Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Treść wykładu
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przejścia.
Jądro i obraz przekształcenia.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym
ciałem K.
Definicja
Przekształceniem liniowym
f : V → W nazywamy
przekształcenie spełniające warunek:
f (λv + ηw) = λf (v) + ηf (w)
dla λ, η ∈ K, v, w ∈ V .
(1)
Równoważnie:
f
n
X
i =1
λ
i
v
i
!
=
n
X
i =1
λ
i
f (v
i
)
dla λ
i
∈ K, v
i
∈ V .
(2)
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym
ciałem K.
Definicja
Przekształceniem liniowym
f : V → W nazywamy
przekształcenie spełniające warunek:
f (λv + ηw) = λf (v) + ηf (w)
dla λ, η ∈ K, v, w ∈ V .
(1)
Równoważnie:
f
n
X
i =1
λ
i
v
i
!
=
n
X
i =1
λ
i
f (v
i
)
dla λ
i
∈ K, v
i
∈ V .
(2)
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym
ciałem K.
Definicja
Przekształceniem liniowym
f : V → W nazywamy
przekształcenie spełniające warunek:
f (λv + ηw) = λf (v) + ηf (w)
dla λ, η ∈ K, v, w ∈ V .
(1)
Równoważnie:
f
n
X
i =1
λ
i
v
i
!
=
n
X
i =1
λ
i
f (v
i
)
dla λ
i
∈ K, v
i
∈ V .
(2)
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Warunek (1) jest równoważny układowi warunków:
f (v + w)
=
f (v) + f (w)
v, w ∈ V ,
(3)
f (λv)
=
λf (v)
λ ∈ K, v ∈ V .
(4)
Pierwszy z nich nazywa się warunkiem
addytywności
, a drugi —
jednorodności
. Przekształcenia liniowe nazywa się też
operatorami
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Warunek (1) jest równoważny układowi warunków:
f (v + w)
=
f (v) + f (w)
v, w ∈ V ,
(3)
f (λv)
=
λf (v)
λ ∈ K, v ∈ V .
(4)
Pierwszy z nich nazywa się warunkiem
addytywności
, a drugi —
jednorodności
. Przekształcenia liniowe nazywa się też
operatorami
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Warunek (1) jest równoważny układowi warunków:
f (v + w)
=
f (v) + f (w)
v, w ∈ V ,
(3)
f (λv)
=
λf (v)
λ ∈ K, v ∈ V .
(4)
Pierwszy z nich nazywa się warunkiem
addytywności
, a drugi —
jednorodności
. Przekształcenia liniowe nazywa się też
operatorami
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
Przykłady
1. W tym przykładzie zarówno V , jak i W będzie płaszczyzną,
traktowaną jako zbiór wektorów zaczepionych w początku układu
współrzędnych. Niech f oznacza obrót płaszczyzny dokoła
ustalonego punktu o ustalony kąt.
Wiadomo, że wtedy sumie
wektorów odpowiada suma ich obrazów (czyli przekształcenie jest
addytywne) oraz że jeśli wektor pomnożymy przez liczbę, to jego
obraz także należy pomnożyć przez tę liczbę (zatem f jest
jednorodne).
2. Rozważmy obrót przestrzeni dokoła pewnej osi o ustalony kąt.
Tak jak poprzednie przekształcenie, to także jest liniowe.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
Przykłady
1. W tym przykładzie zarówno V , jak i W będzie płaszczyzną,
traktowaną jako zbiór wektorów zaczepionych w początku układu
współrzędnych. Niech f oznacza obrót płaszczyzny dokoła
ustalonego punktu o ustalony kąt. Wiadomo, że wtedy sumie
wektorów odpowiada suma ich obrazów (czyli przekształcenie jest
addytywne) oraz że jeśli wektor pomnożymy przez liczbę, to jego
obraz także należy pomnożyć przez tę liczbę (zatem f jest
jednorodne).
2. Rozważmy obrót przestrzeni dokoła pewnej osi o ustalony kąt.
Tak jak poprzednie przekształcenie, to także jest liniowe.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
Przykłady
1. W tym przykładzie zarówno V , jak i W będzie płaszczyzną,
traktowaną jako zbiór wektorów zaczepionych w początku układu
współrzędnych. Niech f oznacza obrót płaszczyzny dokoła
ustalonego punktu o ustalony kąt. Wiadomo, że wtedy sumie
wektorów odpowiada suma ich obrazów (czyli przekształcenie jest
addytywne) oraz że jeśli wektor pomnożymy przez liczbę, to jego
obraz także należy pomnożyć przez tę liczbę (zatem f jest
jednorodne).
2. Rozważmy obrót przestrzeni dokoła pewnej osi o ustalony kąt.
Tak jak poprzednie przekształcenie, to także jest liniowe.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
3. Niech V będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n,
a W — przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n−1.
Rozważymy
operator różniczkowania
D : V → W
przyporządkowujący wielomianowi jego pochodną.
Ponieważ dla
dowolnych wielomianów p(x ) i q(x ) mamy:
D(p(x )+q(x )) = (p(x )+q(x ))
0
= p
0
(x )+q
0
(x ) = D(p(x ))+D(q(x ))
oraz
D(cp(x ) = (cp(x ))
0
= cp
0
(x ) = cD(p(x )),
więc operator różniczkowania jest liniowy.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
3. Niech V będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n,
a W — przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n−1.
Rozważymy
operator różniczkowania
D : V → W
przyporządkowujący wielomianowi jego pochodną. Ponieważ dla
dowolnych wielomianów p(x ) i q(x ) mamy:
D(p(x )+q(x )) = (p(x )+q(x ))
0
= p
0
(x )+q
0
(x ) = D(p(x ))+D(q(x ))
oraz
D(cp(x ) = (cp(x ))
0
= cp
0
(x ) = cD(p(x )),
więc operator różniczkowania jest liniowy.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
3. Niech V będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n,
a W — przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n−1.
Rozważymy
operator różniczkowania
D : V → W
przyporządkowujący wielomianowi jego pochodną. Ponieważ dla
dowolnych wielomianów p(x ) i q(x ) mamy:
D(p(x )+q(x )) = (p(x )+q(x ))
0
= p
0
(x )+q
0
(x ) = D(p(x ))+D(q(x ))
oraz
D(cp(x ) = (cp(x ))
0
= cp
0
(x ) = cD(p(x )),
więc operator różniczkowania jest liniowy.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
4. Niech V = W = C (0, 1). Operator
f (x ) 7→
Z
x
0
f (t) dt
jest liniowy, bo
Z
x
0
(f (t)+g (t) dt =
Z
x
0
f (t) dt+
Z
x
0
g (t) dt ,
Z
x
0
cf (t) dt = c
Z
x
0
f (t) dt.
5. Analogicznie, operator całkowania f (x ) 7→
R
1
0
f (t) dt
odwzorowujący C (0, 1) w R jest liniowy.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
6. Jeżeli V jest przestrzenią ciągów zbieżnych, W = R i dla
dowolnego (a
n
) określimy
L((a
n
)) = lim
n→∞
a
n
to otrzymamy przekształcenie liniowe L : V → R
bo wiadomo, że
lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = lim
n→∞
a
n
+ lim
n→∞
b
n
oraz
lim
n→∞
ca
n
= c lim
n→∞
a
n
).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
6. Jeżeli V jest przestrzenią ciągów zbieżnych, W = R i dla
dowolnego (a
n
) określimy
L((a
n
)) = lim
n→∞
a
n
to otrzymamy przekształcenie liniowe L : V → R bo wiadomo, że
lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = lim
n→∞
a
n
+ lim
n→∞
b
n
oraz
lim
n→∞
ca
n
= c lim
n→∞
a
n
).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
7. Niech A będzie macierzą typu m × n, V = R
n
, W = R
m
.
Przekształcenie f : V → W określone wzorem
f (X) = A · X,
gdzie X oznacza wektor przestrzeni V traktowany jako macierz
jednokolumnowa, jest liniowe.
Wynika to z własności iloczynu macierzy:
A · cX = cA · X
A · X
1
+ X
2
= A · X
1
+ A · X
2
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
7. Niech A będzie macierzą typu m × n, V = R
n
, W = R
m
.
Przekształcenie f : V → W określone wzorem
f (X) = A · X,
gdzie X oznacza wektor przestrzeni V traktowany jako macierz
jednokolumnowa, jest liniowe.
Wynika to z własności iloczynu macierzy:
A · cX = cA · X
A · X
1
+ X
2
= A · X
1
+ A · X
2
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
7. Niech A będzie macierzą typu m × n, V = R
n
, W = R
m
.
Przekształcenie f : V → W określone wzorem
f (X) = A · X,
gdzie X oznacza wektor przestrzeni V traktowany jako macierz
jednokolumnowa, jest liniowe.
Wynika to z własności iloczynu macierzy:
A · cX = cA · X
A · X
1
+ X
2
= A · X
1
+ A · X
2
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
8. Wśród przekształceń V → V na pewno dwa są liniowe:
przekształcenie tożsamościowe
id , określone wzorem id (v) = v,
oraz przekształcenie zerowe 0, 0(v) = 0.
