Elektronika Praktyczna 6/2006

98

K U R S

W dziedzinie  sygnałów  dyskret-

nych  przyjęto,  że  transformata  Fo-

uriera  określająca  widmo  sygnału 

liczona  będzie  dla  tylu  częstotliwo-

ści,  ile  próbek  w dziedzinie  czasu 

posiada  sygnał.  Wynika  stąd  bardzo 

istotna  zależność,  określająca  tzw. 

częstotliwości  analizy  −

  czyli  często-

tliwości,  dla  których  liczone  będą 

transformaty  −  mająca  postać

 

 

(4.1)

przy  czym  m  jest  numerem  ko-

lejnego  prążka  w dziedzinie  czę-

stotliwości,  czyli  indeksem  prób-

ki  wyjściowej  transformaty,  nato-

miast  N  oznacza  całkowitą  liczbę 

próbek  ciągu  wejściowego  oraz  – 

jak  stwierdzono  wyżej  –  wyjściowe-

go.  Indeksy  m  i n  zmieniają  się  od 

zera  do  N.

Podstawiając  kolejne  częstotliwo-

ści  analizy  do  wzoru  (2.25),  dyskre-

tyzujemy  transformatę,  otrzymując

  

(4.2)

W klasycznej  notacji  z reguły  po-

mija  się  –  jako  oczywisty  –  odstęp 

w częstotliwości  f

S

 

/N  i odstęp  w cza-

sie  T

S

,  stosując  zapis  skrócony

 

 

(4.3)

Z uwagi  na  fakt,  że  liczba  ele-

mentów  obu  ciągów  jest  z góry 

znana,  sumowanie  można  sprowa-

dzić  do  konkretnych  granic,  otrzy-

mując  w efekcie

 

 

(4.4)

Otrzymana  zależność  definiu-

je  dyskretną  transformatę  Fourie-

ra  ciągu  x

 

(

 

n

 

).  Zauważmy,  że  wzór 

(4.4)  abstrahuje  od  liczbowych  war-

tości  okresu  próbkowania  i odstępu 

między  kolejnymi  prążkami  widma, 

operując  tylko  na  ciągach  liczbo-

wych.  Dla  algorytmu  implementują-

cego  DFT  nie  ma  przy  tym  znacze-

Dyskretne  przekształcenie 

Fouriera,  część  4

W poprzedniej  części  cyklu  zapoznaliśmy  się  z przekształceniem 
Fouriera  sygnału  ciągłego  i dyskretnego.  Stąd  już  tylko  krok 
dzieli  nas  od  zrozumienia  dyskretnej  i szybkiej  transformaty 
Fouriera.  W niniejszej  części  cyklu  przejdziemy  przez  ostatni 
etap  rozważań  matematycznych  i zakończymy  naszą  wędrówkę 
z dziedziny  czasu  do  dziedziny  częstotliwości  weryfikując zdobytą
wiedzę  z zastosowaniem  pakietu  do  komputerowej  analizy 
układów  elektronicznych  ICAP/4 Windows.

nia,  co  reprezentuje  sobą  ciąg  x

 

(

 

n

 

). 

W świetle  tego  jaśniejsze  staje  się 

pojęcie  widma  np.  fotografii, które

należy  rozumieć  jako  dwuwymiaro-

wą  DFT  wektora  zawierającego  bito-

wą  reprezentację  tej  fotografii.

Podobnie  jak  poprzednio,  korzy-

stając  ze  wzoru  Eulera,  możemy 

przedstawić  DFT  w postaci

 

 

(4.5)

Jak  widać,  kolejne  częstotliwości 

analizy  odpowiadają  korelacji  sygna-

łu  analizowanego  z funkcjami  harmo-

nicznymi  sinus  i kosinus,  mającymi 

kolejne  m  pełnych  okresów  w roz-

ważanym  przedziale  próbkowania.

Wyprowadzimy  teraz  pewną 

istotną  własność  DFT,  mówiącą,  że 

dyskretna  transformata  Fouriera  sy-

gnału  rzeczywistego  jest  symetrycz-

na  w sensie  sprzężonym

  

(4.6)

Znaczenie  tej  własności  jest  nie-

bagatelne,  gdyż  pokazuje,  że  tylko 

pierwszych  N/2  wyrazów  ciągu  czę-

stotliwości  jest  niezależna.  Wystar-

czy  więc  policzyć  składowe  do  tzw. 

częstotliwości  Nyquista 

 

 

(4.7)

a pozostałe  przepisać  jako  liczby 

sprzężone.

