Przekształcenie
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław
Papir
•Okresowość szeregu Fouriera
•Graniczne zachowanie szeregu Fouriera
•Graniczna postać szeregu Fouriera
•Para przekształceń Fouriera
•Warunek istnienia transformaty
Fouriera
Przekształcenie
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław
Papir
•Okresowość szeregu Fouriera
•Graniczne zachowanie szeregu Fouriera
•Graniczna postać szeregu Fouriera
•Para przekształceń Fouriera
•Warunek istnienia transformaty
Fouriera
Okresowość szeregu
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
T
e
X
T
t
x
e
X
t
x
n
T
t
jn
n
n
t
jn
n
2
,
o
o
o
Graniczne zachowanie
szeregu Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
x(t)
czas t
-T/2
x
T
(t)
okresowe przedłużenie okna sygnału x
T
(t)
przez szereg Fouriera
+T/2
t
x
t
x
T
T
Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
T
e
jn
T
T
X
T
n
2
,
1
1
1
1
o
o
t
e
t
t
x
1
Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
T
e
jn
T
T
X
T
n
2
,
1
1
1
1
o
o
0
0
2
o
T
n
T
T
X
T
Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
0
4
1
2
2
1
T
T
T
e
T
X
Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
2
2
2
4
1
n
T
e
T
X
T
n
Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
2
2
2
4
1
n
T
e
T
X
T
n
Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
2
2
2
4
1
n
T
e
T
X
T
n
Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
2
2
2
4
1
n
T
e
T
X
T
n
Graniczne zachowanie szeregu
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
j
X
j
e
T
TX
T
n
T
n
1
1
1
1
Ścieśnianie prążków szeregu Fouriera:
Zanikanie prążków szeregu Fouriera:
n
T
n
T
n
j
e
T
TX
jn
e
T
TX
n
n
1
1
1
1
o
o
Suma całkowa
Całka oznaczona Riemanna
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
a
b
x
f(x
)
n
x
n
x
f
b
a
n
x
n
n
n
dx
x
f
x
x
f
S
n
0
max
Graniczna postać szeregu
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Współczynniki szeregu Fouriera:
2
2
2
2
o
1
T
T
t
j
T
T
t
jn
n
dt
e
t
x
T
TX
dt
e
t
x
T
T
X
n
n
dt
e
t
x
X
T
TX
t
j
T
n
lim
PROSTE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA:
Graniczna postać szeregu
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Szereg Fouriera:
d
e
X
t
x
t
x
t
j
T
T
1
lim
ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA:
n
n
n
t
j
T
n
t
jn
n
n
t
jn
n
T
e
T
TX
t
x
e
T
TX
e
T
X
t
x
2
1
2
1
o
o
o
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
n
T
t
t
t
j
n
t
jn
T
t
t
jn
n
t
jn
T
t
t
jn
d
e
x
t
x
e
d
e
x
t
x
e
d
e
x
T
t
x
n
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
2
1
1
0
n
t
jn
n
e
X
t
x
0
)
(
T
t
t
t
jn
n
dt
e
t
X
T
X
0
0
0
)
(
1
Twierdzenie całkowe
Fouriera
Proste przekształcenie Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
n
T
t
t
t
j
d
e
x
t
x
n
0
0
2
1
d
d
e
x
t
x
t
j
2
1
dt
e
t
x
X
t
j
d
e
d
e
x
t
x
t
j
j
2
1
Twierdzenie całkowe Fouriera
Proste
przekształcenie
Fouriera
Odwrotne przekształcenie
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
d
d
e
x
e
t
x
j
t
j
2
1
dt
e
t
x
X
t
j
Odwrotne
przekształcenie
Fouriera
d
e
X
t
x
t
j
2
1
Para przekształceń
Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
PRZEKSZTAŁCENIE
dt
e
t
x
X
t
j
d
e
X
t
x
t
j
1
ODWROTNE
PROSTE
PARA
PRZEKSZTAŁCEŃ
X
t
x
X
t
x
t
x
X
1
F
F
Para przekształceń Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
j
dt
e
dt
e
e
X
e
t
t
e
t
t
x
t
j
t
j
t
t
t
1
1
0
,
0
,
0
o
1
o
1
PROSTE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA:
j
e
t
t
1
1
1
Para przekształceń Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
j
dt
e
dt
e
e
X
e
t
t
e
t
t
x
t
j
t
j
t
t
t
1
1
0
,
0
,
0
o
1
o
1
j
e
t
t
1
1
1
PARA TRANSFORMAT:
t
e
t
t
x
1
Para przekształceń Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
x
x
x
T
T
dt
e
X
t
T
t
T
t
t
x
T
T
t
j
T
sin
Sa
,
2
Sa
2
,
1
2
,
0
2
2
-
2
Sa
T
T
t
T
PARA TRANSFORMAT:
fT
T
t
x
Sa
2
Sa
T/2
-T/2
1
t
T
Para przekształceń Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
x
x
x
T
T
dt
e
t
X
t
T
t
T
t
T
t
t
x
t
j
T
T
sin
Sa
,
4
Sa
2
1
2
,
2
1
2
,
0
2
-
4
Sa
2
1
2
T
T
t
T
PARA TRANSFORMAT:
T/2
-T/2
t
T
2
Sa
4
Sa
2
2
fT
T
t
x
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Warunek istnienia
transformaty Fouriera
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Warunki Dirichleta
są warunkami
wystarczającymi
dla istnienia transformaty
Fouriera.
• Sygnał x(t) może posiadać skończoną liczbę ekstremów oraz
nieciągłości I rodzaju w przedziale [–, + ].
• Sygnał x(t) może posiadać nieciągłości II rodzaju pod
warunkiem, że jest bezwzględnie całkowalny:
dt
t
x
„Teoria sygnałów”
Zdzisław Papir
Podsumowanie
•
Szereg Fouriera reprezentuje
sygnały okresowe
bądź stanowi okresowe
przedłużenie sygnału nieokresowego.
•
Przekształcenie Fouriera (transformacja Fouriera) jest narzędziem
pozwalającym wyznaczyć częstotliwościową reprezentację
sygnału
nieokresowego
.
•
Transformata Fouriera jest granicznym przypadkiem szeregu Fouriera,
gdy horyzont obserwacji sygnału jest wydłużany do nieskończoności.
•
Warunki Dirichleta są warunkami wystarczającymi istnienia
transformaty Fouriera.
•
W zastosowaniach praktycznych można przyjąć, że warunkiem
wystarczającym istnienia transformaty Fouriera jest to, aby sygnał
był energetyczny.