Rozdział 4

Dwuwymiarowa
transformacja Fouriera

4.0.3

Jean Baptiste Joseph Fourier

∗ 21 Marca 1768 Auxerre w Bourgundii
+ 16 Maj 1830 Paryż

text

”‘Yesterday was my 21st birthday, at that age Newton and Pascal had already
acquired many claims to immortality”’

.

text

Rysunek 4.1: Jean Baptiste Joseph Fourier

Osierocony w wieku 10. lat, Fourier

1

zapisał się do szkoły wojskowej w Auxerre. W 1796

r. wyjechał do Paryża, gdzie objął katedrę analizy w Ecole Polytechnique. W okresie kampanii
Napoleona w 1798 r. towarzyszył Bonapartemu w wyprawie do Egiptu, gdzie został mianowany
gubernatorem Dolnego Egiptu. Przez 3 lata był sekretarzem, ufundowanego przez Napoleona,

1

www.groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/PictDisplay/Fourier.html

43

44

ROZDZIAŁ 4. DWUWYMIAROWA TRANSFORMACJA FOURIERA

Instytutu w Kairze. W 1801 r. powrócił do Francji, a w następnym roku objął stanowisko
prefekta departamentu Isere. Został także odznaczony Legią Honorową.Prowadził badania
nad przewodnictwem ciepła.
Równanie Fouriera transportu ciepła ∆Q w czasie ∆t ma postać

∆Q/∆t = −λS

∆T

∆x

lub w postaci różniczkowej

q = −λgradT,

gdzie λ - współczynnik przewodnictwa ciepła, q - lokalny strumień ciepła. Od 1817 r. Fourier

poświęcił się badaniom naukowym. Przeniósł się do Paryża, gdzie został wybrany do Akademii.
W 1827 r. zastępił Laplace’a na stanowisku rektora Ecole Polytechnique. Obok teorii transportu

ciepła zajmował sie analizą szczególnie teorią funkcji, rachunkiem całkowym i nad równaniami

różniczkowymi. Zasadniczą dziedziną jego zainteresowań była fizyka matematyczna. W 1822 r.
opublikował pracę ”‘Analityczna teoria ciepła”’. Rozprawa ta była punktem wyjścia do

stworzenia teorii szeregów trygonometrycznych

i opracowania niektórych zagadnień

analizy matematycznej.

4.1

Definicja dwuwymiarowej transformacji Fouriera

Dwuwymiarowa transformacja Fouriera funkcji g(x, y) definiowana jest
poprzez całkę podwójną

G(f

x

, f

y

) = F

2

D {g} =

Z Z

∞

−∞

g(x, y)e

−2πi(xf

x

+yf

y

)

dxdy

(4.1)

oraz jej odwrotność

g(x, y) = F

−1

2D

{G} =

Z Z

∞

−∞

G(f

x

, f

y

)e

2πi(xf

x

+yf

y

)

df

x

df

y

.

(4.2)

W powyższych wzorach f

x

i f

y

określane są jako częstości przestrzenne.

Wprowadzamy także wektor częstości przestrzennych (por. rys. ??) f =
(f

x

, f

y

) ≡ (u, v) = (1/Λ

x

, 1/Λ

y

). Funkcja f (x, y) jest superpozycją składowych

F (f

x

, f

y

)e

2πi(xf

x

+yf

y

)

= F (f )e

2πi(r◦f )

. Dwuwymiarowa transformacja Fouriera przyporządkowuje dwuwymiarowej funkcji
g(r jej widmo Fourierowskie określone w dziedzinie dwuwymiarowych częstości
przestrzennych f.

Ćwiczenie: Pokaż, że transformację dwuwymiarową można traktować jako

złożenie transformat jednowymiarowych. W przypadku transformat dyskretnych,
gzie całki zastępujemy sumami, a funkcję g(x, y) macierza g

ij

odpowiada to

liczeniu (w miejscu) najpierw jednowymiarowych transformacji np. po wierszach
macierzy, a potem po kolumnach. Własność ta umożliwia tworzenie algorytmów
dwuwymiarowych transformacji Fouriera poprzez odwołania do algorytmu jednowymiarowego
(FFT).