Jeśli v
0
6= 0 jest ustalonym wektorem, to
przekształcenie stałe
f ,
f (v) = v
0
nie jest
liniowe, bo nie jest addytywne: f (v + w) = v
0
,
ale f (v) + f (w) = 2v
0
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykłady przekształceń liniowych
8. Wśród przekształceń V → V na pewno dwa są liniowe:
przekształcenie tożsamościowe
id , określone wzorem id (v) = v,
oraz przekształcenie zerowe 0, 0(v) = 0.
Jeśli v
0
6= 0 jest ustalonym wektorem, to
przekształcenie stałe
f ,
f (v) = v
0
nie jest
liniowe, bo nie jest addytywne: f (v + w) = v
0
,
ale f (v) + f (w) = 2v
0
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
W dalszym ciągu będziemy zakładać, że przestrzenie V i W są
skończenie wymiarowe.
Z przykładu 7 wynika, że każda macierz określa przekształcenie
liniowe. Jest także na odwrót — każde przekształcenie liniowe
wyznacza pewną macierz.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Twierdzenie
Jeżeli v
1
, . . . , v
n
stanowią jakąkolwiek bazę przestrzeni liniowej V i
w
1
, . . . , w
n
są dowolnymi wektorami przestrzeni W , to istnieje
dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : V → W takie, że
f (v
i
) = w
i
dla i = 1, . . . , n.
Przekształcenie to jest określone
wzorem:
f
n
X
i =1
λ
i
v
i
!
=
n
X
i =1
λ
i
w
i
.
(5)
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Twierdzenie
Jeżeli v
1
, . . . , v
n
stanowią jakąkolwiek bazę przestrzeni liniowej V i
w
1
, . . . , w
n
są dowolnymi wektorami przestrzeni W , to istnieje
dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : V → W takie, że
f (v
i
) = w
i
dla i = 1, . . . , n. Przekształcenie to jest określone
wzorem:
f
n
X
i =1
λ
i
v
i
!
=
n
X
i =1
λ
i
w
i
.
(5)
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
D o w ó d. Wzór (5) określa wartość przekształcenia f dla
dowolnego wektora v ∈ V , bo wektor v ma jednoznaczne
przedstawienie w bazie v
1
, . . . , v
n
.
Dla wektorów v =
P
n
i =1
λ
i
v
i
i
u =
P
n
i =1
η
i
v
i
mamy:
f (αv + βu)
=
f (α
P
n
i =1
λ
i
v
i
+ β
P
n
i =1
η
i
v
i
) = f (
P
n
i =1
(αλ
i
+ βη
i
)v
i
) =
=
P
(αλ
i
+ βη
i
)w
i
= α
P
n
i =1
λ
i
w
i
+ β
P
n
i =1
η
i
w
i
=
=
αf (v) + βf (u).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
D o w ó d. Wzór (5) określa wartość przekształcenia f dla
dowolnego wektora v ∈ V , bo wektor v ma jednoznaczne
przedstawienie w bazie v
1
, . . . , v
n
. Dla wektorów v =
P
n
i =1
λ
i
v
i
i
u =
P
n
i =1
η
i
v
i
mamy:
f (αv + βu)
=
f (α
P
n
i =1
λ
i
v
i
+ β
P
n
i =1
η
i
v
i
) = f (
P
n
i =1
(αλ
i
+ βη
i
)v
i
) =
=
P
(αλ
i
+ βη
i
)w
i
= α
P
n
i =1
λ
i
w
i
+ β
P
n
i =1
η
i
w
i
=
=
αf (v) + βf (u).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
Jeżeli w W mamy bazę {u
1
, . . . , u
m
}, to każdy z wektorów w
j
,
j = 1, . . . , n można wyrazić za pomocą współrzędnych, tj.
f (v
j
) = w
j
=
m
X
i =1
a
ij
u
i
= (a
1j
, a
2j
, . . . , a
mj
).
Z liczb a
ij
można utworzyć macierz A = [a
ij
] typu m × n, którą
nazwiemy macierzą przekształcenia liniowego f w bazach {v
j
} i
{u
i
}.
j -tą kolumnę tej macierzy stanowią współrzędne wektora
f (v
j
) = u
j
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
Jeżeli w W mamy bazę {u
1
, . . . , u
m
}, to każdy z wektorów w
j
,
j = 1, . . . , n można wyrazić za pomocą współrzędnych, tj.
f (v
j
) = w
j
=
m
X
i =1
a
ij
u
i
= (a
1j
, a
2j
, . . . , a
mj
).
Z liczb a
ij
można utworzyć macierz A = [a
ij
] typu m × n, którą
nazwiemy macierzą przekształcenia liniowego f w bazach {v
j
} i
{u
i
}.
j -tą kolumnę tej macierzy stanowią współrzędne wektora
f (v
j
) = u
j
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
Jeżeli w W mamy bazę {u
1
, . . . , u
m
}, to każdy z wektorów w
j
,
j = 1, . . . , n można wyrazić za pomocą współrzędnych, tj.
f (v
j
) = w
j
=
m
X
i =1
a
ij
u
i
= (a
1j
, a
2j
, . . . , a
mj
).
Z liczb a
ij
można utworzyć macierz A = [a
ij
] typu m × n, którą
nazwiemy macierzą przekształcenia liniowego f w bazach {v
j
} i
{u
i
}.
j -tą kolumnę tej macierzy stanowią współrzędne wektora
f (v
j
) = u
j
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
Twierdzenie
Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie pomiędzy
przekształceniami liniowymi f : V → W a macierzami A = [a
ij
]
typu m × n o wyrazach z ciała K.
Jeżeli dane jest f , to
odpowiadająca mu macierz A jest macierzą, której j -ta kolumna
składa się ze współrzędnych wektora f (v
j
); jeśli dana jest macierz
A = [a
ij
], to f jest jedynym przekształceniem liniowym
przeprowadzającym każdy wektor bazy {v
j
} przestrzeni V na j-tą
kolumnę (a
1j
, a
2j
, . . . , a
mj
) macierzy A.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
Twierdzenie
Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie pomiędzy
przekształceniami liniowymi f : V → W a macierzami A = [a
ij
]
typu m × n o wyrazach z ciała K. Jeżeli dane jest f , to
odpowiadająca mu macierz A jest macierzą, której j -ta kolumna
składa się ze współrzędnych wektora f (v
j
);
jeśli dana jest macierz
A = [a
ij
], to f jest jedynym przekształceniem liniowym
przeprowadzającym każdy wektor bazy {v
j
} przestrzeni V na j-tą
kolumnę (a
1j
, a
2j
, . . . , a
mj
) macierzy A.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
Twierdzenie
Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie pomiędzy
przekształceniami liniowymi f : V → W a macierzami A = [a
ij
]
typu m × n o wyrazach z ciała K. Jeżeli dane jest f , to
odpowiadająca mu macierz A jest macierzą, której j -ta kolumna
składa się ze współrzędnych wektora f (v
j
); jeśli dana jest macierz
A = [a
ij
], to f jest jedynym przekształceniem liniowym
przeprowadzającym każdy wektor bazy {v
j
} przestrzeni V na j-tą
kolumnę (a
1j
, a
2j
, . . . , a
mj
) macierzy A.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
Przykłady
1. Niech V = W = R
2
, niech f : V → W będzie obrotem
płaszczyzny dokoła początku układu o ustalony kąt ϕ. Jeżeli w obu
przestrzeniach rozpatrujemy bazy kanoniczne, to
f (e
1
) = (cos ϕ, sin ϕ), f (e
2
) = (− sin ϕ, cos ϕ). Zatem macierz
obrotu ma postać:
A =
"
cos ϕ
− sin ϕ
sin ϕ
cos ϕ
#
.
(6)
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
Tej macierzy można używać do obliczania wartości przekształcenia.
Jeśli v = (x , y ), f (v) = (x
0
, y
0
), to ponieważ f (v) = Av
T
, więc
"
cos ϕ
− sin ϕ
sin ϕ
cos ϕ
#
·
"
x
y
#
=
"
x
0
y
0
#
,
czyli
x
0
=
x cos ϕ − y sin ϕ,
(7)
y
0
=
x sin ϕ + y cos ϕ.
(8)
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
Tej macierzy można używać do obliczania wartości przekształcenia.
Jeśli v = (x , y ), f (v) = (x
0
, y
0
), to ponieważ f (v) = Av
T
, więc
"
cos ϕ
− sin ϕ
sin ϕ
cos ϕ
#
·
"
x
y
#
=
"
x
0
y
0
#
,
czyli
x
0
=
x cos ϕ − y sin ϕ,
(7)
y
0
=
x sin ϕ + y cos ϕ.
(8)
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
2. Niech f : R
3
→ R
3
będzie przekształceniem określonym wzorem
f (x , y , z) = (x , y , 0).
Geometrycznie można to przekształcenie interpretować jako
rzutowanie przestrzeni na płaszczyznę Oxy .
W bazach
standardowych jego macierzą jest
A =
1
0
0
0
1
0
0
0
0
.
