Elektronika Praktyczna 6/2006

98

K U R S

W dziedzinie sygnałów dyskret-

nych przyjęto, że transformata Fo-

uriera określająca widmo sygnału

liczona będzie dla tylu częstotliwo-

ści, ile próbek w dziedzinie czasu

posiada sygnał. Wynika stąd bardzo

istotna zależność, określająca tzw.

częstotliwości analizy −

czyli często-

tliwości, dla których liczone będą

transformaty − mająca postać

(4.1)

przy czym m jest numerem ko-

lejnego prążka w dziedzinie czę-

stotliwości, czyli indeksem prób-

ki wyjściowej transformaty, nato-

miast N oznacza całkowitą liczbę

próbek ciągu wejściowego oraz –

jak stwierdzono wyżej – wyjściowe-

go. Indeksy m i n zmieniają się od

zera do N.

Podstawiając kolejne częstotliwo-

ści analizy do wzoru (2.25), dyskre-

tyzujemy transformatę, otrzymując

(4.2)

W klasycznej notacji z reguły po-

mija się – jako oczywisty – odstęp

w częstotliwości f

S

/N i odstęp w cza-

sie T

S

, stosując zapis skrócony

(4.3)

Z uwagi na fakt, że liczba ele-

mentów obu ciągów jest z góry

znana, sumowanie można sprowa-

dzić do konkretnych granic, otrzy-

mując w efekcie

(4.4)

Otrzymana zależność definiu-

je dyskretną transformatę Fourie-

ra ciągu x

(

n

). Zauważmy, że wzór

(4.4) abstrahuje od liczbowych war-

tości okresu próbkowania i odstępu

między kolejnymi prążkami widma,

operując tylko na ciągach liczbo-

wych. Dla algorytmu implementują-

cego DFT nie ma przy tym znacze-

Dyskretne przekształcenie

Fouriera, część 4

W poprzedniej części cyklu zapoznaliśmy się z przekształceniem
Fouriera sygnału ciągłego i dyskretnego. Stąd już tylko krok
dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty
Fouriera. W niniejszej części cyklu przejdziemy przez ostatni
etap rozważań matematycznych i zakończymy naszą wędrówkę
z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości weryfikując zdobytą
wiedzę z zastosowaniem pakietu do komputerowej analizy
układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

nia, co reprezentuje sobą ciąg x

(

n

).

W świetle tego jaśniejsze staje się

pojęcie widma np. fotografii, które

należy rozumieć jako dwuwymiaro-

wą DFT wektora zawierającego bito-

wą reprezentację tej fotografii.

Podobnie jak poprzednio, korzy-

stając ze wzoru Eulera, możemy

przedstawić DFT w postaci

(4.5)

Jak widać, kolejne częstotliwości

analizy odpowiadają korelacji sygna-

łu analizowanego z funkcjami harmo-

nicznymi sinus i kosinus, mającymi

kolejne m pełnych okresów w roz-

ważanym przedziale próbkowania.

Wyprowadzimy teraz pewną

istotną własność DFT, mówiącą, że

dyskretna transformata Fouriera sy-

gnału rzeczywistego jest symetrycz-

na w sensie sprzężonym

(4.6)

Znaczenie tej własności jest nie-

bagatelne, gdyż pokazuje, że tylko

pierwszych N/2 wyrazów ciągu czę-

stotliwości jest niezależna. Wystar-

czy więc policzyć składowe do tzw.

częstotliwości Nyquista

(4.7)

a pozostałe przepisać jako liczby

sprzężone.

Twierdzenie o symetrii łatwo

udowodnić na podstawie definicji.

Policzmy dyskretną transformatę Fo-

uriera ciągu

(4.8)

Ponieważ

(4.9)

dla wszystkich całkowitych n,

otrzymujemy

(4.10)

a więc

(4.11)

co należało udowodnić.

