DROGI SZYNOWE cz. 5

KSZTAŁTOWANIE UKŁADÓW GEOMETRYCZNYCH TORU

KOLEJOWEGO

Układ geometryczny toru kolejowego ma charakter
przestrzenny i dlatego należy go rozpatrywać w trzech
płaszczyznach:

• poziomej,

• pionowej i

• poprzecznej do osi toru.

W płaszczyźnie poziomej (in. w planie) podstawowymi
elementami układu są:

• odcinki proste toru,

• odcinki ułożone w łuku kołowym oraz

• odcinki w łukach o zmiennej krzywiźnie (tzw. krzywe
przejściowe).

Ponadto wyróżnia się tzw. wstawki proste, czyli krótkie odcinki
proste toru ułożone między dwiema krzywymi przejściowymi lub
dwoma łukami kołowymi.

W płaszczyźnie pionowej (in. w profilu podłużnym)
wyróżnia się:

• odcinki toru o jednostajnym pochyleniu oraz

• kołowe łuki wyokrąglające tzw. załomy profilu
podłużnego.

W płaszczyźnie poprzecznej do osi toru (in. w przekroju
poprzecznym) występuje :

• szerokość toru oraz

• różnica wysokości toków szynowych (która na
długości łuku kołowego jest stała i nosi nazwę
przechyłki).

Najkorzystniejszym rozwiązaniem geometrycznym trasy
kolejowej w płaszczyźnie poziomej byłaby prosta.
Ponieważ na skutek istniejących uwarunkowań
terenowych nie jest to możliwe, występuje konieczność
zmiany kierunku trasy i zastosowania w tym rejonie łuku
kołowego w celu zapewnienia płynnego przejazdu
pojazdu szynowego.

Schemat połączenia kierunków głównych trasy za pomocą łuku kołowego

Długość połączenia kierunków głównych trasy zależy od
kąta zwrotu



i zastosowanego promienia łuku

kołowego R. Wartości stycznych t wynikają z zależności

2



tg

R

t





Projektowanie łuku kołowego

Dla nowo projektowanej linii kolejowej ustala się jej
podstawowe wymagane parametry eksploatacyjne:
• maksymalną prędkość pociągów pasażerskich v

p

[km/h],
• prędkość pociągów towarowych v

t

[km/h],

• natężenie przewozów q [Tg/rok].

Promień łuku kołowego o prędkości jazdy pociągów.
Występuje na nim bowiem przyspieszenie poprzeczne
(odśrodkowe), którego wartość nie może przekroczyć
określonej wartości dopuszczalnej.
Aby można było zmniejszyć wartość tego
przyspieszenia i zastosować jak największą prędkość,
najczęściej podnosi się na łuku tok zewnętrzny toru
(poprzez odpowiednie przechylenie podkładów),
tworząc tzw. przechyłkę.

Pierwszym zadaniem projektanta jest określenie
minimalnej wartości promienia łuku kołowego R.
Wyznacza się ją na podstawie odpowiednich
warunków, łączących parametry kinematyczne i
geometryczne.

Ponieważ, zgodnie z wieloletnią tradycją, jako model
pojazdu szynowego przyjmuje się punkt materialny, na łuku
kołowym powstaje sytuacja przedstawiona na rysunku
poniżej.



h

s



0



g

Płaszczyzna toru

a

W

a

Z

a

R

0

Przyspieszenia poprzeczne działające na pojazd

szynowy

poruszający się po łuku kołowym

Przyspieszenia poprzeczne są one opisywane
następującymi wzorami:

Występujący w tych wzorach kąt



jest bezpośrednio

związany z wartością przechyłki h

0

. Sinus tego kąta (przy

obowiązującym rozstawie toków szynowych s) wynosi



cos

)

6

,

3

(

2

2





R

v

a

p

z



sin



g

a

w

s

h

0

sin 



Obowiązują zatem następujące zależności:

2

0

2

2

1

)

6

,

3

(



















s

h

R

v

a

p

z

s

h

g

a

w

0





Ponieważ relacja h

0

/s nie przekracza 0,1, przyjmuje się,

że występujący we wzorze na a

z

pierwiastek

kwadratowy jest równy 1.