4.1. DEFINICJA DWUWYMIAROWEJ TRANSFORMACJI FOURIERA

45

Rysunek 4.2: Przedstawienie dwuwymiarowej składowej harmonicznej , a
właściwie jej części rzeczywistej

Na rysunku

4.2

przedstawiono część rzeczywistą elementarnej dwuwymiarowej

składowej harmonicznej w dwu wymiarach

Re



e

2πi(r◦f )



= Re



e

i(r◦k)



,

gdzie

• Λ - stała struktury (nie mylić z długością biegnacej fali λ),

• K - wektor falowy struktury (wektory falowe biegnacej fali oznaczać będziemy

małymi literami k).

Zachodzą następujace związki:

f

= [f

x

, f

y

] = [1/Λ

x

, 1Λ

y

],

K

= 2πf = [2π/Λ

x

, 2/πΛ

y

].

Uwaga! Wielkości Λ

x

i Λ

y

nie są składowymi wektora. Łatwo zauważyć, że

w ogólności Λ

2

x

+ Λ

2

y

6= Λ

2

. Składowymi wektora są natomiast ich odwrotności.



1

Λ

x



2

+



1

Λ

y



2

= |f|

2

=

 1

Λ



2

.

(4.3)

Ćwiczenie: Wykaż, że powierzchnie stałej fazy w strukturze

4.3

, są prostopadłe

do wektora falowego K.
Wskazówka. Rozważ fazę w punktach określonych przez wektory r i r

′

, przy

czym niech wektor ∆r=r

′

-r będzie prostopadły do K.

46

ROZDZIAŁ 4. DWUWYMIAROWA TRANSFORMACJA FOURIERA

Dla transformat dwuwymiarowych obowiązują odpowiedniki twierdzeń Fourierowskich

funkcjonujących w jednym wymiarze. Będziemy je przywoływać w miarę potrzeby.

Jeżeli założymy, że dysponujemy parą Fourierowską w dwu wymiarach

f (x, b)

F

⇐⇒ F (u, v) i g(x, y)

F

⇐⇒ G(u, v),

to np. twierdzenie o skalowaniu przyjmie postać

f (x/a, y/b)

F

⇐⇒ |a||b|F (au, av),

a twierdzenie o splocie

f (x, b) ⊗ g(x, y)

F

⇐⇒ F (u, v) · G(u, v)

Przykłady liter

4.2. PRZYKŁAD TRANSFORMATY DWUWYMIAROWEJ

47

4.2

Przykład transformaty dwuwymiarowej

Funkcja kołowa (czasem określana jako cylindryczna) circ

circ(

px

2

+ y

2

)) = circ(r) =

(

1

; r ≤ 1

0

; r > 1

Funkcja besinc Bs

Bs(ρ) = 2

J

1

(ρ)

ρ

,

(4.4)

gdzie J

1

- funkcja Bessela pierwszego rodzaju, rzędu pierwszego.

Rysunek 4.3: Funkcje Bessela pierwszego rodzaju. Rząd oznaczany indeksem.

Rysunek 4.4: Funkcja kołowa circ(r) i jej transformata Fouriera funkcja
Besinc(ρ)

circ(

px

2

+ y

2

)

F

2

D

⇐⇒ Bs(π

q

f

2

x

+ f

2

y

) = 2

J

1

(πρ)

πρ

,

(4.5)

gdzie ρ =

q

f

2

x

+ f

2

y

moduł wektora częstości przestrzennych. Ogólnie dla funkcji

o symetrii kołowej dwuwymiarowa transformacja Fouriera sprowadza się do
transformacji Fouriera Bessela

48

ROZDZIAŁ 4. DWUWYMIAROWA TRANSFORMACJA FOURIERA

F (ρ) = 2π

Z

∞

0

f (r)J

0

(2πrρ)rdr

Więcej - Jóźwicki i Wilk

4.2. PRZYKŁAD TRANSFORMATY DWUWYMIAROWEJ

49

Funkcje separowalne

Jeżeli dwuwymiarową funkcję przedstawić można jako iloczyn funkcji jednowymiarowych

h(x, y) = f (x)g(y),

to jej dwuwymiarowa transformata jest iloczynem odpowiednich transformat

H(u, v) = F (u)G(v).