Twierdzenie  o symetrii  łatwo 

udowodnić  na  podstawie  definicji.

Policzmy  dyskretną  transformatę  Fo-

uriera  ciągu

 

 

(4.8)

Ponieważ

  

(4.9)

dla  wszystkich  całkowitych  n, 

otrzymujemy

 

 

 

        (4.10)

a więc

  

(4.11)

co  należało  udowodnić.

Ponadto  z definicji łatwo wypro-

wadzić  własność  liniowości  DFT, 

mówiącą,  że  jeśli  dwa  ciągi  o jed-

nakowej  długości  N  zostaną  zsumo-

wane  zgodnie  z zależnością

 

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4 

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy 

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału 

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których 

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

 

(4.1) 

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki 

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz – 

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

 zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

 

(4.2) 

 

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i 

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony 

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

 

(4.3) 

 

Z uwagi na fakt, 

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie 

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

 

(4.4) 

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór 

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami 

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy 

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np. 

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii. 

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci 

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

 

(4.5) 

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale 

próbkowania. 
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera 

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym 

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego. 

 

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4 

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy 

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału 

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których 

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

 

(4.1) 

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki 

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz – 

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

 zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

 

(4.2) 

 

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i 

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony 

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

 

(4.3) 

 

Z uwagi na fakt, 

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie 

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

 

(4.4) 

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór 

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami 

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy 

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np. 

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii. 

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci 

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

 

(4.5) 

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale 

próbkowania. 
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera 

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym 

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego. 

 

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4 

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy 

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału 

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których 

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

 

(4.1) 

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki 

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz – 

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

 zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

 

(4.2) 

 

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i 

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony 

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

 

(4.3) 

 

Z uwagi na fakt, 

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie 

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

 

(4.4) 

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór 

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami 

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy 

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np. 

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii. 

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci 

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

 

(4.5) 

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale 

próbkowania. 
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera 

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym 

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego. 

 

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4 

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy 

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału 

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których 

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

 

(4.1) 

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki 

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz – 

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

 zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

 

(4.2) 

 

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i 

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony 

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

 

(4.3) 

 

Z uwagi na fakt, 

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie 

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

 

(4.4) 

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór 

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami 

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy 

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np. 

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii. 

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci 

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

 

(4.5) 

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale 

próbkowania. 
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera 

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym 

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego. 

 

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4 

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy 

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału 

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których 

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

 

(4.1) 

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki 

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz – 

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

 zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

 

(4.2) 

 

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i 

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony 

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

 

(4.3) 

 

Z uwagi na fakt, 

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie 

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

 

(4.4) 

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór 

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami 

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy 

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np. 

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii. 

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci 

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

 

(4.5) 

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale 

próbkowania. 
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera 

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym 

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego. 

 

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4 

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy 

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału 

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których 

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

 

(4.1) 

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki 

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz – 

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

 zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

 

(4.2) 

 

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i 

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony 

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

 

(4.3) 

 

Z uwagi na fakt, 

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie 

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

 

(4.4) 

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór 

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami 

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy 

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np. 

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii. 

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci 

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

 

(4.5) 

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale 

próbkowania. 
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera 

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym 

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego. 

 

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4 

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy 

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału 

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których 

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

 

(4.1) 

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki 

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz – 

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

 zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

 

(4.2) 

 

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i 

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony 

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

 

(4.3) 

 

Z uwagi na fakt, 

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie 

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

 

(4.4) 

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór 

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami 

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy 

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np. 

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii. 

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci 

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

 

(4.5) 

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale 

próbkowania. 
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera 

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym 

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego. 

 

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.6) 

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu 

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista 

2

S

N

f

f

=

 

(4.7) 

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one. 

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

 

(4.8) 

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

 

(4.9) 

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy 

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

 

(4.10) 

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.11) 

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi 

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

 

(4.12) 

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych 

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

 

(4.13) 

AMPLITUDA DFT 
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o 

amplitudzie A

0

 i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

 jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

 

(4.14) 

 

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�), 

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych 

cz

�stotliwo�ci analizy. 

 

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym 

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za 

pomoc

� funkcji sinc, tzn. 