Ponadto z definicji łatwo wypro-

wadzić własność liniowości DFT,

mówiącą, że jeśli dwa ciągi o jed-

nakowej długości N zostaną zsumo-

wane zgodnie z zależnością

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

(4.1)

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz –

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

(4.2)

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

(4.3)

Z uwagi na fakt,

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

(4.4)

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np.

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii.

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

(4.5)

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale

próbkowania.
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego.

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

(4.1)

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz –

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

(4.2)

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

(4.3)

Z uwagi na fakt,

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

(4.4)

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np.

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii.

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

(4.5)

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale

próbkowania.
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego.

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

(4.1)

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz –

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

(4.2)

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

(4.3)

Z uwagi na fakt,

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

(4.4)

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np.

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii.

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

(4.5)

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale

próbkowania.
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego.

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

(4.1)

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz –

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

(4.2)

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

(4.3)

Z uwagi na fakt,

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

(4.4)

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np.

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii.

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

(4.5)

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale

próbkowania.
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego.

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

(4.1)

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz –

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

(4.2)

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

(4.3)

Z uwagi na fakt,

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

(4.4)

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np.

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii.

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

(4.5)

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale

próbkowania.
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego.

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

(4.1)

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz –

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

(4.2)

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

(4.3)

Z uwagi na fakt,

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

(4.4)

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np.

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii.

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

(4.5)

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale

próbkowania.
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego.

1

Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz

��� 4

W poprzedniej cz

��ci cyklu zapoznali�my si� z przekształceniem Fouriera sygnału ci�głego i dys-

kretnego. St

�d ju� tylko krok dzieli nas od zrozumienia dyskretnej i szybkiej transformaty Fouriera.

W niniejszej cz

��ci cyklu przejdziemy przez ostatni etap rozwa�a� matematycznych i zako�czymy

nasz

� w�drówk� z dziedziny czasu do dziedziny cz�stotliwo�ci weryfikuj�c zdobyt� wiedz� z zasto-

sowaniem pakietu do komputerowej analizy układów elektronicznych ICAP/4 Windows.

W dziedzinie sygnałów dyskretnych przyj

�to, �e transformata Fouriera okre�laj�ca widmo sygnału

liczona b

�dzie dla tylu cz�stotliwo�ci, ile próbek w dziedzinie czasu posiada sygnał. Wynika st�d

bardzo istotna zale

�no��, okre�laj�ca tzw. cz�stotliwo�ci analizy − czyli cz�stotliwo�ci, dla których

liczone b

�d� transformaty − maj�ca posta�

N

f

m

f

m

f

S

analizy

⋅

=

∆

⋅

=

(4.1)

przy czym m jest numerem kolejnego pr

��ka w dziedzinie cz�stotliwo�ci, czyli indeksem próbki

wyj

�ciowej transformaty, natomiast N oznacza całkowit� liczb� próbek ci�gu wej�ciowego oraz –

jak stwierdzono wy

�ej – wyj�ciowego. Indeksy m i n

1

zmieniaj

� si� od zera do N.

Podstawiaj

�c kolejne cz�stotliwo�ci analizy do wzoru (2.25), dyskretyzujemy transformat�, otrzy-

muj

�c

( )

( )

�

�

∞

−∞

=

π

−

∞

−∞

=

π

−

=

=

�

�

�

�

�

�

n

N

mn

S

n

nT

N

f

m

S

S

nT

x

nT

x

N

f

m

X

S

S

2

j

2

j

e

e

(4.2)

W klasycznej notacji z reguły pomija si

� – jako oczywisty – odst�p w cz�stotliwo�ci f

S

/N i

odst

�p w czasie T

S

, stosuj

�c zapis skrócony

( )

( )

�

∞

−∞

=

π

−

=

n

N

mn

n

x

m

X

2

j

e

(4.3)

Z uwagi na fakt,

�e liczba elementów obu ci�gów jest z góry znana, sumowanie mo�na

sprowadzi

� do konkretnych granic, otrzymuj�c w efekcie

( )