Twierdzenie umożliwia wyznaczenie wielu transformat dwuwymiarowych.

Transformata prostokąta w dwu wymiarach prezentowana jest na rys.

4.5

.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Rysunek 4.5: Dwuwymiarowa funkcja separowalna przedstawiona na rys. c) i
jej transformata Fouriera rys. f). a) Π(x/a), b) Π(y/b), c)funkcja separowalna
Π(x/a)Π(y/b), d) sinc(ax), e) sinc(by), f) funkcja separowalna sinc(ax)sinc(by)

Na rys.

4.5

przedstawiono w kolumnach pary Fourierowskie Π(x/a)

F

⇐⇒

asinc(ax), Π(y/b)

F

⇐⇒ bsinc(by) i Π(x/a)Π(y/b)

F

⇐⇒ absinc(ax)sinc(by).

Funkcja Gaussa w dwu wymiarach Pamiętamy, że funkcja Gaussa jest
funkcją własną transformacji Fouriera, tj

e

−πx

2

F

2

D

⇐⇒ e

−πf

2

x

.

50

ROZDZIAŁ 4. DWUWYMIAROWA TRANSFORMACJA FOURIERA

a)

b)

Rysunek 4.6: Para dwuwymiarowych funkcji Gaussa

Dostrzegając, że e

−π(x

2

+y

2

)

= e

−πx

2

e

−πy

2

i wyznaczając transformatę dwuwymiarową

z odwołaniem do właściwości funkcji separowalnych, otrzymujemy

e

−π(x

2

+y

2

) F

2

D

⇐⇒ e

−π(f

2

x

+f

2

y

)

.

Demonstracja numeryczna Wybrane funkcje dwuwymiarowe i ich transformaty.
Obserwacja efektów skalowania, przesunięcia i obrotu.

4.2.1

Transformacja Fouriera w wielu wymiarach.

Transformację dwuwymiarową zapisać możemy stosując zapis wektorowy

G(f ) = F

2D

{g(r)} =

Z Z

∞

−∞

g(r)e

−2πir◦f

d

2

r

(4.6)

Ta definicja transformacji może być uogólniona dla wyższych wymiarów

przestrzeni.

W trzech wymiarach

G(k) = F

2D

{g(r)} =

Z Z

∞

−∞

g(r)e

−ir◦k

d

3

r

,

(4.7)

gdzie

r

= [x, y, z],

k

= [k

x

, k

y

, k

z

] = 2πf .

Uwaga: W optyce przyjęte jest posługiwanie się wektorami częstości przestrzennych do opisu
zawartości harmoniczej obrazów (obiekty dwuwymiarowe). W fizyce ciała stałego (trzy wymiary)
przejęte jest posługiwanie się wektorami falowymi.

Odwrotna transformacja definiowana jest poprzez całkę

g(r) = F

−1

2D

{G(k)} =

1

(2π)

3

Z Z

∞

−∞

G(k)e

ir◦k

d

3

k

.

(4.8)

4.2. PRZYKŁAD TRANSFORMATY DWUWYMIAROWEJ

51

Rysunek 4.7: Wektor falowy w przestrzeni trójwymiarowej i kąty pomiędzy nim,
a osiami układu odniesienia.

Analogicznie definicje transformacji Fouriera rozszerzyć można do jeszcze

wyższych wymiarów.

