

→ R

, h

−1

(x , y ) = (−

x +

1
4

y , −

x +

1
4

y ).

Zapis macierzowy układu

Układ równań:

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

ma zapis macierzowy:

AX = B,

(11)

gdzie A jest macierzą układu, X — jednokolumnową macierzą
niewiadomych, a B — jednokolumnową macierzą wyrazów
wolnych.

Równanie macierzowe

Rozważmy równanie AX = B, w którym X i B nie muszą być
jednokolumnowe — o macierzach występujących w tym równaniu
zakładamy tylko, że ich wymiary są takie, że równanie ma sens.

Jeżeli w równaniu (11) macierz A jest kwadratowa i nieosobliwa, to
mnożąc to równanie z lewej strony przez A

−1

, otrzymamy:

−1

AX = A

−1

czyli

X = A

−1

Analogicznie z równania:

XA = B

otrzymamy (mnożąc równanie z prawej strony przez A

−1

X = BA

−1

Równanie macierzowe

Rozważmy równanie AX = B, w którym X i B nie muszą być
jednokolumnowe — o macierzach występujących w tym równaniu
zakładamy tylko, że ich wymiary są takie, że równanie ma sens.
Jeżeli w równaniu (11) macierz A jest kwadratowa i nieosobliwa, to
mnożąc to równanie z lewej strony przez A

−1

otrzymamy:

−1

AX = A

−1

czyli

X = A

−1

Analogicznie z równania:

XA = B

otrzymamy (mnożąc równanie z prawej strony przez A

−1

X = BA

−1

Równanie macierzowe

−1

, otrzymamy:

−1

AX = A

−1

czyli

X = A

−1

Analogicznie z równania:

XA = B

otrzymamy (mnożąc równanie z prawej strony przez A

−1

X = BA

−1

Równanie macierzowe

−1

, otrzymamy:

−1

AX = A

−1

czyli

X = A

−1

Analogicznie z równania:

XA = B

otrzymamy (mnożąc równanie z prawej strony przez A

−1

X = BA

−1

Równanie macierzowe

−1

, otrzymamy:

−1

AX = A

−1

czyli

X = A

−1

Analogicznie z równania:

XA = B

otrzymamy (mnożąc równanie z prawej strony przez A

−1

X = BA

−1

Równanie macierzowe – przykład

Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:

A =

, B =

−2

−5

, C =

−1 3
−2 3

AX = C − B,

X = A

−1

(C − B).

Obliczamy:

C − B =

−2 5
−4 8

, A

−1

−2

−1

Zatem:

X =

−1

−2

Równanie macierzowe – przykład

Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:

A =

, B =

−2

−5

, C =

−1 3
−2 3

AX = C − B,

X = A

−1

(C − B).

Obliczamy:

C − B =

−2 5
−4 8

, A

−1

−2

−1

Zatem:

X =

−1

−2

Równanie macierzowe – przykład

Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:

A =

, B =

−2

−5

, C =

−1 3
−2 3

AX = C − B,

X = A

−1

(C − B).

Obliczamy:

C − B =

−2 5
−4 8

, A

−1

−2

−1

Zatem:

X =

−1

−2

Równanie macierzowe – przykład

Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:

A =

, B =

−2

−5

, C =

−1 3
−2 3

AX = C − B,

X = A

−1

(C − B).

Obliczamy:

C − B =

−2 5
−4 8

, A

−1

−2

−1

Zatem:

X =

−1

−2

Równanie macierzowe – przykład

Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:

A =

, B =

−2

−5

, C =

−1 3
−2 3

AX = C − B,

X = A

−1

(C − B).

Obliczamy:

C − B =

−2 5
−4 8

−1

−2

−1

Zatem:

X =

−1

−2

Równanie macierzowe – przykład

Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:

A =

, B =

−2

−5

, C =

−1 3
−2 3

AX = C − B,

X = A

−1

(C − B).

Obliczamy:

C − B =

−2 5
−4 8

, A

−1

−2

−1

Zatem:

X =

−1

−2

Równanie macierzowe – przykład

Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:

A =

, B =

−2

−5

, C =

−1 3
−2 3

AX = C − B,

X = A

−1

(C − B).

Obliczamy:

C − B =

−2 5
−4 8

, A

−1

−2

−1

Zatem:

X =

−1

−2

Równanie macierzowe – przykład

Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:

A =

, B =

−2

−5

, C =

−1 3
−2 3

AX = C − B,

X = A

−1

(C − B).

Obliczamy:

C − B =

−2 5
−4 8

, A

−1

−2

−1

Zatem:

X =

−1

−2

Niech V będzie przestrzenią liniową n-wymiarową i niech B = {v

}

i D = {w

} będą dwiema bazami tej przestrzeni.