Zmiana baz, np. na bazę (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1) (w obu
przestrzeniach) skutkuje zmianą macierzy:
A =
1
0
1
0
1
1
0
0
0
.
Baza w przestrzeni V nie musi być identyczna z bazą w przestrzeni
W .
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
2. Niech f : R
3
→ R
3
będzie przekształceniem określonym wzorem
f (x , y , z) = (x , y , 0).
Geometrycznie można to przekształcenie interpretować jako
rzutowanie przestrzeni na płaszczyznę Oxy . W bazach
standardowych jego macierzą jest
A =
1
0
0
0
1
0
0
0
0
.
Zmiana baz, np. na bazę (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1) (w obu
przestrzeniach) skutkuje zmianą macierzy:
A =
1
0
1
0
1
1
0
0
0
.
Baza w przestrzeni V nie musi być identyczna z bazą w przestrzeni
W .
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
2. Niech f : R
3
→ R
3
będzie przekształceniem określonym wzorem
f (x , y , z) = (x , y , 0).
Geometrycznie można to przekształcenie interpretować jako
rzutowanie przestrzeni na płaszczyznę Oxy . W bazach
standardowych jego macierzą jest
A =
1
0
0
0
1
0
0
0
0
.
Zmiana baz, np. na bazę (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1) (w obu
przestrzeniach) skutkuje zmianą macierzy:
A =
1
0
1
0
1
1
0
0
0
.
Baza w przestrzeni V nie musi być identyczna z bazą w przestrzeni
W .
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Sprawdzić, że f : R
2
→ R
3
, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest
liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v
1
= (x
1
, y
1
), v
2
= (x
2
, y
2
). Wtedy
v
1
+ v
2
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
), więc
f (v
1
+ v
2
)
=
f (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
) =
=
(3(x
1
+ x
2
) − (y
1
+ y
2
), 4(x
1
+ x
2
) + y
1
+ y
2
, 5(y
1
+ y
2
)) =
=
(3x
1
− y
1
, 4x
1
+ y
1
, 5y
1
) + (3x
2
− y
2
, 4x
2
+ y
2
, 5y
2
) =
=
f (v
1
) + f (v
2
)
f (αv)
=
f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =
=
α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Sprawdzić, że f : R
2
→ R
3
, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest
liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v
1
= (x
1
, y
1
), v
2
= (x
2
, y
2
). Wtedy
v
1
+ v
2
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
), więc
f (v
1
+ v
2
)
=
f (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
) =
=
(3(x
1
+ x
2
) − (y
1
+ y
2
), 4(x
1
+ x
2
) + y
1
+ y
2
, 5(y
1
+ y
2
)) =
=
(3x
1
− y
1
, 4x
1
+ y
1
, 5y
1
) + (3x
2
− y
2
, 4x
2
+ y
2
, 5y
2
) =
=
f (v
1
) + f (v
2
)
f (αv)
=
f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =
=
α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Sprawdzić, że f : R
2
→ R
3
, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest
liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v
1
= (x
1
, y
1
), v
2
= (x
2
, y
2
). Wtedy
v
1
+ v
2
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
), więc
f (v
1
+ v
2
)
=
f (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
) =
=
(3(x
1
+ x
2
) − (y
1
+ y
2
), 4(x
1
+ x
2
) + y
1
+ y
2
, 5(y
1
+ y
2
)) =
=
(3x
1
− y
1
, 4x
1
+ y
1
, 5y
1
) + (3x
2
− y
2
, 4x
2
+ y
2
, 5y
2
) =
=
f (v
1
) + f (v
2
)
f (αv)
=
f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =
=
α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Sprawdzić, że f : R
2
→ R
3
, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest
liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v
1
= (x
1
, y
1
), v
2
= (x
2
, y
2
). Wtedy
v
1
+ v
2
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
), więc
f (v
1
+ v
2
)
=
f (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
) =
=
(3(x
1
+ x
2
) − (y
1
+ y
2
), 4(x
1
+ x
2
) + y
1
+ y
2
, 5(y
1
+ y
2
)) =
=
(3x
1
− y
1
, 4x
1
+ y
1
, 5y
1
) + (3x
2
− y
2
, 4x
2
+ y
2
, 5y
2
) =
=
f (v
1
) + f (v
2
)
f (αv)
=
f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =
=
α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Sprawdzić, że f : R
2
→ R
3
, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest
liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v
1
= (x
1
, y
1
), v
2
= (x
2
, y
2
). Wtedy
v
1
+ v
2
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
), więc
f (v
1
+ v
2
)
=
f (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
) =
=
(3(x
1
+ x
2
) − (y
1
+ y
2
), 4(x
1
+ x
2
) + y
1
+ y
2
, 5(y
1
+ y
2
)) =
=
(3x
1
− y
1
, 4x
1
+ y
1
, 5y
1
) + (3x
2
− y
2
, 4x
2
+ y
2
, 5y
2
) =
=
f (v
1
) + f (v
2
)
f (αv)
=
f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =
=
α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Sprawdzić, że f : R
2
→ R
3
, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest
liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v
1
= (x
1
, y
1
), v
2
= (x
2
, y
2
). Wtedy
v
1
+ v
2
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
), więc
f (v
1
+ v
2
)
=
f (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
) =
=
(3(x
1
+ x
2
) − (y
1
+ y
2
), 4(x
1
+ x
2
) + y
1
+ y
2
, 5(y
1
+ y
2
)) =
=
(3x
1
− y
1
, 4x
1
+ y
1
, 5y
1
) + (3x
2
− y
2
, 4x
2
+ y
2
, 5y
2
) =
=
f (v
1
) + f (v
2
)
f (αv)
=
f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =
=
α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Sprawdzić, że f : R
2
→ R
3
, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest
liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v
1
= (x
1
, y
1
), v
2
= (x
2
, y
2
). Wtedy
v
1
+ v
2
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
), więc
f (v
1
+ v
2
)
=
f (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
) =
=
(3(x
1
+ x
2
) − (y
1
+ y
2
), 4(x
1
+ x
2
) + y
1
+ y
2
, 5(y
1
+ y
2
)) =
=
(3x
1
− y
1
, 4x
1
+ y
1
, 5y
1
) + (3x
2
− y
2
, 4x
2
+ y
2
, 5y
2
) =
=
f (v
1
) + f (v
2
)
f (αv)
=
f (αx , αy ) =
(3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =
=
α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Sprawdzić, że f : R
2
→ R
3
, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest
liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v
1
= (x
1
, y
1
), v
2
= (x
2
, y
2
). Wtedy
v
1
+ v
2
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
), więc
f (v
1
+ v
2
)
=
f (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
) =
=
(3(x
1
+ x
2
) − (y
1
+ y
2
), 4(x
1
+ x
2
) + y
1
+ y
2
, 5(y
1
+ y
2
)) =
=
(3x
1
− y
1
, 4x
1
+ y
1
, 5y
1
) + (3x
2
− y
2
, 4x
2
+ y
2
, 5y
2
) =
=
f (v
1
) + f (v
2
)
f (αv)
=
f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =
=
α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Sprawdzić, że f : R
2
→ R
3
, f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y ) jest
liniowe i napisać jego macierz w bazach standardowych.
Niech v
1
= (x
1
, y
1
), v
2
= (x
2
, y
2
). Wtedy
v
1
+ v
2
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
), więc
f (v
1
+ v
2
)
=
f (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
) =
=
(3(x
1
+ x
2
) − (y
1
+ y
2
), 4(x
1
+ x
2
) + y
1
+ y
2
, 5(y
1
+ y
2
)) =
=
(3x
1
− y
1
, 4x
1
+ y
1
, 5y
1
) + (3x
2
− y
2
, 4x
2
+ y
2
, 5y
2
) =
=
f (v
1
) + f (v
2
)
f (αv)
=
f (αx , αy ) = (3αx − αy , 4αx + αy , αy ) =
=
α(3x − y , 4x + y , 5y ) = αf (v).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Ponieważ f (1, 0) = (3, 4, 0) i f (0, 1) = (−1, 1, 5), więc macierzą
przekształcenia jest:
A =
3
−1
4
1
0
5
.
Warto porównać ze wzorem przekształcenia:
f (x , y ) = (3x − y , 4x + y , 5y )
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz przekształcenia
3. Niech V będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n,
W będzie przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej n−1.
Wyznaczymy macierz operatora różniczkowania D : V → W w
bazach {1, x , . . . , x
n
}, {1, x, . . . , x
n−1
}:
A =
0
1
0
. . .
0
0
0
0
2
. . .
0
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
0
0
. . .
n−1
0
0
0
0
. . .
0
n
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Jeśli h : V → W i g : W → U są przekształceniami oraz jeśli
przeciwdziedzina h zawiera się w dziedzinie g , to określone jest
złożenie
g ◦ h : V → U:
(g ◦ h)(v) = g (h(v))
dla v ∈ V .
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Lemat
Złożenie przekształceń liniowych jest przekształceniem liniowym.
D o w ó d. Niech f = g ◦ h. Wtedy dla x, y ∈ V , η, λ ∈ K:
f (ηx + λy)
=
g (h(ηx + λy)) = g (ηh(x) + λh(y)) =
=
ηg (h(x)) + λg (h(y)) = ηf (x) + λf (y).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Lemat
Złożenie przekształceń liniowych jest przekształceniem liniowym.