W wielu wymiarach twierdzenie o funkcjach separowalnych przyjmuje

następującą postać: jeżeli

h(x

1

, ..., x

N +M

) = f (x

1

, ..., x

N

)g(x

N +1

, ..., x

N +M

),

to

H(u

1

, ..., u

N +M

) = F (u

1

, ..., u

N

)G(u

N +1

, ..., u

N +M

).

Jako ćwiczenie wyobraźni warto rozpatrzyć przykłady transformat następujących

funkcji:

• prostokąt w dwu wymiarach, który uzyskujemy jako iloczyn funkcji Π(x/a)Π(y/b)

(rys.

4.5

).

• delta Diraca w dwu wymiarach - traktowana jako iloczyn dwu delt jednowymiarowych

• prosta w dwu wymiarach - traktowana jako iloczyn δ(x) i funkcji stałej

1(y)

• prosta w trzech wymiarach - traktowana jako iloczyn δ(x, y) i funkcji stałej

1(z)

• płaszczyzna w trzech wymiarach - traktowana jako iloczyn δ(z) i funkcji

stałej 1(x, y)

• regularny układ punktów w dwu wymiarach - iloczyn comb(x) i comb(y)

• układ równoległych płaszczyzn w trzech wymiarach - jako iloczyn comb(z)

i 1(x, y) (rys.

4.8

)

52

ROZDZIAŁ 4. DWUWYMIAROWA TRANSFORMACJA FOURIERA

Rysunek 4.8: Przykład pary Fourierowskiej w trzech wymiarach

Krystalografia i fizyka ciała stałego a sieć odwrotna.

Przykład: układ regularny i tetragonalny Łatwo pokazać, że regularna i
tetragonalna sieć krystalograficzna mogą być opisane w trzech wymiarach jako
funkcje separowalne. Ich transformaty w trójwymiarowej przestrzeni wektorów
falowych posiadają regularnie rozmieszczone maksima tworzące tzw. sieć odwrotną.

Odpowiednie sieci odwrotne w przestrzeni wektorów falowych związane są

także z innymi typami sieci krystalicznych. Krystalografia i Fizyka Ciała
Stałego zajmują się badaniem budowy i wyjaśnianiem właściwości materiałów
z częstym odwoływaniem się do przestrzeni wektorów falowych związanych ze
strukturą badanych ciał.

4.3. UKŁADY PRZETWARZAJĄCE SYGNAŁY JEDNO I DWUWYMIAROWE

53

4.3

Układy przetwarzające sygnały jedno i dwuwymiarowe

text

4.3.1

Sygnały i Operatory

Zwyczajowo uznajemy za sygnał funkcję f(t) zależną od czasu i myślimy o jego
nadawaniu, przesyłaniu, odbiorze i przetwarzaniu przez układy elektroniczne.

T

-

-

f

IN

f

OUT

Rysunek 4.9: An LNL Block Oriented Model Structure

Obraz to funkcja dwu zmiennych f(x, y), która też może podlegać rejestracji

i przetwarzaniu. W dalszym stosować będziemy pojęcie sygnału w znaczeniu
rozszerzonym na dwa i więcej wymiarów. W tym ujęciu obraz jest przykładem
sygnału dwuwymiarowego. Sygnał może być w ogólności funkcją zespoloną.

Do opisu działania układu przetwarzajacego nie jest konieczna znajomość

jego wewnętrznej budowy. Traktujemy układ jako ”‘czarną skrzynkę”’ (Black
Box) (rys.

4.9

). Przetwarzanie sygnału wejściowego f

IN

przez układ określa operator

T . Nie deklarując wymiaru przestrzeni, w której określone są sygnały, działanie

operatora zapisujemy

text

f

OUT

= T {f

IN

},

text

gdzie f

OUT

jest rezultatem lub funkcją wyjściową.