Macierz przejścia

od bazy B do bazy D, P = [p

] określamy jako macierz

przekształcenia tożsamościowego id : V → V wyliczoną dla baz B
(w dziedzinie) i D (w przeciwdziedzinie). Jej j -tą kolumnę tworzą
współrzędne wektora v

w bazie w

, tj. mamy

i =1

dla j = 1, 2, . . . , n.

Jeśli trzeba zaakcentować bazy, to piszemy P

D←B

zamiast P.

Niech V będzie przestrzenią liniową n-wymiarową i niech B = {v

}

i D = {w

} będą dwiema bazami tej przestrzeni.

Macierz przejścia

od bazy B do bazy D, P = [p

] określamy jako macierz

przekształcenia tożsamościowego id : V → V wyliczoną dla baz B
(w dziedzinie) i D (w przeciwdziedzinie).

Jej j -tą kolumnę tworzą

współrzędne wektora v

w bazie w

, tj. mamy

i =1

dla j = 1, 2, . . . , n.

Jeśli trzeba zaakcentować bazy, to piszemy P

D←B

zamiast P.

Niech V będzie przestrzenią liniową n-wymiarową i niech B = {v

}

i D = {w

} będą dwiema bazami tej przestrzeni.

Macierz przejścia

od bazy B do bazy D, P = [p

] określamy jako macierz

przekształcenia tożsamościowego id : V → V wyliczoną dla baz B
(w dziedzinie) i D (w przeciwdziedzinie). Jej j -tą kolumnę tworzą
współrzędne wektora v

w bazie w

tj. mamy

i =1

dla j = 1, 2, . . . , n.

Jeśli trzeba zaakcentować bazy, to piszemy P

D←B

zamiast P.

Niech V będzie przestrzenią liniową n-wymiarową i niech B = {v

}

i D = {w

} będą dwiema bazami tej przestrzeni.

Macierz przejścia

od bazy B do bazy D, P = [p

] określamy jako macierz

przekształcenia tożsamościowego id : V → V wyliczoną dla baz B
(w dziedzinie) i D (w przeciwdziedzinie). Jej j -tą kolumnę tworzą
współrzędne wektora v

w bazie w

, tj. mamy

i =1

dla j = 1, 2, . . . , n.

Jeśli trzeba zaakcentować bazy, to piszemy P

D←B

zamiast P.

Niech V będzie przestrzenią liniową n-wymiarową i niech B = {v

}

i D = {w

} będą dwiema bazami tej przestrzeni.

Macierz przejścia

od bazy B do bazy D, P = [p

] określamy jako macierz

przekształcenia tożsamościowego id : V → V wyliczoną dla baz B
(w dziedzinie) i D (w przeciwdziedzinie). Jej j -tą kolumnę tworzą
współrzędne wektora v

w bazie w

, tj. mamy

i =1

dla j = 1, 2, . . . , n.

Jeśli trzeba zaakcentować bazy, to piszemy P

D←B

zamiast P.

Przykład
Rozważmy bazy

B = {(1, 0), (1, 1)},

D = {(1, −1), (1, 1)}

w przestrzeni R

. Ponieważ

(1, 0) =

(1, −1) +

(1, 1),

(1, 1) = 0 · (1, −1) + 1 · (1, 1),

więc

P =

1
2

Twierdzenie

Jeżeli B i D są dwiema bazami przestrzeni liniowej V i jeśli P jest
macierzą przejścia od bazy B do bazy D, to dla dowolnego v ∈ V :

T
D

= Pv

T
B

gdzie v

T
B

i v

T
D

oznaczają jednokolumnowe macierze współrzędnych

wektora v w bazach B i D odpowiednio.

Twierdzenie

Jeżeli B, D i F są bazami przestrzeni liniowej V , to

B←D

= (P

D←B

)

−1

F ←D

D←B

= P

F ←B

A więc, jeśli przejście od B do D realizuje się macierzą P, to
przejście odwrotne — macierzą P

−1

. Jeśli znamy macierze P

i P

przejść od B do D i od D do F , to przejście od B do F realizuje
się macierzą P

Twierdzenie

Jeżeli B, D i F są bazami przestrzeni liniowej V , to

B←D

= (P

D←B

)

−1

F ←D

D←B

= P

F ←B

A więc, jeśli przejście od B do D realizuje się macierzą P, to
przejście odwrotne — macierzą P

−1

Jeśli znamy macierze P

i P

przejść od B do D i od D do F , to przejście od B do F realizuje
się macierzą P

Twierdzenie

Jeżeli B, D i F są bazami przestrzeni liniowej V , to

B←D

= (P

D←B

)

−1

F ←D

D←B

= P

F ←B

A więc, jeśli przejście od B do D realizuje się macierzą P, to
przejście odwrotne — macierzą P

−1

. Jeśli znamy macierze P

i P

przejść od B do D i od D do F , to przejście od B do F realizuje
się macierzą P

Przykład

1. Znaleźć macierz przejścia od B = {(0, −1), (2, 1)} do
D = {(0, 1), (1, 1)} i sprawdzić równość v

T
D

= Pv

T
B

dla

v = (−3, 5).