Łuk powinien zostać tak zaprojektowany, aby wypadkowa
przyspieszeń nie przekroczyła odpowiedniej wartości
dopuszczalnej, przy czym obowiązują następujące
warunki:

•

jeżeli a

z

> a

w

dop

p

a

g

s

h

R

v





0

2

2

)

6

,

3

(

•

jeżeli a

z

< a

w

t

t

a

R

v

g

s

h





2

2

0

)

6

,

3

(

Stosowane oznaczenia:

R  promień łuku kołowego [m],

h

0

 wartość przechyłki na łuku [mm],

g  przyspieszenie ziemskie [m/s

2

],

s  rozstaw osi toków szynowych [mm],

a

dop

 dopuszczalna wartość niezrównoważonego

przyspieszenia [m/s

2

],

a

t

 dopuszczalna wartość przyspieszenia

skierowanego do

wewnątrz łuku (zależna

od natężenia przewozów q) [m/s

2

].

Wartości dopuszczalne przyspieszeń są określone przez
obowiązujące przepisy projektowania.
Wartości a

dop

zależą od rodzaju układu

geometrycznego, natomiast a

t

- od obciążenia linii

przewozami.

Dopuszczalne wartości przyspieszenia niezrównoważonego
a

dop

dla pociągów pasażerskich:

•

poszerzenia międzytorzy w dogodnych warunkach

terenowych

a

dop

= 0,3 m/s

2

• łuki i pojedyncze krzywe przejściowe dla torów, po
których odbywa się ruch z v < 160 km/h

a

dop

= 0,8 m/s

2

•

łuki i pojedyncze krzywe przejściowe dla torów, po

których odbywa się ruch z v  160 km/h

a

dop

= 0,6 m/s

2

•

tory zwrotne rozjazdów zwyczajnych

a

dop

=

0,65 m/s

2

• tory boczne na stacjach (v

 40 km/h)

a

dop

=

0,65 m/s

2

• łuki o promieniach: 200 m < R

 250 m

a

dop

=

0,5 m/s

2

• łuki o promieniach: R

 200 m

a

dop

=

0,45 m/s

2

• poszerzenia międzytorzy w trudnych warunkach
terenowych

a

dop

= 0,45

m/s

2

Dopuszczalne wartości przyspieszenia niezrównoważonego
a

t

dla pociągów towarowych przy obciążeniu przewozami q

[Tg/rok]:

• dla 0

 T < 5

a

t

= 0,6 m/s

2

• dla 5

 T < 10

a

t

= 0,5 m/s

2

• dla 10

 T < 15

a

t

= 0,4 m/s

2

• dla 15

 T < 20

a

t

= 0,3 m/s

2

• dla T

 20

a

t

= 0,2 m/s

2

Jeśli założymy, że g = 9,81 m/s

2

i s = 1500 mm,

otrzymujemy:

• z warunku

t

t

dop

p

a

R

v

h

a

R

v

153

8

,

11

153

8

,

11

2

0

2









dop

p

a

g

s

h

R

v





0

2

2

)

6

,

3

(

dop

p

a

R

v

h

153

8

,

11

2

0





• z warunku

t

t

a

R

v

g

s

h





2

2

0

)

6

,

3

(

t

t

a

R

v

h

153

8

,

11

2

0





stąd

t

t

dop

p

a

R

v

h

a

R

v

153

8

,

11

153

8

,

11

2

0

2









Wynika stąd przedział, z którego możemy przyjmować
wartość przechyłki h

0

dla różnych wartości promienia

R.

W myśl obowiązujących przepisów wartość przechyłki
powinna mieścić się w granicach 20 mm  h

0

 150

mm.

Przepisy określają też minimalne promienie łuku,
uzależniając je od kategorii linii kolejowych i
ukształtowania terenu.

