Dyskretna transformata Fouriera
zadania na ćwiczenia
Zad. 1. Udowodnij, że jeśli F
N
: (y
k
) → (Y
n
), to
a) F
N
: (y
−k
) → (Y
−n
),
b) F
N
: (y
k
) → (Y
n
),
c) F
N
: (
y
−k
) → (Y
n
).
Zad. 2. Wykaż, że jeśli F
N
: (y
k
) → (Y
n
), to zachodzą własności:
a) (y
k
) jest parzysty (nieparzysty) ⇐⇒ (Y
n
) jest parzysty (nieparzysty),
b) (y
k
) jest rzeczywisty ⇐⇒ Y
−n
= Y
n
dla każdego n ∈ Z,
c) (y
k
) jest parzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ (Y
n
) jest parzystym cią-
giem liczb rzeczywistych,
d) (y
k
) jest nieparzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ (Y
n
) jest nieparzystym
ciągiem liczb czysto urojonych.
Zad. 3. Niech (x
k
) i (y
k
) będą dwoma zespolonymi ciągami o okresie N i niech (X
k
) i (Y
k
)
oznaczają ich DFT. Udowodnij, że
a) transformata splotu cyklicznego, tzn. ciągu zdefiniowanego wzorem
z
k
=
N −1
X
q=0
x
q
y
k−q
,
k ∈ Z,
ma postać
F
N
: (z
k
) → (Z
n
= N X
n
Y
n
),
b) transformata iloczynu ciągów (x
k
) i (y
k
) ma postać
F
N
: (p
k
= x
k
y
k
) → (P
n
=
N −1
X
q=0
X
q
Y
n−q
).
Zad. 4. Udowodnij, że jeśli F
N
: (y
k
) → (Y
n
), to
N −1
X
k=0
|y
k
|
2
= N
N −1
X
n=0
|Y
n
|
2
.
Zad. 5. Wyznacz dyskretną transformatę Fouriera ciągu
x
k
= k;
k = 0, 1, . . . , N − 1.
1