Macierze przejścia od B do S i od D do S (S — baza
standardowa):

S←B

−1 1

S←D

Z poprzedniego twierdzenia:

D←B

= (P

S←D

)

−1

S←B

−1 −1

Przykład

1. Znaleźć macierz przejścia od B = {(0, −1), (2, 1)} do
D = {(0, 1), (1, 1)} i sprawdzić równość v

T
D

= Pv

T
B

dla

v = (−3, 5).
Macierze przejścia od B do S i od D do S (S — baza
standardowa):

S←B

−1 1

S←D

Z poprzedniego twierdzenia:

D←B

= (P

S←D

)

−1

S←B

−1 −1

Przykład

1. Znaleźć macierz przejścia od B = {(0, −1), (2, 1)} do
D = {(0, 1), (1, 1)} i sprawdzić równość v

T
D

= Pv

T
B

dla

v = (−3, 5).
Macierze przejścia od B do S i od D do S (S — baza
standardowa):

S←B

−1 1

S←D

Z poprzedniego twierdzenia:

D←B

= (P

S←D

)

−1

S←B

−1 −1

Przykład

Mamy także:

v = (−3, 5) = −

(0, −1) −

(2, 1),

v = (−3, 5) = 8(0, 1) − 3(1, 1),

czyli:

T
B

= −

T
D

8
3

Po obliczeniu Pv

otrzymamy v

Przykład

Mamy także:

v = (−3, 5) = −

(0, −1) −

(2, 1),

v = (−3, 5) = 8(0, 1) − 3(1, 1),

czyli:

T
B

= −

T
D

8
3

Po obliczeniu Pv

otrzymamy v

Przykład

Mamy także:

v = (−3, 5) = −

(0, −1) −

(2, 1),

v = (−3, 5) = 8(0, 1) − 3(1, 1),

czyli:

T
B

= −

T
D

8
3

Po obliczeniu Pv

otrzymamy v

Przykład

Mamy także:

v = (−3, 5) = −

(0, −1) −

(2, 1),

v = (−3, 5) = 8(0, 1) − 3(1, 1),

czyli:

T
B

= −

T
D

8
3

Po obliczeniu Pv

otrzymamy v

Przykład

Znaleźć współrzędne wektora u = (2, 3, −1) w bazie

D = {(1, 3, 7), (2, 5, 0), (−1, 2, −1)}.

Macierz:

Q =






−1






jest macierzą przejścia od bazy D do bazy standardowej. Zatem
macierzą przejścia od bazy B do D będzie:

P = Q

−1






−5

−35 14 −1






Przykład

Obliczamy:

P ·






2
3

−1











−13

−27






Współrzędnymi u w bazie D są (−

13
64

57
64

, −

27
64

1. Rzutowanie przestrzeni R

na płaszczyznę Oxy jest

przekształceniem rzędu 2; jego jądrem jest oś Oz, a obrazem
płaszczyzna Oxy .
2. Niech f : R

→ R

f (x , y , z) = (3x − y + 2z, 4x + y + 3z, x + 2y + z). Aby znaleźć
jądro rozwiązujemy układ:

3x − y + 2z = 0, 4x + y + 3z = 0, x + 2y + z = 0.

ker f = {α(5, 1, −7); α ∈ R}

Obraz jest generowany przez wektory f (1, 0, 0) = (1, 3, 4),
f (0, 1, 0) = (2, −1, 1), f (0, 0, 1) = (1, 2, 3). Są one liniowo zależne;
bazę obrazu tworzą np. dowolne dwa z nich.

2. Operator różniczkowania D : W

→ W

jest przekształceniem

rzędu n; jego jądrem jest przestrzeń wielomianów stopnia 0
(stałych), a obrazem — przestrzeń wielomianów stopnia co
najwyżej n − 1.

Ogólniej, jeśli D

oznacza operator k-krotnego różniczkowania, to

mamy następującą tabelę:

Operator

Jądro

Obraz

Rząd

n−1

n−2

n − 1

. . .

n−1

n+1

{0}

2. Operator różniczkowania D : W

→ W

jest przekształceniem

rzędu n; jego jądrem jest przestrzeń wielomianów stopnia 0
(stałych), a obrazem — przestrzeń wielomianów stopnia co
najwyżej n − 1.
Ogólniej, jeśli D

oznacza operator k-krotnego różniczkowania, to

mamy następującą tabelę:

Operator

Jądro

Obraz

Rząd

n−1

n−2

n − 1

. . .

n−1

n+1

{0}