( )

�

−

=

π

−

=

1

0

2

j

e

N

n

N

mn

n

x

m

X

(4.4)

Otrzymana zale

�no�� definiuje dyskretn� transformat� Fouriera ci�gu x(n). Zauwa�my, �e wzór

(4.4) abstrahuje od liczbowych warto

�ci okresu próbkowania i odst�pu mi�dzy kolejnymi pr��kami

widma, operuj

�c tylko na ci�gach liczbowych. Dla algorytmu implementuj�cego DFT nie ma przy

tym znaczenia, co reprezentuje sob

� ci�g x(n). W �wietle tego ja�niejsze staje si� poj�cie widma np.

fotografii, które nale

�y rozumie� jako dwuwymiarow� DFT wektora zawieraj�cego bitow� repre-

zentacj

� tej fotografii.

Podobnie jak poprzednio, korzystaj

�c ze wzoru Eulera, mo�emy przedstawi� DFT w postaci

( )

( )

�

−

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� π

−

�

�

�

�

�

� π

=

1

0

2

sin

j

2

cos

N

n

N

mn

N

mn

n

x

m

X

(4.5)

Jak wida

�, kolejne cz�stotliwo�ci analizy odpowiadaj� korelacji sygnału analizowanego z funkcja-

mi harmonicznymi sinus i kosinus, maj

�cymi kolejne m pełnych okresów w rozwa�anym przedziale

próbkowania.
Wyprowadzimy teraz pewn

� istotn� własno�� DFT, mówi�c�, �e dyskretna transformata Fouriera

sygnału rzeczywistego jest symetryczna w sensie sprz

��onym

1

n indeksuje próbki ci

�gu czasowego.

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.6)

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista

2

S

N

f

f

=

(4.7)

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one.

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

(4.8)

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

(4.9)

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

(4.10)

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.11)

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

(4.12)

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

(4.13)

AMPLITUDA DFT
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o

amplitudzie A

0

i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

(4.14)

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�),

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych

cz

�stotliwo�ci analizy.

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za

pomoc

� funkcji sinc, tzn.

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

(4.15)

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5].

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy

za miesi

�c.

1

Co oznacza,

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1).

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.6)

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista

2

S

N

f

f

=

(4.7)

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one.

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

(4.8)

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

(4.9)

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

(4.10)

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.11)

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

(4.12)

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

(4.13)

AMPLITUDA DFT
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o

amplitudzie A

0

i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

(4.14)

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�),

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych

cz

�stotliwo�ci analizy.

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za

pomoc

� funkcji sinc, tzn.

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

(4.15)

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5].

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy

za miesi

�c.

1

Co oznacza,

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1).

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.6)

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista

2

S

N

f

f

=

(4.7)

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one.

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

(4.8)

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

(4.9)

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

(4.10)

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.11)

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

(4.12)

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

(4.13)

AMPLITUDA DFT
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o

amplitudzie A

0

i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

(4.14)

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�),

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych

cz

�stotliwo�ci analizy.

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za

pomoc

� funkcji sinc, tzn.

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

(4.15)

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5].

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy

za miesi

�c.

1

Co oznacza,

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1).

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.6)

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista

2

S

N

f

f

=

(4.7)

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one.

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

(4.8)

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

(4.9)

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

(4.10)

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.11)

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

(4.12)

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

(4.13)

AMPLITUDA DFT
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o

amplitudzie A

0

i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

(4.14)

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�),

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych

cz

�stotliwo�ci analizy.

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za

pomoc

� funkcji sinc, tzn.

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

(4.15)

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5].

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy

za miesi

�c.

1

Co oznacza,

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1).

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.6)

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista

2

S

N

f

f

=

(4.7)

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one.

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

(4.8)

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

(4.9)

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

(4.10)

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.11)

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

(4.12)

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

(4.13)

AMPLITUDA DFT
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o

amplitudzie A

0

i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

(4.14)

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�),

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych

cz

�stotliwo�ci analizy.