D o w ó d. Niech f = g ◦ h. Wtedy dla x, y ∈ V , η, λ ∈ K:
f (ηx + λy)
=
g (h(ηx + λy)) = g (ηh(x) + λh(y)) =
=
ηg (h(x)) + λg (h(y)) = ηf (x) + λf (y).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Lemat
Złożenie przekształceń liniowych jest przekształceniem liniowym.
D o w ó d. Niech f = g ◦ h. Wtedy dla x, y ∈ V , η, λ ∈ K:
f (ηx + λy)
=
g (h(ηx + λy)) =
g (ηh(x) + λh(y)) =
=
ηg (h(x)) + λg (h(y)) = ηf (x) + λf (y).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Lemat
Złożenie przekształceń liniowych jest przekształceniem liniowym.
D o w ó d. Niech f = g ◦ h. Wtedy dla x, y ∈ V , η, λ ∈ K:
f (ηx + λy)
=
g (h(ηx + λy)) = g (ηh(x) + λh(y)) =
=
ηg (h(x)) + λg (h(y)) = ηf (x) + λf (y).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Lemat
Złożenie przekształceń liniowych jest przekształceniem liniowym.
D o w ó d. Niech f = g ◦ h. Wtedy dla x, y ∈ V , η, λ ∈ K:
f (ηx + λy)
=
g (h(ηx + λy)) = g (ηh(x) + λh(y)) =
=
ηg (h(x)) + λg (h(y)) =
ηf (x) + λf (y).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Lemat
Złożenie przekształceń liniowych jest przekształceniem liniowym.
D o w ó d. Niech f = g ◦ h. Wtedy dla x, y ∈ V , η, λ ∈ K:
f (ηx + λy)
=
g (h(ηx + λy)) = g (ηh(x) + λh(y)) =
=
ηg (h(x)) + λg (h(y)) = ηf (x) + λf (y).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v
k
}
n
k=1
, {w
j
}
p
j =1
, {u
i
}
m
i =1
.
Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy
h(v
k
) =
p
X
j =1
a
jk
w
j
,
g (w
j
) =
m
X
i =1
b
ij
u
i
,
więc
f (v
k
)
=
g (h(v
k
)) = g
p
X
j =1
a
jk
w
j
=
p
X
j =1
a
jk
m
X
i =1
b
ij
u
i
=
=
m
X
i =1
p
X
j =1
a
jk
b
ij
u
i
=
m
X
i =1
c
ik
u
i
,
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v
k
}
n
k=1
, {w
j
}
p
j =1
, {u
i
}
m
i =1
.
Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy
h(v
k
) =
p
X
j =1
a
jk
w
j
,
g (w
j
) =
m
X
i =1
b
ij
u
i
,
więc
f (v
k
)
=
g (h(v
k
)) = g
p
X
j =1
a
jk
w
j
=
p
X
j =1
a
jk
m
X
i =1
b
ij
u
i
=
=
m
X
i =1
p
X
j =1
a
jk
b
ij
u
i
=
m
X
i =1
c
ik
u
i
,
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v
k
}
n
k=1
, {w
j
}
p
j =1
, {u
i
}
m
i =1
.
Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy
h(v
k
) =
p
X
j =1
a
jk
w
j
,
g (w
j
) =
m
X
i =1
b
ij
u
i
,
więc
f (v
k
)
=
g (h(v
k
)) = g
p
X
j =1
a
jk
w
j
=
p
X
j =1
a
jk
m
X
i =1
b
ij
u
i
=
=
m
X
i =1
p
X
j =1
a
jk
b
ij
u
i
=
m
X
i =1
c
ik
u
i
,
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v
k
}
n
k=1
, {w
j
}
p
j =1
, {u
i
}
m
i =1
.
Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy
h(v
k
) =
p
X
j =1
a
jk
w
j
,
g (w
j
) =
m
X
i =1
b
ij
u
i
,
więc
f (v
k
)
=
g (h(v
k
)) = g
p
X
j =1
a
jk
w
j
=
p
X
j =1
a
jk
m
X
i =1
b
ij
u
i
=
=
m
X
i =1
p
X
j =1
a
jk
b
ij
u
i
=
m
X
i =1
c
ik
u
i
,
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v
k
}
n
k=1
, {w
j
}
p
j =1
, {u
i
}
m
i =1
.
Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy
h(v
k
) =
p
X
j =1
a
jk
w
j
,
g (w
j
) =
m
X
i =1
b
ij
u
i
,
więc
f (v
k
)
=
g (h(v
k
)) = g
p
X
j =1
a
jk
w
j
=
p
X
j =1
a
jk
m
X
i =1
b
ij
u
i
=
=
m
X
i =1
p
X
j =1
a
jk
b
ij
u
i
=
m
X
i =1
c
ik
u
i
,
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v
k
}
n
k=1
, {w
j
}
p
j =1
, {u
i
}
m
i =1
.
Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy
h(v
k
) =
p
X
j =1
a
jk
w
j
,
g (w
j
) =
m
X
i =1
b
ij
u
i
,
więc
f (v
k
)
=
g (h(v
k
)) =
g
p
X
j =1
a
jk
w
j
=
p
X
j =1
a
jk
m
X
i =1
b
ij
u
i
=
=
m
X
i =1
p
X
j =1
a
jk
b
ij
u
i
=
m
X
i =1
c
ik
u
i
,
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v
k
}
n
k=1
, {w
j
}
p
j =1
, {u
i
}
m
i =1
.
Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy
h(v
k
) =
p
X
j =1
a
jk
w
j
,
g (w
j
) =
m
X
i =1
b
ij
u
i
,
więc
f (v
k
)
=
g (h(v
k
)) = g
p
X
j =1
a
jk
w
j
=
p
X
j =1
a
jk
m
X
i =1
b
ij
u
i
=
=
m
X
i =1
p
X
j =1
a
jk
b
ij
u
i
=
m
X
i =1
c
ik
u
i
,
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v
k
}
n
k=1
, {w
j
}
p
j =1
, {u
i
}
m
i =1
.
Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy
h(v
k
) =
p
X
j =1
a
jk
w
j
,
g (w
j
) =
m
X
i =1
b
ij
u
i
,
więc
f (v
k
)
=
g (h(v
k
)) = g
p
X
j =1
a
jk
w
j
=
p
X
j =1
a
jk
m
X
i =1
b
ij
u
i
=
=
m
X
i =1
p
X
j =1
a
jk
b
ij
u
i
=
m
X
i =1
c
ik
u
i
,
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v
k
}
n
k=1
, {w
j
}
p
j =1
, {u
i
}
m
i =1
.
Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy
h(v
k
) =
p
X
j =1
a
jk
w
j
,
g (w
j
) =
m
X
i =1
b
ij
u
i
,
więc
f (v
k
)
=
g (h(v
k
)) = g
p
X
j =1
a
jk
w
j
=
p
X
j =1
a
jk
m
X
i =1
b
ij
u
i
=
=
m
X
i =1
p
X
j =1
a
jk
b
ij
u
i
=
m
X
i =1
c
ik
u
i
,
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech f = g ◦ h i niech bazami w V , W , U będą odpowiednio
{v
k
}
n
k=1
, {w
j
}
p
j =1
, {u
i
}
m
i =1
.
Oznaczmy macierze przekształceń h i g przez A i B, wtedy
h(v
k
) =
p
X
j =1
a
jk
w
j
,
g (w
j
) =
m
X
i =1
b
ij
u
i
,
więc
f (v
k
)
=
g (h(v
k
)) = g
p
X
j =1
a
jk
w
j
=
p
X
j =1
a
jk
m
X
i =1
b
ij
u
i
=
=
m
X
i =1
p
X
j =1
a
jk
b
ij
u
i
=
m
X
i =1
c
ik
u
i
,
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
gdzie
c
ik
=
p
X
j =1
b
ij
a
jk
.
(wzór na iloczyn macierzy!)
Zatem macierzą złożenia f = g ◦ h jest C = [c
ik
] = BA.
Wniosek
Złożeniu przekształceń odpowiada iloczyn macierzy.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
gdzie
c
ik
=
p
X
j =1
b
ij
a
jk
.
(wzór na iloczyn macierzy!)
Zatem macierzą złożenia f = g ◦ h jest C = [c
ik
] = BA.
Wniosek
Złożeniu przekształceń odpowiada iloczyn macierzy.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
gdzie
c
ik
=
p
X
j =1
b
ij
a
jk
.
(wzór na iloczyn macierzy!)
Zatem macierzą złożenia f = g ◦ h jest C = [c
ik
] = BA.
Wniosek
Złożeniu przekształceń odpowiada iloczyn macierzy.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
Obliczyć A
100
, gdy
A =
"
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
#
.
Z równości (6) widać, że macierz A jest macierzą obrotu
płaszczyzny o kąt ϕ = π/4. Zatem macierzy A
100
odpowiada
stukrotne złożenie tego obrotu, czyli obrót o kąt 100ϕ = 25π.