Minimalne promienie łuku R[m]

Linia magistralna

• w terenie nizinnym

1400

• w terenie podgórskim

1200

• w terenie górskim

600

Linia pierwszorzędna

• w terenie nizinnym

1200

• w terenie podgórskim

600

• w terenie górskim

400

Linia drugorzędna

• w terenie nizinnym

600

• w terenie podgórskim

400

• w terenie górskim

300

Linia znaczenia miejscowego

• w terenie nizinnym

400

• w terenie podgórskim

250

• w terenie górskim

200

Minimalna długość toru w łuku kołowym powinna wynosić:

• w torach głównych linii magistralnych i
pierwszorzędnych

5

,

2

max

min

v

l



lecz nie mniej niż 30 m,

• w torach głównych linii drugorzędnych – 30
m,

•

w pozostałych torach – 10 m.

Pomiędzy odcinkiem prostym toru i zaprojektowanym łukiem
poziomym o promieniu R powinna zostać wykonana tzw.
krzywa przejściowa, na długości której będzie występowała
ciągła zmiana krzywizny toru.
Takie rozwiązanie zapewnia płynny przyrost
niezrównoważonego przyspieszenia od wartości zerowej na
prostej do wartości am na łuku kołowym.

Projektowanie krzywej przejściowej

R

v

a

p

m

2

2

)

6

,

3

(



Wartość przyspieszenia a

m

wynika z zależności

:

• w przypadku braku przechyłki na łuku

s

h

g

R

v

a

p

m

0

2

2

)

6

,

3

(





• w przypadku występowania na łuku przechyłki h

0

Ścisły sposób kształtowania krzywej przejściowej

Stosowany sposób kształtowania krzywej przejściowej

Projektowanie układu geometrycznego ma na celu uzyskanie
takiego rozwiązania, które zapewni korzystny rozkład
przyspieszeń, działających na przejeżdżający tabor w
kierunku poprzecznym do osi toru.

O wielkości tych przyspieszeń decyduje krzywizna toków
szynowych w płaszczyźnie poziomej i właściwe
kształtowanie krzywizny stanowi podstawowe zadanie
procesu projektowego.

Miarą zakrzywienia łuku toru kolejowego jest stosunek kąta,
o jaki zmienia się kierunek osi podłużnej wagonu po
przebyciu pewnego łuku, do długości tegoż łuku.

Schemat ideowy do wyjaśnienia pojęcia krzywizny toru

Krzywizną krzywej K w punkcie M nazywamy granicę, do której
dąży stosunek kata ostrego Δα zawartego między stycznymi do
krzywej K w punktach M i M

1

do długości Δl łuku MM

1

, gdy

punkt M

1

dąży po krzywej K do punktu M.





1





M



l

x

y

M

1

l

k

l













lim

0

Dla łuku kołowego (tj. okręgu) o promieniu R kąt Δα jest
równy kątowi między promieniami dochodzącymi do
punktów styczności i posiada miarę łukową

R

l









R

l

1









Tak więc

stąd dla łuku
kołowego

R

k

1



Znacznie bardziej złożona jest kwestia określania krzywizny na
innych krzywych. Generalnie mówiąc, jest ona zmienna na
długości krzywej; pokażemy sposób jej wyznaczania dla krzywej
danej równaniem jawnym y = y(x).

Niech α oznacza skierowany kąt nachylenia stycznej do
krzywej w punkcie M o odciętej x do osi Ox .
Przy przejściu od M do M

1

: Δα = α

1

– α , Δx = x

1

– x , Δl = l

1

– l (mierzone po krzywej K od punktu M

0

).

Granica
stosunku

l







gdy

1

M

M 

x

l

x

x

l

x

l

k

l

l

l

l











































lim

lim

lim

lim

0

0

0

0







czyli
ostatecznie

dx

dl

dx

d

k





Żeby
wyznaczyć

dx

d



należy określić kąt α .

Wykorzystujemy związek y’(x) = tg α α(x) = arc tg y’(x).
Tak więc





2

)

(

1

)

(

x

y

x

y

dx

d











Do określenia
pochodnej

dx

dl

wykorzystujemy wzór na długość
krzywej













dx

x

y

l

2

)

(

1

stą
d





2

)

(

1

x

y

dx

dl







Po podstawieniu
otrzymujemy





















2

2

2

2

)

(

1

)

(

1

)

(

)

(

1

)

(

1

)

(

)

(

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

k

























i ostatecznie









2

3

2

)

(

1

)

(

)

(

x

y

x

y

x

k









Jak widać, struktura wzoru na krzywiznę jest więc dość
złożona. Nie ma też podstaw, żeby traktować dowolną krzywą
jako ciąg łuków kołowych o zmieniającym się promieniu (co
uzasadniałoby wykorzystywanie wzoru na krzywiznę łuku
kołowego i jest niekiedy praktykowane).
Należy również zaznaczyć, że wzór opisuje krzywiznę
odniesioną do osi odciętych, nie zaś do długości samej
krzywej. Tymczasem ruch pojazdów szynowych odbywa się
po krzywej i właśnie na długości krzywej należy formować
rozkład krzywizny.