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za

pomoc

� funkcji sinc, tzn.

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

(4.15)

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5].

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy

za miesi

�c.

1

Co oznacza,

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1).

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.6)

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista

2

S

N

f

f

=

(4.7)

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one.

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

(4.8)

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

(4.9)

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

(4.10)

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.11)

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

(4.12)

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

(4.13)

AMPLITUDA DFT
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o

amplitudzie A

0

i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

(4.14)

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�),

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych

cz

�stotliwo�ci analizy.

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za

pomoc

� funkcji sinc, tzn.

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

(4.15)

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5].

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy

za miesi

�c.

1

Co oznacza,

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1).

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.6)

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista

2

S

N

f

f

=

(4.7)

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one.

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

(4.8)

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

(4.9)

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

(4.10)

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.11)

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

(4.12)

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

(4.13)

AMPLITUDA DFT
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o

amplitudzie A

0

i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

(4.14)

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�),

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych

cz

�stotliwo�ci analizy.

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za

pomoc

� funkcji sinc, tzn.

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

(4.15)

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5].

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy

za miesi

�c.

1

Co oznacza,

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1).

Rys. 16. Deklaracja sygnału harmo-
nicznego o częstotliwości 1 kHz

Rys. 17. Deklaracja parametrów ana-
lizy czasowej

99

Elektronika Praktyczna 6/2006

K U R S

(4.12)

to transformata sumy tych sy-

gnałów będzie odpowiednią sumą

transformat sygnałów składowych

(4.13)

Amplituda DFT

Komentarza wymagają warto-

ści amplitud poszczególnych skła-

dowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji podda-

jemy sygnał rzeczywisty zawierają-

cy składową harmoniczną o ampli-

tudzie A

0

i takiej częstotliwości f

0

,

że w przedziale N próbek wejścio-

wych zawiera się całkowita liczba

okresów tego sygnału, to amplitu-

da prążka odpowiadającego często-

tliwości f

0

jest równa

(4.14)

Dowolny sygnał wejściowy, któ-

rego częstotliwość nie jest dokład-

nie równa jednej z częstotliwości,

dla których jest liczona transfor-

mata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie

k

jest liczbą naturalną), „przecie-

ka” do wszystkich innych prąż-

ków DFT, fałszując widmo sygna-

łu. Można stwierdzic, że zawsze

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.6)

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista

2

S

N

f

f

=

(4.7)

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one.

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

(4.8)

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

(4.9)

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

(4.10)

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.11)

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

(4.12)

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

(4.13)

AMPLITUDA DFT
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o

amplitudzie A

0

i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

(4.14)

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�),

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych

cz

�stotliwo�ci analizy.

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za

pomoc

� funkcji sinc, tzn.

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

(4.15)

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5].

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy

za miesi

�c.

1

Co oznacza,

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1).

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.6)

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista

2

S

N

f

f

=

(4.7)

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one.

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

(4.8)

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

(4.9)

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

(4.10)

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.11)

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

(4.12)

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

(4.13)

AMPLITUDA DFT
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o

amplitudzie A

0

i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

(4.14)

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�),

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych

cz

�stotliwo�ci analizy.

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za

pomoc

� funkcji sinc, tzn.

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

(4.15)

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5].

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy

za miesi

�c.

1

Co oznacza,

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1).

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.6)

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista

2

S

N

f

f

=

(4.7)

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one.

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

(4.8)

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

(4.9)

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

(4.10)

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.11)

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

(4.12)

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

(4.13)

AMPLITUDA DFT
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o

amplitudzie A

0

i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

(4.14)

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�),

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych

cz

�stotliwo�ci analizy.

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za

pomoc

� funkcji sinc, tzn.

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

(4.15)

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5].

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy

za miesi

�c.

1

Co oznacza,

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1).

zostaje „kawałek” okresu,

który nie zeruje się w ko-

relacji z pełnymi okresa-

mi kolejnych częstotliwo-

ści analizy.