Ponieważ cos(25π) = −1, sin(25π) = 0, więc znowu na mocy (6):
A
100
=
"
−1
0
0
−1
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
Obliczyć A
100
, gdy
A =
"
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
#
.
Z równości (6) widać, że macierz A jest macierzą obrotu
płaszczyzny o kąt ϕ = π/4.
Zatem macierzy A
100
odpowiada
stukrotne złożenie tego obrotu, czyli obrót o kąt 100ϕ = 25π.
Ponieważ cos(25π) = −1, sin(25π) = 0, więc znowu na mocy (6):
A
100
=
"
−1
0
0
−1
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
Obliczyć A
100
, gdy
A =
"
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
#
.
Z równości (6) widać, że macierz A jest macierzą obrotu
płaszczyzny o kąt ϕ = π/4. Zatem macierzy A
100
odpowiada
stukrotne złożenie tego obrotu, czyli obrót o kąt 100ϕ = 25π.
Ponieważ cos(25π) = −1, sin(25π) = 0, więc znowu na mocy (6):
A
100
=
"
−1
0
0
−1
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
Obliczyć A
100
, gdy
A =
"
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
#
.
Z równości (6) widać, że macierz A jest macierzą obrotu
płaszczyzny o kąt ϕ = π/4. Zatem macierzy A
100
odpowiada
stukrotne złożenie tego obrotu, czyli obrót o kąt 100ϕ = 25π.
Ponieważ cos(25π) = −1, sin(25π) = 0,
więc znowu na mocy (6):
A
100
=
"
−1
0
0
−1
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
Obliczyć A
100
, gdy
A =
"
√
2
2
−
√
2
2
√
2
2
√
2
2
#
.
Z równości (6) widać, że macierz A jest macierzą obrotu
płaszczyzny o kąt ϕ = π/4. Zatem macierzy A
100
odpowiada
stukrotne złożenie tego obrotu, czyli obrót o kąt 100ϕ = 25π.
Ponieważ cos(25π) = −1, sin(25π) = 0, więc znowu na mocy (6):
A
100
=
"
−1
0
0
−1
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przekształcenie odwrotne
Niech f : V → V będzie przekształceniem liniowym. Jeżeli
g : V → V jest takie, że
f ◦ g = g ◦ f = id
V
,
to g nazywamy przekształceniem
odwrotnym
względem f i
piszemy g = f
−1
.
Np. przekształceniem odwrotnym do obrotu płaszczyzny o kąt ϕ
jest obrót o kąt −ϕ.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przekształcenie odwrotne
Niech f : V → V będzie przekształceniem liniowym. Jeżeli
g : V → V jest takie, że
f ◦ g = g ◦ f = id
V
,
to g nazywamy przekształceniem
odwrotnym
względem f i
piszemy g = f
−1
.
Np. przekształceniem odwrotnym do obrotu płaszczyzny o kąt ϕ
jest obrót o kąt −ϕ.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Złożeniu przekształceń odpowiada iloczyn ich macierzy, więc jeśli
A jest macierzą f , a A
−1
macierzą f
−1
, to
AA
−1
= A
−1
A = I.
(9)
Macierz A
−1
mającą własność (9) nazywamy
macierzą odwrotną
względem A.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Złożeniu przekształceń odpowiada iloczyn ich macierzy, więc jeśli
A jest macierzą f , a A
−1
macierzą f
−1
, to
AA
−1
= A
−1
A = I.
(9)
Macierz A
−1
mającą własność (9) nazywamy
macierzą odwrotną
względem A.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Złożeniu przekształceń odpowiada iloczyn ich macierzy, więc jeśli
A jest macierzą f , a A
−1
macierzą f
−1
, to
AA
−1
= A
−1
A = I.
(9)
Macierz A
−1
mającą własność (9) nazywamy
macierzą odwrotną
względem A.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Twierdzenie (Cauchy’ego)
Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia
det(AB) = det A · det B.
Po zastosowaniu twierdzenia Cauchy’ego do równości (9)
otrzymujemy:
det A · det A
−1
= det(AA
−1
) = det I = 1.
Wnosimy stąd, że macierz mająca macierz odwrotną musi być
nieosobliwa (det A 6= 0), oraz, że wyznacznik macierzy odwrotnej
jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Twierdzenie (Cauchy’ego)
Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia
det(AB) = det A · det B.
Po zastosowaniu twierdzenia Cauchy’ego do równości (9)
otrzymujemy:
det A · det A
−1
=
det(AA
−1
) = det I = 1.
Wnosimy stąd, że macierz mająca macierz odwrotną musi być
nieosobliwa (det A 6= 0), oraz, że wyznacznik macierzy odwrotnej
jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Twierdzenie (Cauchy’ego)
Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia
det(AB) = det A · det B.
Po zastosowaniu twierdzenia Cauchy’ego do równości (9)
otrzymujemy:
det A · det A
−1
= det(AA
−1
) =
det I = 1.
Wnosimy stąd, że macierz mająca macierz odwrotną musi być
nieosobliwa (det A 6= 0), oraz, że wyznacznik macierzy odwrotnej
jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Twierdzenie (Cauchy’ego)
Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia
det(AB) = det A · det B.
Po zastosowaniu twierdzenia Cauchy’ego do równości (9)
otrzymujemy:
det A · det A
−1
= det(AA
−1
) = det I = 1.
Wnosimy stąd, że macierz mająca macierz odwrotną musi być
nieosobliwa (det A 6= 0), oraz, że wyznacznik macierzy odwrotnej
jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Twierdzenie (Cauchy’ego)
Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia
det(AB) = det A · det B.
Po zastosowaniu twierdzenia Cauchy’ego do równości (9)
otrzymujemy:
det A · det A
−1
= det(AA
−1
) = det I = 1.
Wnosimy stąd, że macierz mająca macierz odwrotną musi być
nieosobliwa (det A 6= 0),
oraz, że wyznacznik macierzy odwrotnej
jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Twierdzenie (Cauchy’ego)
Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tego samego stopnia
det(AB) = det A · det B.
Po zastosowaniu twierdzenia Cauchy’ego do równości (9)
otrzymujemy:
det A · det A
−1
= det(AA
−1
) = det I = 1.
Wnosimy stąd, że macierz mająca macierz odwrotną musi być
nieosobliwa (det A 6= 0), oraz, że wyznacznik macierzy odwrotnej
jest równy odwrotności wyznacznika macierzy danej.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Macierz odwrotna iloczynu dwóch macierzy nieosobliwych jest
równa iloczynowi macierzy odwrotnych tych macierzy wziętych w
odwrotnej kolejności:
(AB)
−1
= B
−1
A
−1
D o w ó d.
(AB)(B
−1
A
−1
)
=
A(BB
−1
)A
−1
=
=
AIA
−1
= AA
−1
= I.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Macierz odwrotna iloczynu dwóch macierzy nieosobliwych jest
równa iloczynowi macierzy odwrotnych tych macierzy wziętych w
odwrotnej kolejności:
(AB)
−1
= B
−1
A
−1
D o w ó d.
(AB)(B
−1
A
−1
)
=
A(BB
−1
)A
−1
=
=
AIA
−1
= AA
−1
= I.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Macierz odwrotną możemy obliczyć dwoma sposobami.
Sposób 1. Zastosować wzór:
A
−1
=
1
det A
A
11
A
21
. . .
A
n1
A
12
A
22
. . .
A
n2
. . .
A
1n
A
2n
. . .
A
nn
.
(10)
Wzór można sprawdzić, obliczając AA
−1
, bo element c
ij
tego
iloczynu jest postaci:
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Macierz odwrotną możemy obliczyć dwoma sposobami.
Sposób 1. Zastosować wzór:
A
−1
=
1
det A
A
11
A
21
. . .
A
n1
A
12
A
22
. . .
A
n2
. . .
A
1n
A
2n
. . .
A
nn
.
(10)
Wzór można sprawdzić, obliczając AA
−1
, bo element c
ij
tego
iloczynu jest postaci:
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
c
ij
=
1
det A
n
X
k=1
a
ik
A
kj
,
a jak wiadomo:
n
X
k=1
a
ik
A
kj
=
(
0
dla
i 6= j
det A
dla
i = j
.
Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M
ij
], zmieniamy znaki odpowiednich
elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A
ij
], tę
macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.
macierz dołączona
A
D
= [A
ji
], wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
c
ij
=
1
det A
n
X
k=1
a
ik
A
kj
,
a jak wiadomo:
n
X
k=1
a
ik
A
kj
=
(
0
dla
i 6= j
det A
dla
i = j
.
Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M
ij
], zmieniamy znaki odpowiednich
elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A
ij
], tę
macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.
macierz dołączona
A
D
= [A
ji
], wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
c
ij
=
1
det A
n
X
k=1
a
ik
A
kj
,
a jak wiadomo:
n
X
k=1
a
ik
A
kj
=
(
0
dla
i 6= j
det A
dla
i = j
.
Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M
ij
], zmieniamy znaki odpowiednich
elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A
ij
], tę
macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.
macierz dołączona
A
D
= [A
ji
], wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
c
ij
=
1
det A
n
X
k=1
a
ik
A
kj
,
a jak wiadomo:
n
X
k=1
a
ik
A
kj
=
(
0
dla
i 6= j
det A
dla
i = j
.
Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M
ij
],
zmieniamy znaki odpowiednich
elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A
ij
], tę
macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.
macierz dołączona
A
D
= [A
ji
], wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
c
ij
=
1
det A
n
X
k=1
a
ik
A
kj
,
a jak wiadomo:
n
X
k=1
a
ik
A
kj
=
(
0
dla
i 6= j
det A
dla
i = j
.
Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M
ij
], zmieniamy znaki odpowiednich
elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A
ij
],
tę
macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.
macierz dołączona
A
D
= [A
ji
], wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
c
ij
=
1
det A
n
X
k=1
a
ik
A
kj
,
a jak wiadomo:
n
X
k=1
a
ik
A
kj
=
(
0
dla
i 6= j
det A
dla
i = j
.
Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M
ij
], zmieniamy znaki odpowiednich
elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A
ij
], tę
macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.
macierz dołączona
A
D
= [A
ji
],
wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
c
ij
=
1
det A
n
X
k=1
a
ik
A
kj
,
a jak wiadomo:
n
X
k=1
a
ik
A
kj
=
(
0
dla
i 6= j
det A
dla
i = j
.
Praktycznie: obliczamy wyznacznik (musi być niezerowy),
tworzymy macierz minorów [M
ij
], zmieniamy znaki odpowiednich
elementów, tworząc macierz dopełnień algebraicznych [A
ij
], tę
macierz transponujemy — wynikiem jest tzw.
macierz dołączona
A
D
= [A
ji
], wreszcie dzielimy ją przez wyznacznik.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Przykład
Znaleźć macierz odwrotną do macierzy
A =
"
1
3
4
5
#
.
Obliczamy det A = −7 i następnie
[M
ij
] =
"
5
4
3
1
#
,
[A
ij
] =
"
5
−4
−3
1
#
,
A
D
=
"
5
−3
−4
1
#
.
Zatem
A
−1
= −
1
7
"
5
−3
−4
1
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Przykład
Znaleźć macierz odwrotną do macierzy
A =
"
1
3
4
5
#
.
Obliczamy det A = −7 i następnie
[M
ij
] =
"
5
4
3
1
#
,
[A
ij
] =
"
5
−4
−3
1
#
,
A
D
=
"
5
−3
−4
1
#
.
Zatem
A
−1
= −
1
7
"
5
−3
−4
1
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Przykład
Znaleźć macierz odwrotną do macierzy
A =
"
1
3
4
5
#
.
Obliczamy det A = −7 i następnie
[M
ij
] =
"
5
4
3
1
#
,
[A
ij
] =
"
5
−4
−3
1
#
,
A
D
=
"
5
−3
−4
1
#
.
Zatem
A
−1
= −
1
7
"
5
−3
−4
1
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Przykład
Znaleźć macierz odwrotną do macierzy
A =
"
1
3
4
5
#
.
Obliczamy det A = −7 i następnie
[M
ij
] =
"
5
4
3
1
#
,
[A
ij
] =
"
5
−4
−3
1
#
,
A
D
=
"
5
−3
−4
1
#
.
Zatem
A
−1
= −
1
7
"
5
−3
−4
1
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Sposób 2.
Twierdzenie
Jeżeli macierz I otrzymujemy przez operacje elementarne na
wierszach z macierzy A, to macierz A
−1
powstaje z macierzy I w
wyniku wykonania tych samych operacji elementarnych.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Przykład
Znajdziemy odwrotność macierzy z poprzedniego przykładu.
Zapisujemy macierze A i I obok siebie; kolejne etapy
przekształcenia łączymy znakiem równoważności ∼:
"
1
3
1
0
4
5
0
1
#
∼
"
1
3
1
0
0
−7 −4 1
#
∼
"
1
0
−
5
7
3
7
0
1
4
7
−
1
7
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Przykład
Znajdziemy odwrotność macierzy z poprzedniego przykładu.
Zapisujemy macierze A i I obok siebie; kolejne etapy
przekształcenia łączymy znakiem równoważności ∼:
"
1
3
1
0
4
5
0
1
#
∼
"
1
3
1
0
0
−7 −4 1
#
∼
"
1
0
−
5
7
3
7
0
1
4
7
−
1
7
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Przykład
Znajdziemy odwrotność macierzy z poprzedniego przykładu.
Zapisujemy macierze A i I obok siebie; kolejne etapy
przekształcenia łączymy znakiem równoważności ∼:
"
1
3
1
0
4
5
0
1
#
∼
"
1
3
1
0
0
−7 −4 1
#
∼
"
1
0
−
5
7
3
7
0
1
4
7
−
1
7
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Macierz odwrotna
Przykład
Znajdziemy odwrotność macierzy z poprzedniego przykładu.
Zapisujemy macierze A i I obok siebie; kolejne etapy
przekształcenia łączymy znakiem równoważności ∼:
"
1
3
1
0
4
5
0
1
#
∼
"
1
3
1
0
0
−7 −4 1
#
∼
"
1
0
−
5
7
3
7
0
1
4
7
−
1
7
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Dane są macierze:
A =
"
1
1
−2
3
−1
2
#
, B =
2
−1
1
2
0
2
.
Jakim przekształceniom odpowiadają te macierze? Znaleźć
h = f
A
◦ f
B
. Wyznaczyć h
−1
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Macierzy A odpowiada przekształcenie
f
A
: R
3
→ R
2
, f
A
(x , y , z) = (x + y − 2z, 3x − y + 2z),
a macierzy B odpowiada przekształcenie f
B
: R
2
→ R
3
,
f
B
(x , y ) = (2x − y , x + 2y , 2y ).
Złożenie możemy obliczyć bezpośrednio, ale lepiej obliczyć iloczyn
macierzy:
AB =
"
3
−3
5
−1
#
,
i stąd h : R
2
→ R
2
, h(x , y ) = (3x − 3y , 5x − y ).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zadanie
Również h
−1
najlepiej wyznaczyć posługując się macierzą
odwrotną (którą można obliczyć dowolną metodą).
(AB)
−1
=
"
−
1
12
1
4
−
5
12
1
4
#
,
Zatem h
−1
: R
2
→ R
2
, h
−1
(x , y ) = (−
1
12
x +
1
4
y , −
5
12
x +
1
4
y ).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Zapis macierzowy układu
Układ równań:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
· · ·
+
a
2n
x
n
=
b
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
x
1
+
a
m2
x
2
+
· · ·
+
a
mn
x
n
=
b
m
ma zapis macierzowy:
AX = B,
(11)
gdzie A jest macierzą układu, X — jednokolumnową macierzą
niewiadomych, a B — jednokolumnową macierzą wyrazów
wolnych.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe
Rozważmy równanie AX = B, w którym X i B nie muszą być
jednokolumnowe — o macierzach występujących w tym równaniu
zakładamy tylko, że ich wymiary są takie, że równanie ma sens.
Jeżeli w równaniu (11) macierz A jest kwadratowa i nieosobliwa, to
mnożąc to równanie z lewej strony przez A
−1
, otrzymamy:
A
−1
AX = A
−1
B,
czyli
X = A
−1
B.
Analogicznie z równania:
XA = B
otrzymamy (mnożąc równanie z prawej strony przez A
−1
):
X = BA
−1
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe
Rozważmy równanie AX = B, w którym X i B nie muszą być
jednokolumnowe — o macierzach występujących w tym równaniu
zakładamy tylko, że ich wymiary są takie, że równanie ma sens.
Jeżeli w równaniu (11) macierz A jest kwadratowa i nieosobliwa, to
mnożąc to równanie z lewej strony przez A
−1
,
otrzymamy:
A
−1
AX = A
−1
B,
czyli
X = A
−1
B.
Analogicznie z równania:
XA = B
otrzymamy (mnożąc równanie z prawej strony przez A
−1
):
X = BA
−1
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe
Rozważmy równanie AX = B, w którym X i B nie muszą być
jednokolumnowe — o macierzach występujących w tym równaniu
zakładamy tylko, że ich wymiary są takie, że równanie ma sens.
Jeżeli w równaniu (11) macierz A jest kwadratowa i nieosobliwa, to
mnożąc to równanie z lewej strony przez A
−1
, otrzymamy:
A
−1
AX = A
−1
B,
czyli
X = A
−1
B.
Analogicznie z równania:
XA = B
otrzymamy (mnożąc równanie z prawej strony przez A
−1
):
X = BA
−1
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe
Rozważmy równanie AX = B, w którym X i B nie muszą być
jednokolumnowe — o macierzach występujących w tym równaniu
zakładamy tylko, że ich wymiary są takie, że równanie ma sens.
Jeżeli w równaniu (11) macierz A jest kwadratowa i nieosobliwa, to
mnożąc to równanie z lewej strony przez A
−1
, otrzymamy:
A
−1
AX = A
−1
B,
czyli
X = A
−1
B.