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

 

(4.15) 

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata 

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5]. 

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy 

za miesi

�c.

1

 Co oznacza, 

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1). 

 

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.6) 

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu 

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista 

2

S

N

f

f

=

 

(4.7) 

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one. 

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

 

(4.8) 

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

 

(4.9) 

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy 

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

 

(4.10) 

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.11) 

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi 

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

 

(4.12) 

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych 

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

 

(4.13) 

AMPLITUDA DFT 
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o 

amplitudzie A

0

 i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

 jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

 

(4.14) 

 

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�), 

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych 

cz

�stotliwo�ci analizy. 

 

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym 

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za 

pomoc

� funkcji sinc, tzn. 

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

 

(4.15) 

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata 

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5]. 

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy 

za miesi

�c.

1

 Co oznacza, 

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1). 

 

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.6) 

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu 

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista 

2

S

N

f

f

=

 

(4.7) 

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one. 

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

 

(4.8) 

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

 

(4.9) 

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy 

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

 

(4.10) 

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.11) 

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi 

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

 

(4.12) 

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych 

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

 

(4.13) 

AMPLITUDA DFT 
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o 

amplitudzie A

0

 i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

 jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

 

(4.14) 

 

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�), 

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych 

cz

�stotliwo�ci analizy. 

 

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym 

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za 

pomoc

� funkcji sinc, tzn. 

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

 

(4.15) 

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata 

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5]. 

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy 

za miesi

�c.

1

 Co oznacza, 

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1). 

 

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.6) 

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu 

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista 

2

S

N

f

f

=

 

(4.7) 

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one. 

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

 

(4.8) 

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

 

(4.9) 

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy 

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

 

(4.10) 

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.11) 

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi 

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

 

(4.12) 

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych 

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

 

(4.13) 

AMPLITUDA DFT 
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o 

amplitudzie A

0

 i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

 jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

 

(4.14) 

 

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�), 

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych 

cz

�stotliwo�ci analizy. 

 

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym 

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za 

pomoc

� funkcji sinc, tzn. 

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

 

(4.15) 

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata 

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5]. 

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy 

za miesi

�c.

1

 Co oznacza, 

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1). 

 

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.6) 

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu 

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista 

2

S

N

f

f

=

 

(4.7) 

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one. 

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

 

(4.8) 

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

 

(4.9) 

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy 

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

 

(4.10) 

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.11) 

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi 

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

 

(4.12) 

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych 

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

 

(4.13) 

AMPLITUDA DFT 
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o 

amplitudzie A

0

 i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

 jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

 

(4.14) 

 

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�), 

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych 

cz

�stotliwo�ci analizy. 

 

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym 

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za 

pomoc

� funkcji sinc, tzn. 

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

 

(4.15) 

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata 

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5]. 

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy 

za miesi

�c.

1

 Co oznacza, 

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1). 

 

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.6) 

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu 

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista 

2

S

N

f

f

=

 

(4.7) 

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one. 

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

 

(4.8) 

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

 

(4.9) 

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy 

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

 

(4.10) 

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.11) 

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi 

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

 

(4.12) 

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych 

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

 

(4.13) 

AMPLITUDA DFT 
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o 

amplitudzie A

0

 i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

 jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

 

(4.14) 

 

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�), 

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych 

cz

�stotliwo�ci analizy. 

 

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym 

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za 

pomoc

� funkcji sinc, tzn. 

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

 

(4.15) 

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata 

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5]. 

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy 

za miesi

�c.

1

 Co oznacza, 

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1). 

 

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.6) 

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu 

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista 

2

S

N

f

f

=

 

(4.7) 

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one. 

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

 

(4.8) 

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

 

(4.9) 

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy 

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

 

(4.10) 

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.11) 

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi 

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

 

(4.12) 

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych 

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

 

(4.13) 

AMPLITUDA DFT 
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o 

amplitudzie A

0

 i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

 jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

 

(4.14) 

 

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�), 

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych 

cz

�stotliwo�ci analizy. 

 

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym 

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za 

pomoc

� funkcji sinc, tzn. 

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

 

(4.15) 

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata 

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5]. 

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy 

za miesi

�c.

1

 Co oznacza, 

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1). 

