Dyskretna transformata Fouriera

zadania na ćwiczenia

Zad. 1. Udowodnij, że jeśli F

N

: (y

k

) → (Y

n

), to

a) F

N

: (y

−k

) → (Y

−n

),

b) F

N

: (y

k

) → (Y

n

),

c) F

N

: (

y

−k

) → (Y

n

).

Zad. 2. Wykaż, że jeśli F

N

: (y

k

) → (Y

n

), to zachodzą własności:

a) (y

k

) jest parzysty (nieparzysty) ⇐⇒ (Y

n

) jest parzysty (nieparzysty),

b) (y

k

) jest rzeczywisty ⇐⇒ Y

−n

= Y

n

dla każdego n ∈ Z,

c) (y

k

) jest parzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ (Y

n

) jest parzystym cią-

giem liczb rzeczywistych,

d) (y

k

) jest nieparzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ (Y

n

) jest nieparzystym

ciągiem liczb czysto urojonych.

Zad. 3. Niech (x

k

) i (y

k

) będą dwoma zespolonymi ciągami o okresie N i niech (X

k

) i (Y

k

)

oznaczają ich DFT. Udowodnij, że

a) transformata splotu cyklicznego, tzn. ciągu zdefiniowanego wzorem

z

k

=

N −1

X

q=0

x

q

y

k−q

,

k ∈ Z,

ma postać

F

N

: (z

k

) → (Z

n

= N X

n

Y

n

),

b) transformata iloczynu ciągów (x

k

) i (y

k

) ma postać

F

N

: (p

k

= x

k

y

k

) → (P

n

=

N −1

X

q=0

X

q

Y

n−q

).

Zad. 4. Udowodnij, że jeśli F

N

: (y

k

) → (Y

n

), to

N −1

X

k=0

|y

k

|

2

= N

N −1

X

n=0

|Y

n

|

2

.

Zad. 5. Wyznacz dyskretną transformatę Fouriera ciągu

x

k

= k;

k = 0, 1, . . . , N − 1.

1