Analogicznie z równania:
XA = B
otrzymamy (mnożąc równanie z prawej strony przez A
−1
):
X = BA
−1
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe
Rozważmy równanie AX = B, w którym X i B nie muszą być
jednokolumnowe — o macierzach występujących w tym równaniu
zakładamy tylko, że ich wymiary są takie, że równanie ma sens.
Jeżeli w równaniu (11) macierz A jest kwadratowa i nieosobliwa, to
mnożąc to równanie z lewej strony przez A
−1
, otrzymamy:
A
−1
AX = A
−1
B,
czyli
X = A
−1
B.
Analogicznie z równania:
XA = B
otrzymamy (mnożąc równanie z prawej strony przez A
−1
):
X = BA
−1
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe – przykład
Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:
A =
"
1
2
1
3
#
, B =
"
1
−2
2
−5
#
, C =
"
−1 3
−2 3
#
.
AX = C − B,
X = A
−1
(C − B).
Obliczamy:
C − B =
"
−2 5
−4 8
#
, A
−1
=
"
3
−2
−1
1
#
.
Zatem:
X =
"
2
−1
−2
3
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe – przykład
Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:
A =
"
1
2
1
3
#
, B =
"
1
−2
2
−5
#
, C =
"
−1 3
−2 3
#
.
AX = C − B,
X = A
−1
(C − B).
Obliczamy:
C − B =
"
−2 5
−4 8
#
, A
−1
=
"
3
−2
−1
1
#
.
Zatem:
X =
"
2
−1
−2
3
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe – przykład
Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:
A =
"
1
2
1
3
#
, B =
"
1
−2
2
−5
#
, C =
"
−1 3
−2 3
#
.
AX = C − B,
X = A
−1
(C − B).
Obliczamy:
C − B =
"
−2 5
−4 8
#
, A
−1
=
"
3
−2
−1
1
#
.
Zatem:
X =
"
2
−1
−2
3
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe – przykład
Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:
A =
"
1
2
1
3
#
, B =
"
1
−2
2
−5
#
, C =
"
−1 3
−2 3
#
.
AX = C − B,
X = A
−1
(C − B).
Obliczamy:
C − B =
"
−2 5
−4 8
#
, A
−1
=
"
3
−2
−1
1
#
.
Zatem:
X =
"
2
−1
−2
3
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe – przykład
Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:
A =
"
1
2
1
3
#
, B =
"
1
−2
2
−5
#
, C =
"
−1 3
−2 3
#
.
AX = C − B,
X = A
−1
(C − B).
Obliczamy:
C − B =
"
−2 5
−4 8
#
,
A
−1
=
"
3
−2
−1
1
#
.
Zatem:
X =
"
2
−1
−2
3
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe – przykład
Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:
A =
"
1
2
1
3
#
, B =
"
1
−2
2
−5
#
, C =
"
−1 3
−2 3
#
.
AX = C − B,
X = A
−1
(C − B).
Obliczamy:
C − B =
"
−2 5
−4 8
#
, A
−1
=
"
3
−2
−1
1
#
.
Zatem:
X =
"
2
−1
−2
3
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe – przykład
Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:
A =
"
1
2
1
3
#
, B =
"
1
−2
2
−5
#
, C =
"
−1 3
−2 3
#
.
AX = C − B,
X = A
−1
(C − B).
Obliczamy:
C − B =
"
−2 5
−4 8
#
, A
−1
=
"
3
−2
−1
1
#
.
Zatem:
X =
"
2
−1
−2
3
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Równanie macierzowe – przykład
Rozwiązać równanie AX + B = C, gdzie:
A =
"
1
2
1
3
#
, B =
"
1
−2
2
−5
#
, C =
"
−1 3
−2 3
#
.
AX = C − B,
X = A
−1
(C − B).
Obliczamy:
C − B =
"
−2 5
−4 8
#
, A
−1
=
"
3
−2
−1
1
#
.
Zatem:
X =
"
2
−1
−2
3
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech V będzie przestrzenią liniową n-wymiarową i niech B = {v
j
}
i D = {w
i
} będą dwiema bazami tej przestrzeni.
Macierz przejścia
od bazy B do bazy D, P = [p
ij
] określamy jako macierz
przekształcenia tożsamościowego id : V → V wyliczoną dla baz B
(w dziedzinie) i D (w przeciwdziedzinie). Jej j -tą kolumnę tworzą
współrzędne wektora v
j
w bazie w
i
, tj. mamy
v
j
=
n
X
i =1
p
ij
w
i
,
dla j = 1, 2, . . . , n.
Jeśli trzeba zaakcentować bazy, to piszemy P
D←B
zamiast P.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech V będzie przestrzenią liniową n-wymiarową i niech B = {v
j
}
i D = {w
i
} będą dwiema bazami tej przestrzeni.
Macierz przejścia
od bazy B do bazy D, P = [p
ij
] określamy jako macierz
przekształcenia tożsamościowego id : V → V wyliczoną dla baz B
(w dziedzinie) i D (w przeciwdziedzinie).
Jej j -tą kolumnę tworzą
współrzędne wektora v
j
w bazie w
i
, tj. mamy
v
j
=
n
X
i =1
p
ij
w
i
,
dla j = 1, 2, . . . , n.
Jeśli trzeba zaakcentować bazy, to piszemy P
D←B
zamiast P.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech V będzie przestrzenią liniową n-wymiarową i niech B = {v
j
}
i D = {w
i
} będą dwiema bazami tej przestrzeni.
Macierz przejścia
od bazy B do bazy D, P = [p
ij
] określamy jako macierz
przekształcenia tożsamościowego id : V → V wyliczoną dla baz B
(w dziedzinie) i D (w przeciwdziedzinie). Jej j -tą kolumnę tworzą
współrzędne wektora v
j
w bazie w
i
,
tj. mamy
v
j
=
n
X
i =1
p
ij
w
i
,
dla j = 1, 2, . . . , n.
Jeśli trzeba zaakcentować bazy, to piszemy P
D←B
zamiast P.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech V będzie przestrzenią liniową n-wymiarową i niech B = {v
j
}
i D = {w
i
} będą dwiema bazami tej przestrzeni.
Macierz przejścia
od bazy B do bazy D, P = [p
ij
] określamy jako macierz
przekształcenia tożsamościowego id : V → V wyliczoną dla baz B
(w dziedzinie) i D (w przeciwdziedzinie). Jej j -tą kolumnę tworzą
współrzędne wektora v
j
w bazie w
i
, tj. mamy
v
j
=
n
X
i =1
p
ij
w
i
,
dla j = 1, 2, . . . , n.
Jeśli trzeba zaakcentować bazy, to piszemy P
D←B
zamiast P.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Niech V będzie przestrzenią liniową n-wymiarową i niech B = {v
j
}
i D = {w
i
} będą dwiema bazami tej przestrzeni.
Macierz przejścia
od bazy B do bazy D, P = [p
ij
] określamy jako macierz
przekształcenia tożsamościowego id : V → V wyliczoną dla baz B
(w dziedzinie) i D (w przeciwdziedzinie). Jej j -tą kolumnę tworzą
współrzędne wektora v
j
w bazie w
i
, tj. mamy
v
j
=
n
X
i =1
p
ij
w
i
,
dla j = 1, 2, . . . , n.
Jeśli trzeba zaakcentować bazy, to piszemy P
D←B
zamiast P.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
Rozważmy bazy
B = {(1, 0), (1, 1)},
D = {(1, −1), (1, 1)}
w przestrzeni R
2
. Ponieważ
(1, 0) =
1
2
(1, −1) +
1
2
(1, 1),
(1, 1) = 0 · (1, −1) + 1 · (1, 1),
więc
P =
"
1
2
0
1
2
1
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Twierdzenie
Jeżeli B i D są dwiema bazami przestrzeni liniowej V i jeśli P jest
macierzą przejścia od bazy B do bazy D, to dla dowolnego v ∈ V :
v
T
D
= Pv
T
B
,
gdzie v
T
B
i v
T
D
oznaczają jednokolumnowe macierze współrzędnych
wektora v w bazach B i D odpowiednio.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Twierdzenie
Jeżeli B, D i F są bazami przestrzeni liniowej V , to
1
P
B←D
= (P
D←B
)
−1
,
2
P
F ←D
P
D←B
= P
F ←B
.
A więc, jeśli przejście od B do D realizuje się macierzą P, to
przejście odwrotne — macierzą P
−1
. Jeśli znamy macierze P
1
i P
2
przejść od B do D i od D do F , to przejście od B do F realizuje
się macierzą P
2
P
1
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Twierdzenie
Jeżeli B, D i F są bazami przestrzeni liniowej V , to
1
P
B←D
= (P
D←B
)
−1
,
2
P
F ←D
P
D←B
= P
F ←B
.
A więc, jeśli przejście od B do D realizuje się macierzą P, to
przejście odwrotne — macierzą P
−1
.
Jeśli znamy macierze P
1
i P
2
przejść od B do D i od D do F , to przejście od B do F realizuje
się macierzą P
2
P
1
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Twierdzenie
Jeżeli B, D i F są bazami przestrzeni liniowej V , to
1
P
B←D
= (P
D←B
)
−1
,
2
P
F ←D
P
D←B
= P
F ←B
.