4.3.2

Liniowość i stacjonarność

Wśród operatorów można wyróżnić ich szczególne kategorie.

text

54

ROZDZIAŁ 4. DWUWYMIAROWA TRANSFORMACJA FOURIERA

Operatory liniowe L posiadają następującą właściwość:

jeżeli

f

OUT

= L{f

IN

} oraz g

OUT

= L{g

IN

},

to

L{αf

IN

+ βg

IN

} = αf

OUT

+ βg

OUT

.

text

Operatory liniowe określić można przy pomocy przekształcenia całkowego.
Gdy działają na funkcjach jednowymiarowych

F (u) = L{f(t)} =

Z

∞

−∞

f (t)K(t, u)dt,

a w przypadku funkcji dwuwymiarowych

F (u, v) = L{f(x, u)} =

Z Z

∞

−∞

f (x, y)K(x, y, u, v)dxdy,

text

Funkcja K nazywana jest jądrem przekształcenia całkowego. W kolejnych
rozdziałach spotkamy wiele tego typu przekształceń.

text

Przekształcenie określamy jako przekształcenie stacjonarne, gdy przesunięcie
funkcji wejściowej powoduje odpowiednie przesunięcie wyniku przekształcenia.
Jeżeli

F (t

′

) = S{f(t)},

to

F (t

′

− τ) = S{f(t − τ)}.

Przekształcenie liniowe i stacjonarne określene jest przez jądro, zależne od różnicy
współrzędnych

K(t, t

′

) = h(t

′

− t).

W przypadku podania na wejście sygnału o postaci delty Diraca

f

′

(t) =

Z

∞

−∞

δ(t

′

)h(t − t

′

)dt = h(t).

Funkcja h(t) jest określana jako odpowiedź impulsowa układu stacjonarnego.

W przypadku stacjonarnego przekształcania sygnałów dwuwymiarowych

f

′

(x, y) =

Z Z

∞

−∞

f (x

′

, y

′

)h(x − x

′

, y − y

′

)dx

′

dy

′

.

Dwuwymiarowa delta Diraca δ(x, y) = δ(x)δ(y) (jasny punkt na ciemnym tle)
poddana takiemu przekształceniu dostarcza informacji o dwuwymiarowej odpowiedzi
impulsowej

f

′

(x, y) =

Z Z

∞

i∞

δ(x

′

, y

′

)h(x − x

′

, y − y

′

)dx

′

dy

′

= h(x, y).

W technikach przetwarzania obrazu h(x, y) określana jest jako punktowa funkcja
rozmycia Point Spread Function (PSF).

4.3. UKŁADY PRZETWARZAJĄCE SYGNAŁY JEDNO I DWUWYMIAROWE

55

4.3.3

Funkcja przenoszenia częstości

Działanie liniowego operatora stacjonarnego opisane jest przez splot z funkcją
odpowiedzi impulsowej

f

′

= f ⊗ h.

(4.9)

Stosując Fourierowskie twierdzenie o splocie w dwu wymiarach uzyskujemy

relację pomiędzy odpowiednimi transformatami

F

′

(f

x

, f

y

) = H(f

x

, f

y

)F (f

x

, f

y

).

(4.10)

Funkcja H(f

x

, f

y

) określana jest jako funkcja przenoszenia częstości

przestrzennych. W j. angielskim Optical Transfer Function (OTF). Działanie
układu liniowego i stacjonarnego reprezentowane jest w pełni poprzez charakterystyczną
dla danego układu funkcję przenoszenia.

Przykłady zdjęć nieostrych i poruszonych Przykładem są zdjęcia nieostre,
które traktować można jako splot obrazu ostrego z plamką rozmycia wynikającą
z wadliwego ogniskowania. Inny przykład, to zdjęcia poruszone, gdzie funkcja
rozmycia związana jest z trajektorią poruszenia kamery w trakcie rejestracji
obrazu.