Rys. 16. Deklaracja sygnału harmo-
nicznego o częstotliwości 1 kHz

Rys. 17. Deklaracja parametrów ana-
lizy czasowej

   99

Elektronika Praktyczna 6/2006

K U R S

  

(4.12)

to  transformata  sumy  tych  sy-

gnałów  będzie  odpowiednią  sumą 

transformat  sygnałów  składowych

 

  

(4.13)

Amplituda DFT

Komentarza  wymagają  warto-

ści  amplitud  poszczególnych  skła-

dowych  DFT.  W szczególnych  przy-

padkach,  gdy  transformacji  podda-

jemy  sygnał  rzeczywisty  zawierają-

cy  składową  harmoniczną  o ampli-

tudzie  A

0

  i takiej  częstotliwości  f

0

, 

że  w przedziale  N  próbek  wejścio-

wych  zawiera  się  całkowita  liczba 

okresów  tego  sygnału,  to  amplitu-

da  prążka  odpowiadającego  często-

tliwości  f

0

  jest  równa

 

 

 

(4.14)

Dowolny  sygnał  wejściowy,  któ-

rego  częstotliwość  nie  jest  dokład-

nie  równa  jednej  z częstotliwości, 

dla  których  jest  liczona  transfor-

mata  (tzn.,  gdy  f

0

 ≠ k f

analizy

,  gdzie 

k

  jest  liczbą  naturalną),  „przecie-

ka”  do  wszystkich  innych  prąż-

ków  DFT,  fałszując  widmo  sygna-

łu.  Można  stwierdzic,  że  zawsze 

 

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.6) 

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu 

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista 

2

S

N

f

f

=

 

(4.7) 

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one. 

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

 

(4.8) 

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

 

(4.9) 

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy 

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

 

(4.10) 

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.11) 

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi 

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

 

(4.12) 

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych 

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

 

(4.13) 

AMPLITUDA DFT 
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o 

amplitudzie A

0

 i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

 jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

 

(4.14) 

 

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�), 

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych 

cz

�stotliwo�ci analizy. 

 

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym 

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za 

pomoc

� funkcji sinc, tzn. 

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

 

(4.15) 

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata 

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5]. 

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy 

za miesi

�c.

1

 Co oznacza, 

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1). 

 

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.6) 

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu 

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista 

2

S

N

f

f

=

 

(4.7) 

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one. 

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

 

(4.8) 

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

 

(4.9) 

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy 

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

 

(4.10) 

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.11) 

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi 

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

 

(4.12) 

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych 

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

 

(4.13) 

AMPLITUDA DFT 
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o 

amplitudzie A

0

 i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

 jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

 

(4.14) 

 

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�), 

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych 

cz

�stotliwo�ci analizy. 

 

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym 

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za 

pomoc

� funkcji sinc, tzn. 

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

 

(4.15) 

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata 

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5]. 

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy 

za miesi

�c.

1

 Co oznacza, 

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1). 

 

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.6) 

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu 

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista 

2

S

N

f

f

=

 

(4.7) 

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one. 

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

 

(4.8) 

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

 

(4.9) 

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy 

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

 

(4.10) 

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.11) 

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi 

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

 

(4.12) 

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych 

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

 

(4.13) 

AMPLITUDA DFT 
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o 

amplitudzie A

0

 i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

 jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

 

(4.14) 

 

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�), 

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych 

cz

�stotliwo�ci analizy. 

 

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym 

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za 

pomoc

� funkcji sinc, tzn. 

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

 

(4.15) 

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata 

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5]. 

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy 

za miesi

�c.

1

 Co oznacza, 

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1). 

zostaje  „kawałek”  okresu, 

który  nie  zeruje  się  w ko-

relacji  z pełnymi  okresa-

mi  kolejnych  częstotliwo-

ści  analizy.

Dla  rzeczywistego  prze-

biegu  harmonicznego,  za-

wierającego  k  okresów  w N–

–punktowym  ciągu  wejścio-

wym,  wartości  prążków  N–

–punktowej  DFT  w funkcji 

indeksu  m  są  aproksymowa-

ne  za  pomocą  funkcji  sinc, 

tzn.

 

   

(4.15)

Funkcja  sinc  nie  jest  tu  przy-

padkowa,  gdyż  taką  właśnie  funk-

cją  wyraża  się  ciągła  transformata 

Fouriera  funkcji  prostokątnej.

Szybka transformata Fouriera

Dotychczas  niemalże  zamiennie 

stosowałem  określenia  DFT  i FFT. 