Dla rzeczywistego prze-

biegu harmonicznego, za-

wierającego k okresów w N–

–punktowym ciągu wejścio-

wym, wartości prążków N–

–punktowej DFT w funkcji

indeksu m są aproksymowa-

ne za pomocą funkcji sinc,

tzn.

(4.15)

Funkcja sinc nie jest tu przy-

padkowa, gdyż taką właśnie funk-

cją wyraża się ciągła transformata

Fouriera funkcji prostokątnej.

Szybka transformata Fouriera

Dotychczas niemalże zamiennie

stosowałem określenia DFT i FFT.

W tym miejscu chciałbym wy-raź-

nie podkreślić, że algorytm FFT

wylicza dokładnie DFT, nie korzy-

sta jednak z definicji, lecz stosuje

opublikowane przez J. Cooleya i J.

Tuckeya w roku 1965 wydajne roz-

wiązanie, oparte na symetrii funk-

cji harmonicznych. Jedynym ogra-

niczeniem FFT jest wymaganie,

aby ciąg wejściowy zawierał licz-

bę wyrazów równą całkowitej po-

tędze liczby 2. Nie stanowi to jed-

nak istotnego problemu, bowiem

w ostateczności można odpowied-

nio uzupełnić ciąg wejściowy wy-

razami zerowymi.

W celu zilustrowania zastosowa-

nia procedury FFT i samodzielnego

przetestowania jej właściwości wy-

korzystamy postprocesor graficzny

IntuScope, wchodzący w skład pa-

kietu ICAP/4 Windows firmy Intu-

soft. Na początek generujemy ide-

alny sygnał harmoniczny o długo-

ści 1024 próbek. Najprościej

można to zrobić, deklaru-

jąc stosowne źródło i wy-

korzystując program IsSpi-

ce 4. Odpowiednią deklara-

cję pokazano na

rys. 16.

Na

rys. 17 przedstawio-

no ustawienia parametrów

analizy czasowej gwarantują-

ce dobre odwzoro-wanie ba-

danego sygnału harmoniczne-

go (dziesięć próbek na jeden

okres przebiegu) oraz zapew-

nia-jące wymaganą liczbę

próbek (tu 1024 próbki).

Po wykonaniu symulacji wczy-

tujemy wyniki analizy czasowej do

postprocesora graficznego i wybiera-

my podstawę algorytmu FFT, tak

jak pokazano na

rys. 18.

Następnie z menu Complex wy-

bieramy opcję FFT time to mag

i uzyskujmy widmo pokazane na

rys. 19.

Po zmianie typu wykresu na

słupkowy (

rys. 20) uzyskujemy osta-

teczne widmo badanego sygnału.

Ponieważ widzimy wyraźny

przeciek sygnału do sąsiednich

prążków, to w celu poprawy od-

wzorowania sygnału w dziedzinie

częstotliwości stosujemy okienko-

wanie.

Po wywołaniu szybkiej transfor-

maty Fouriera otrzymujemy widmo

przedstawione na

rys. 21.

Jak widać z porównania ry-

sunków, przeciek został zmniej-

szony, co potwierdza sensowność

okien-kowania sygnału. Czytelniko-

wi pozostawiam analizę z zastoso-

waniem różnej ilości próbek i róż-

nych funkcji okien. Jedynie samo-

dzielne eksperymenty pozwolą na-

brać doświadczenia w wyznaczaniu

widm sygnałów za pomocą dostęp-

nych przyrządów i narzędzi progra-

mistycznych.

Andrzej Dobrowolski

http://adobrowolski.wel.wat.edu.pl

2

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.6)

Znaczenie tej własno

�ci jest niebagatelne, gdy� pokazuje, �e tylko pierwszych N/2 wyrazów ci�gu

cz

�stotliwo�ci jest niezale�na. Wystarczy wi�c policzy� składowe do tzw. cz�stotliwo�ci Nyquista

2

S

N

f

f

=

(4.7)

a pozostałe przepisa

� jako liczby sprz��one.