Wyznaczanie krzywizny na krzywych przejściowych

Spróbujmy skupić się na samej krzywiźnie i zająć się jej
rozkładem na długości krzywej.

Nie będziemy więc wyznaczać krzywizny k(x), zależnej od
przyjętego układu współrzędnych, lecz krzywiznę k(l), dla
której wymagania jesteśmy w stanie określić jednoznacznie.

Krzywizna k(l) powinna być opisana funkcją odpowiedniej
klasy, żeby wywoływała mniejsze (a więc korzystniejsze)
oddziaływania dynamiczne.

Przedstawiony zapis matematyczny stanowi identyfikacje kształtu
krzywych przejściowych równaniami różniczkowymi i określa
sposób na znalezienie rozwiązań spełniających dowolną liczbę
założonych warunków, przy czym dla danych warunków mogą to
być rozwiązania zupełnie różnej postaci.

Funkcji k(l) należy poszukiwać wśród rozwiązań równania
różniczkowego





)

1

(

)

(

,...,

,

,

)

(







m

m

k

k

k

l

f

l

k

z warunkami na początku (dla l = 0) i na końcu (dla l = l

k

)

krzywej przejściowej

1

)

(

,...,

2

,

1

,

0

0

)

0

(

n

i

dla

k

i







2

)

(

,...,

2

,

1

0

0

1

)

(

n

j

j

dla

dla

R

l

k

k

j

















Otrzymana funkcja k(l) jest funkcja klasy C

n

w przedziale ,

gdzie
n = min (n

1

, n

2

).

Ze względów praktycznych korzystne będzie zapisywanie k(l)
w postaci

)

(

1

)

(

l

g

R

l

k



gdzie g(l) – funkcja zmiennej l , zależna od rodzaju krzywej
przejściowej, przy czym

g(0) = 0,

g(l

k

) = 1.

Możemy wówczas łatwo określić rzędne rampy
przechyłkowej (jeśli taka występuje)

)

(

)

(

0

l

g

h

l

h





oraz
przyspieszenie

)

(

)

(

l

g

a

l

a

m





Identyfikacja znanych rozwiązań

k(0

+)

= 0

k(l

k



) = 1/R

0

)

( 



 l

k

l

c

c

l

k

2

1

)

(





k

l

l

R

l

k

1

)

( 

k

l

l

l

g



)

(

0

1



c

k

l

R

c

1

1

2



W stosownych w kolejnictwie krzywych przejściowych –
gdy przyjmujemy układ współrzędnych, w którym
początek krzywej jest styczny do osi odciętych – wartość
stycznej na długości jest niewielka. Dlatego też możemy
zastosować pewne przybliżenie. Standardowo
przyjmujemy, że zamodelowana krzywizna k(l) odnosi
się do swego rzutu na oś x , czyli że l = x .

Wykres krzywizny liniowej

k

1

R

0

l

x

W wyniku takich założeń otrzymujemy równanie krzywizny

)

(

1

)

(

0

x

g

R

x

k



k

l

x

x

g



)

(

Znamy też równanie rampy przechyłowej

)

(

)

(

0

x

g

h

x

h





Rzędna końcowa krzywej przejściowej wynosi

Traktujemy k

0

(x) jako krzywiznę wyjściową, będącą

przybliżeniem krzywizny docelowej k(x); pozwala nam to
na znalezienie szukanej funkcji y(x), jako rozwiązania
równania różniczkowego

k

l

x

R

x

y

1

)

( 





Równanie to następnie dwukrotnie całkujemy,
uwzględniając warunki: y(0) = 0 i y’(0) = 0 .
Otrzymujemy w ten sposób równanie krzywej
przejściowej w postaci paraboli trzeciego stopnia.

k

l

R

x

x

y







6

)

(

3

R

l

l

x

y

k

k







6

)

(

2

a nachylenie stycznej na końcu

R

l

l

x

y

k

k









2

)

(

Powszechnie uznaje się, że liniową krzywiznę posiada
krzywa przejściowa w postaci paraboli trzeciego stopnia.
Jest to tradycyjnie podstawowy rodzaj krzywej przejściowej
stosowany na drogach kolejowych.