W tym  miejscu  chciałbym  wy-raź-

nie  podkreślić,  że  algorytm  FFT 

wylicza  dokładnie  DFT,  nie  korzy-

sta  jednak  z definicji, lecz stosuje

opublikowane  przez  J.  Cooleya  i J. 

Tuckeya  w roku  1965  wydajne  roz-

wiązanie,  oparte  na  symetrii  funk-

cji  harmonicznych.  Jedynym  ogra-

niczeniem  FFT  jest  wymaganie, 

aby  ciąg  wejściowy  zawierał  licz-

bę  wyrazów  równą  całkowitej  po-

tędze  liczby  2.  Nie  stanowi  to  jed-

nak  istotnego  problemu,  bowiem 

w ostateczności  można  odpowied-

nio  uzupełnić  ciąg  wejściowy  wy-

razami  zerowymi.

W celu  zilustrowania  zastosowa-

nia  procedury  FFT  i samodzielnego 

przetestowania  jej  właściwości  wy-

korzystamy  postprocesor  graficzny

IntuScope,  wchodzący  w skład  pa-

kietu  ICAP/4  Windows  firmy Intu-

soft.  Na  początek  generujemy  ide-

alny  sygnał  harmoniczny  o długo-

ści  1024  próbek.  Najprościej 

można  to  zrobić,  deklaru-

jąc  stosowne  źródło  i wy-

korzystując  program  IsSpi-

ce  4.  Odpowiednią  deklara-

cję  pokazano  na 

rys.  16.

Na 

rys.  17  przedstawio-

no  ustawienia  parametrów 

analizy  czasowej  gwarantują-

ce  dobre  odwzoro-wanie  ba-

danego  sygnału  harmoniczne-

go  (dziesięć  próbek  na  jeden 

okres  przebiegu)  oraz  zapew-

nia-jące  wymaganą  liczbę 

próbek  (tu  1024  próbki).

Po  wykonaniu  symulacji  wczy-

tujemy  wyniki  analizy  czasowej  do 

postprocesora  graficznego i wybiera-

my  podstawę  algorytmu  FFT,  tak 

jak  pokazano  na 

rys.  18.

Następnie  z menu  Complex  wy-

bieramy  opcję  FFT  time  to  mag 

i uzyskujmy  widmo  pokazane  na 

rys.  19.

Po  zmianie  typu  wykresu  na 

słupkowy  (

rys.  20)  uzyskujemy  osta-

teczne  widmo  badanego  sygnału.

Ponieważ  widzimy  wyraźny 

przeciek  sygnału  do  sąsiednich 

prążków,  to  w celu  poprawy  od-

wzorowania  sygnału  w dziedzinie 

częstotliwości  stosujemy  okienko-

wanie.

Po  wywołaniu  szybkiej  transfor-

maty  Fouriera  otrzymujemy  widmo 

przedstawione  na 

rys.  21.

Jak  widać  z porównania  ry-

sunków,  przeciek  został  zmniej-

szony,  co  potwierdza  sensowność 

okien-kowania  sygnału.  Czytelniko-

wi  pozostawiam  analizę  z zastoso-

waniem  różnej  ilości  próbek  i róż-

nych  funkcji  okien.  Jedynie  samo-

dzielne  eksperymenty  pozwolą  na-

brać  doświadczenia  w wyznaczaniu 

widm  sygnałów  za  pomocą  dostęp-

nych  przyrządów  i narzędzi  progra-

mistycznych.

Andrzej  Dobrowolski

http://adobrowolski.wel.wat.edu.pl

 

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.6) 

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu 

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista 

2

S

N

f

f

=

 

(4.7) 

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one. 

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

 

(4.8) 

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

 

(4.9) 

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy 

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

 

(4.10) 

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

 

(4.11) 

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi 

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

 

(4.12) 

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych 

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

 

(4.13) 

AMPLITUDA DFT 
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o 

amplitudzie A

0

 i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

 jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

 

(4.14) 

 

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�), 

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych 

cz

�stotliwo�ci analizy. 

 

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym 

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za 

pomoc

� funkcji sinc, tzn. 

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

 

(4.15) 

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata 

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5]. 

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy 

za miesi

�c.

1

 Co oznacza, 

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1). 

Rys. 18. Wybór długości ciągu do anali-
zy FFT

Rys. 19. Wstępnie wyskalowany wynik dzia-
łania algorytmu FFT

Rys. 20. Reprezentacja „słupkowa” widma

Rys. 21. Sygnał po operacji okienkowania