Twierdzenie o symetrii łatwo udowodni

� na podstawie definicji. Policzmy dyskretn� transformat�

Fouriera ci

�gu

(

)

( )

(

)

( )

�

�

−

=

π

π

−

−

=

−

π

−

=

=

−

1

0

2

j

2

j

1

0

2

j

e

e

e

N

n

N

m

n

n

N

n

N

n

m

N

n

x

n

x

m

N

X

(4.8)

Poniewa

�

1

e

2

j

=

π

−

n

(4.9)

dla wszystkich całkowitych n, otrzymujemy

(

)

( )

( )

m

X

n

x

m

N

X

N

n

N

nm

*

1

0

2

j

e

=

=

−

�

−

=

π

(4.10)

a wi

�c

( )

(

)

m

N

X

m

X

−

=

*

(4.11)

co nale

�ało udowodni�.

Ponadto z definicji łatwo wyprowadzi

� własno�� liniowo�ci DFT [3, 4], mówi�c�, �e je�li dwa ci�gi

o jednakowej długo

�ci N zostan� zsumowane zgodnie z zale�no�ci�

( )

( )

( )

n

x

b

n

x

a

n

x

sum

2

1

+

=

(4.12)

to transformata sumy tych sygnałów b

�dzie odpowiedni� sum� transformat sygnałów składowych

( )

( )

( )

m

X

b

m

X

a

m

X

sum

2

1

+

=

(4.13)

AMPLITUDA DFT
Komentarza wymagaj

� warto�ci amplitud poszczególnych składowych DFT. W szczególnych przy-

padkach, gdy transformacji poddajemy sygnał rzeczywisty zawieraj

�cy składow� harmoniczn� o

amplitudzie A

0

i takiej cz

�stotliwo�ci f

0

,

�e w przedziale N próbek wej�ciowych zawiera si� całko-

wita liczba okresów tego sygnału

1

, to amplituda pr

��ka odpowiadaj�cego cz�stotliwo�ci f

0

jest rów-

na

2

0

N

A

A

m

⋅

=

(4.14)

Dowolny sygnał wej

�ciowy, którego cz�stotliwo�� nie jest dokładnie równa jednej z cz�sto-

tliwo

�ci, dla których jest liczona transformata (tzn., gdy f

0

≠ k f

analizy

, gdzie k jest liczb

� naturaln�),

„przecieka” do wszystkich innych pr

��ków DFT, fałszuj�c widmo sygnału. Mo�na stwierdzic, �e

zawsze zostaje „kawałek” okresu, który nie zeruje si

� w korelacji z pełnymi okresami kolejnych

cz

�stotliwo�ci analizy.

Dla rzeczywistego przebiegu harmonicznego, zawieraj

�cego k okresów w N-punktowym

ci

�gu wej�ciowym, warto�ci pr��ków N-punktowej DFT w funkcji indeksu m s� aproksymowane za

pomoc

� funkcji sinc, tzn.

( )

(

)

[

]

(

)

m

k

m

k

N

m

X

−

π

−

π

⋅

=

sin

2

(4.15)

Funkcja sinc nie jest tu przypadkowa, gdy

� tak� wła�nie funkcj� wyra�a si� ci�gła transformata

Fouriera funkcji prostok

�tnej [5].

Wyniki praktycznych analiza wykonanych za pomoc

� symulatora ICAP/4 Windows przedstawimy

za miesi

�c.

1

Co oznacza,

�e cz�stotliwo�� sygnału jest równa jednej z cz�stotliwo�ci analizy, danej wzorem (4.1).

Rys. 18. Wybór długości ciągu do anali-
zy FFT

Rys. 19. Wstępnie wyskalowany wynik dzia-
łania algorytmu FFT

Rys. 20. Reprezentacja „słupkowa” widma

Rys. 21. Sygnał po operacji okienkowania