Należy jeszcze wspomnieć o pewnej nieprawidłowości,
która dotyczyć będzie również innych rozpatrywanych
krzywych przejściowych. Równanie paraboli trzeciego
stopnia nie spełnia warunku styczności krzywej
przejściowej z łukiem kołowym, tj.

)

(

)

(











k

k

l

y

l

y

Powiększamy dalej liczbę warunków

   

0

0

0











k

k

 

R

l

k

k

/

1





 

0







k

l

k

i przyjmujemy równanie różniczkowe

0

)

(

)

4

(



x

k

3

4

2

3

2

1

)

(

x

c

x

c

x

c

c

x

k









c

1

= 0 c

2

= 0

2

3

3

1

k

l

R

c 

3

4

2

1

k

l

R

c

























3

5

2

4

10

4

1

)

(

k

k

l

x

l

x

R

x

y

















3

3

2

2

2

3

1

)

(

k

k

l

x

l

x

R

x

k

Przykładowa krzywizna o nieliniowym rozkładzie na

długości

k

1

R

1

2R

0

l/2

l

x

Zachowując cztery warunki zidentyfikujmy krzywiznę
innym równaniem różniczkowym

x

l

c

x

l

c

x

c

c

x

k

k

k





cos

sin

)

(

4

3

2

1









R

c

1

2

1

1



c

2

= 0 c

3

= 0

R

c

1

2

1

4























k

l

x

R

x

k



cos

1

2

1

)

(

































1

cos

2

2

1

)

(

2

2

2

k

k

l

x

l

x

R

x

y





0

)

(

)

(

2

2

)

4

(









x

k

l

x

k

k



Zakładamy jeszcze większą liczbę warunków

c

1

=

0

   

0

)

0

(

0

0



















k

k

k

 

R

l

k

k

/

1





 

0

)

(















k

k

l

k

l

k

0

)

(

4

)

(

)

4

(

2

2

)

6

(





x

k

l

x

k

k



x

l

c

x

l

c

x

c

x

c

x

c

c

x

k

k

k





2

cos

2

sin

)

(

6

5

3

4

2

3

2

1













k

l

R

c

1

1

2



c

3

= c

4

= 0



2

1

1

5

R

c





c

6

=

0

















k

k

l

x

l

x

R

x

k





2

sin

2

1

1

)

(





























l

x

l

x

l

l

x

R

x

y







2

sin

4

2

3

2

1

)

(

3

2

2

3

Rampa przechyłkowa

Jeśli na łuku kołowym została zastosowana przechyłka,
wówczas na długości krzywej przejściowej wykonuje się
rampę przechyłkową, czyli łagodne przejście od toru
bez przechyłki na prostej do toru na łuku z
podniesionym tokiem zewnętrznym.

Rzędne rampy przechyłkowej h(x) muszą
odpowiadać krzywiźnie k(x) krzywej przejściowej, od
której zależy charakter występującego przyspieszenia
odśrodkowego.

h(x) = h

0

g(x)

• dla paraboli trzeciego stopnia

• dla krzywej Blossa

• dla cosinusoidy

• dla sinusoidy

k

l

x

x

g



)

(

k

l

x

h

x

h





0

)

(

3

3

2

2

2

3

)

(

k

k

l

x

l

x

x

g





















3

3

2

2

0

2

3

)

(

k

k

l

x

l

x

h

x

h

















k

l

x

x

g



cos

1

2

1

)

(

















k

l

x

h

x

h



cos

1

2

)

(

0

k

k

l

x

l

x

x

g





2

sin

2

1

)

(





















k

k

l

x

l

x

h

x

h





2

sin

2

1

)

(

0