A więc, jeśli przejście od B do D realizuje się macierzą P, to
przejście odwrotne — macierzą P
−1
. Jeśli znamy macierze P
1
i P
2
przejść od B do D i od D do F , to przejście od B do F realizuje
się macierzą P
2
P
1
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
1. Znaleźć macierz przejścia od B = {(0, −1), (2, 1)} do
D = {(0, 1), (1, 1)} i sprawdzić równość v
T
D
= Pv
T
B
dla
v = (−3, 5).
Macierze przejścia od B do S i od D do S (S — baza
standardowa):
P
S←B
=
"
0
2
−1 1
#
,
P
S←D
=
"
0
1
1
1
#
.
Z poprzedniego twierdzenia:
P
D←B
= (P
S←D
)
−1
P
S←B
=
"
−1 −1
0
2
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
1. Znaleźć macierz przejścia od B = {(0, −1), (2, 1)} do
D = {(0, 1), (1, 1)} i sprawdzić równość v
T
D
= Pv
T
B
dla
v = (−3, 5).
Macierze przejścia od B do S i od D do S (S — baza
standardowa):
P
S←B
=
"
0
2
−1 1
#
,
P
S←D
=
"
0
1
1
1
#
.
Z poprzedniego twierdzenia:
P
D←B
= (P
S←D
)
−1
P
S←B
=
"
−1 −1
0
2
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
1. Znaleźć macierz przejścia od B = {(0, −1), (2, 1)} do
D = {(0, 1), (1, 1)} i sprawdzić równość v
T
D
= Pv
T
B
dla
v = (−3, 5).
Macierze przejścia od B do S i od D do S (S — baza
standardowa):
P
S←B
=
"
0
2
−1 1
#
,
P
S←D
=
"
0
1
1
1
#
.
Z poprzedniego twierdzenia:
P
D←B
= (P
S←D
)
−1
P
S←B
=
"
−1 −1
0
2
#
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
Mamy także:
v = (−3, 5) = −
13
2
(0, −1) −
3
2
(2, 1),
v = (−3, 5) = 8(0, 1) − 3(1, 1),
czyli:
v
T
B
= −
1
2
"
13
3
#
,
v
T
D
=
"
8
3
#
.
Po obliczeniu Pv
B
otrzymamy v
D
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
Mamy także:
v = (−3, 5) = −
13
2
(0, −1) −
3
2
(2, 1),
v = (−3, 5) = 8(0, 1) − 3(1, 1),
czyli:
v
T
B
= −
1
2
"
13
3
#
,
v
T
D
=
"
8
3
#
.
Po obliczeniu Pv
B
otrzymamy v
D
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
Mamy także:
v = (−3, 5) = −
13
2
(0, −1) −
3
2
(2, 1),
v = (−3, 5) = 8(0, 1) − 3(1, 1),
czyli:
v
T
B
= −
1
2
"
13
3
#
,
v
T
D
=
"
8
3
#
.
Po obliczeniu Pv
B
otrzymamy v
D
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
Mamy także:
v = (−3, 5) = −
13
2
(0, −1) −
3
2
(2, 1),
v = (−3, 5) = 8(0, 1) − 3(1, 1),
czyli:
v
T
B
= −
1
2
"
13
3
#
,
v
T
D
=
"
8
3
#
.
Po obliczeniu Pv
B
otrzymamy v
D
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
Znaleźć współrzędne wektora u = (2, 3, −1) w bazie
D = {(1, 3, 7), (2, 5, 0), (−1, 2, −1)}.
Macierz:
Q =
1
2
−1
3
5
2
7
0
−1
jest macierzą przejścia od bazy D do bazy standardowej. Zatem
macierzą przejścia od bazy B do D będzie:
P = Q
−1
=
1
64
−5
2
9
17
6
−5
−35 14 −1
.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Przykład
Obliczamy:
P ·
2
3
−1
=
1
64
−13
57
−27
.
Współrzędnymi u w bazie D są (−
13
64
,
57
64
, −
27
64
).
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Jądro i obraz przekształcenia
Definicja
Niech f : V → W . Określamy:
ker f = {v ∈ V : f (v) = 0},
im f = {w ∈ W : istnieje v ∈ V takie, że f (v) = w}.
ker f jest podprzestrzenią V , a im f jest podprzestrzenią W .
Wymiar przestrzeni im f nazywamy
rzędem
przekształcenia f .
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Jądro i obraz przekształcenia
Definicja
Niech f : V → W . Określamy:
ker f = {v ∈ V : f (v) = 0},
im f = {w ∈ W : istnieje v ∈ V takie, że f (v) = w}.
ker f jest podprzestrzenią V , a im f jest podprzestrzenią W .
Wymiar przestrzeni im f nazywamy
rzędem
przekształcenia f .
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Jądro i obraz przekształcenia
Definicja
Niech f : V → W . Określamy:
ker f = {v ∈ V : f (v) = 0},
im f = {w ∈ W : istnieje v ∈ V takie, że f (v) = w}.
ker f jest podprzestrzenią V , a im f jest podprzestrzenią W .
Wymiar przestrzeni im f nazywamy
rzędem
przekształcenia f .
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Jądro i obraz przekształcenia
Definicja
Niech f : V → W . Określamy:
ker f = {v ∈ V : f (v) = 0},
im f = {w ∈ W : istnieje v ∈ V takie, że f (v) = w}.
ker f jest podprzestrzenią V , a im f jest podprzestrzenią W .
Wymiar przestrzeni im f nazywamy
rzędem
przekształcenia f .
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
1. Rzutowanie przestrzeni R
3
na płaszczyznę Oxy jest
przekształceniem rzędu 2; jego jądrem jest oś Oz, a obrazem
płaszczyzna Oxy .
2. Niech f : R
3
→ R
3
,
f (x , y , z) = (3x − y + 2z, 4x + y + 3z, x + 2y + z). Aby znaleźć
jądro rozwiązujemy układ:
3x − y + 2z = 0, 4x + y + 3z = 0, x + 2y + z = 0.
ker f = {α(5, 1, −7); α ∈ R}
Obraz jest generowany przez wektory f (1, 0, 0) = (1, 3, 4),
f (0, 1, 0) = (2, −1, 1), f (0, 0, 1) = (1, 2, 3). Są one liniowo zależne;
bazę obrazu tworzą np. dowolne dwa z nich.
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
2. Operator różniczkowania D : W
n
→ W
n
jest przekształceniem
rzędu n; jego jądrem jest przestrzeń wielomianów stopnia 0
(stałych), a obrazem — przestrzeń wielomianów stopnia co
najwyżej n − 1.
Ogólniej, jeśli D
k
oznacza operator k-krotnego różniczkowania, to
mamy następującą tabelę:
Operator
Jądro
Obraz
Rząd
D
W
0
W
n−1
n
D
2
W
1
W
n−2
n − 1
. . .
. . .
. . .
. . .
D
n
W
n−1
W
0
1
D
n+1
W
n
{0}
0
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
2. Operator różniczkowania D : W
n
→ W
n
jest przekształceniem
rzędu n; jego jądrem jest przestrzeń wielomianów stopnia 0
(stałych), a obrazem — przestrzeń wielomianów stopnia co
najwyżej n − 1.
Ogólniej, jeśli D
k
oznacza operator k-krotnego różniczkowania, to
mamy następującą tabelę:
Operator
Jądro
Obraz
Rząd
D
W
0
W
n−1
n
D
2
W
1
W
n−2
n − 1
. . .
. . .
. . .
. . .
D
n
W
n−1
W
0
1
D
n+1
W
n
{0}
0
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Dla dowolnego k jest
dim(im D
k
) + dim(ker D
k
) = dim W
n
= n + 1.
Fakt ten jest prawdziwy ogólnie, tzn. jeśli dim V < ∞, to dla
dowolnego przekształcenia liniowego f : V → V zachodzi równość:
dim im f + dim ker f = dim V .
Przekształcenie liniowe i jego macierz.
Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
Dla dowolnego k jest
dim(im D
k
) + dim(ker D
k
) = dim W
n
= n + 1.
Fakt ten jest prawdziwy ogólnie, tzn. jeśli dim V < ∞, to dla
dowolnego przekształcenia liniowego f : V → V zachodzi równość:
dim im f + dim ker f = dim V .
Document Outline
- Przekształcenie liniowe i jego macierz.
- Macierz odwrotna. Równania macierzowe.
- Macierz przejscia
- Jadro i obraz przekształcenia
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
03 prez Alg Lin
03 prez Alg Lin
zast wzm do lin przekszt sygn - bk, Inzynieria Materiałowa, I semestr, Elektrotechnika, elektrotechn
Przeksztalcanie wzorow
Prez etyka materiały1
Prez etyka materialy7
prez sek
Prez ppt EGZSZ20071
PREZ metody wykrywania mutacji
DROGI SZYNOWE PREZ 5
hatala,januszyk grupa 2a prez 1
POSLIZGNIECIE,Upadek prez[1] 2008 wlasna
5 Przekształcenie Fouriera
prez sys
Dyskretne przeksztaĹ'cenie Fouriera
GK 9 Przekształcenia geometryczne
więcej podobnych podstron