Rysunek 4.10: Zdjęcie poruszone jest splotem obrazu z linią odpowiadającą
trajektorii poruszenia ( linia ta widoczna jest w lewym dolnym rogu zdjęcia).
Zdjęcie wykonane zostało w trakcie prezentacji konferencyjnej. W takiej sytuacji
zastosowanie lampy błyskowej byłoby błędem - jej silne światło spowodowałoby,
że zobaczylibyśmy praktycznie biały ekran,(nastąpiłoby obniżenie kontrastu).
Przy wyłączonym fleszu, automatyka aparatu spowodowała wydłużenie
ekspozycji do czasu, w którym oś aparatu zatoczyła widoczny łuk.

.

56

ROZDZIAŁ 4. DWUWYMIAROWA TRANSFORMACJA FOURIERA

4.3.4

Zagadnienia odwrotne

Wiele układów rzeczywistych spełnia z dobrym przybliżeniem założenia liniowości
i stacjonarności. W wyniku pomiaru poznajemy kształt funkcji wyjściowej, a
zainteresowani jesteśmy poznaniem oryginału, który wprowadzany jest na wejściu.
Poszukiwanie kształtu sygnału wejściowego na podstawie znajomości sygnału
wyjściowego i charakterystyki układu należy do klasy zagadnień odwrotnych.
Na pierwszy rzut oka równanie

4.10

daje prostą możliwość rozwiązania takich

zagadnień poprzez działanie

f = F

−1

{F

′

/H} .

(4.11)

Ten sposób należy stosować ostrożnie, bo funkcja przenoszenia H może

być zerowa (lub bliska zeru) w interesującym nas zakresie częstości. W takich
sytuacjach problem staje się tzw. źle postawionym zagadnieniem odwrotnym.
Istnieje jednak szeroka grupa zagadnień, w których zastosowanie odwrotności
funkcji przenoszenia daje pozytywne rezultaty. Przykłady zastosowań tego podejścia
w optyce i akustyce przedstawimy w dalszych częściach.

Rozdział 5

Fale elektromagnetyczne

5.1

Podstawy matematyczne

5.1.1

Operator różniczkowy NABLA

Nabla - operator różniczkowy traktowany w operacjach rachunkowych jak wektor.
Pozwala zapisać operacje różniczkowe na funkcjach w prostej i zwartej formie
działań wektorów.

W kartezjańskim układzie współrzędnych:

∇ =

 ∂

∂x

,

∂

∂y

,

∂

∂z



lub

∇ = i

∂

∂x

+ j

∂

∂y

+ k

∂

∂z

gdzie (i, j, k), to wektory bazy, czyli wektory jednostkowe (wersory) o kierunkach

i zwrotach zgodnych z kolejnymi osiami (X,Y,Z) układu współrzędnych w R

3

text

Pola skalarne

text

Działanie operatora nabla na pole skalarne f(x, y, z) jest odpowiednikiem iloczynu
wektora przez liczbę:

∇f =

 ∂f

∂x

,

∂f

∂y

,

∂f

∂z



Operator nabla działając na funkcję skalarną f(x, y, z) tworzy pole wektorowe.
Mówimy w tym przypadku o operatorze gradientu, a wynik działania operatora
określany jest jako jako gradient pola f.

gradf

text

Pole wektorowe

text

57

58

ROZDZIAŁ 5. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Operator nabla może też oddziaływać na funkcję wektorową czyli na pole wektorowe,
tworząc pole wektorowe lub pole skalarne. Operacje te zapisuje się tak jak
iloczyn wektorowy i iloczyn skalarny wektorów.

text

Operator rotacji

text

Iloczyn wektorowy operatora nabla i wektora pola wektorowego v(x, y, z) zapisywany
jest jako ∇ × v i określany jest jako operator rotacji:

∇ × v =

 ∂v

3

∂y

−

∂v

2

∂z

,

∂v

1

∂z

−

∂v

3

∂x

,

∂v

2

∂x

−

∂v

1

∂y



Wartość rotacji jest miarą obecności lokalnych zawirowań pola. Operator rotacji

Rysunek 5.1: Ilustracje do twierdzeń Stockesa i Gaussa. strzałki przedstawiają
elementy pola wektorowego v

występuje w twierdzeniu Stockesa:

I

L

v

· dl =

I

S

(∇ × v) · dS,

(5.1)

gdzie otwarta powierzchnia S ograniczona jest konturem L. Zauważmy, że

dla wybranego konturu L wynik nie zależy od wyboru kształtu powierzchni S.

text

Operator dywergencji

text

Iloczyn skalarny operatora nabla i wektora pola v(x, y, z) zapisywany jest jako
∇ · v i określany jest jako dywergencja pola wektorowego v:

∇ · v =

∂v

1

∂x

+

∂v

2

∂y

+

∂v

3

∂z

5.1. PODSTAWY MATEMATYCZNE

59

Wynikiem jest w tym przypadku pole skalarne. Operator dywergencji wskazuje
na lokalne żródła pola wektorowego i wiąże się z twierdzeniem Gaussa:

I

S

v

· dA =

Z

V

∇ · vdV,

(5.2)

gdzie objętość V ograniczona jest zamkniętą powierzchnią S.

text

Złożenie operatorów

text

Operator nabla może ponownie oddziaływać na pola powstałe w wyniku powyżej
określonych operacji. Wsród wielu możliwych kombinacji wskażemy kilka prawidłowości:

∇ × ∇f = 0

(5.3)

- rotacja z gradientu jest równa zeru. Pamiętamy, że np. potencjale pole sił, to
takie które można określić jako gradient pewnego pola skalarnego

F

= −gradV,

V określaliśmy jako potencjał. Powyższa własność oznacza, że rotacja pola
potencjalnego jest równa zeru.

Mamy też:

∇ · ∇ × v = 0.

oraz:

∇ · ∇ ⊗ v = ∇(∇ · v)

W celu skrócenia zapisu stosuje się notację:

∇ · ∇f = ∇

2

f = ∆f =

 ∂

2

f

∂x

2

+

∂

2

f

∂y

2

+

∂

2

f

∂z

2



.

Operator ∆ ≡ ∇

2

to laplasjan - najważniejszy z operatorów drugiego

stopnia. Operator ten działać może na pola skalarne jak i wektorowe. Występuje
on w równaniu falowym i innych równaniach fizyki.

text

Dla podwójnego iloczynu wektorowego zachodzi

∇ × ∇ × v = ∇(∇ · v) − ∇

2

v

.

(5.4)

Relacja ta bywa zapisywana jest w postaci

rot rot v = grad div v − ∇

2

v

.

text

Wykazanie powyższych związków wymaga rozpisania złożenia operatorów nabla
i odpowiedniego pogrupowania wyrazów. Przykładowo rospisanie pierwszej składowej

5.4

daje po lewej stronie

rot rot v = ˆi



∂v

z

∂z∂x

−

∂v

x

∂

2

z

−

∂v

x

∂

2

y

+

∂v

y

∂y∂x



+ ...,

60

ROZDZIAŁ 5. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

a po prawej

grad div v − ∇

2

v

= ˆi

 ∂

2

v

x

∂

2

x

+

∂v

y

∂x∂y

+

∂v

z

∂x∂z

−

∂

2

v

x

∂

2

x

−

∂

2

v

x

∂

2

y

−

∂

2

v

x

∂

2

z



+ ....

Porównanie składowych potwierdza słuszność związku

5.4

.

5.1.2

Prawa Maxwella w postaci różniczkowej i całkowej

text

Pole elektryczne ( o natężeniu E i indukcji D) oraz magnetyczne ( o natężeniu
H

i indukcji B) wiążą wymienione poniżej relacje. Pierwszy kontakt z postacią

całkową niektórych z nich nastąpił już w trakcie kursu fizyki w szkole średniej.
Przejście pomiędzy tymi postaciami bazuje na twierdzeniu Gaussa

5.2

i Stockesa

5.1

.

text

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego

I

S

E

· dA =

Q

S

εε

0

,

tu Q

S

oznacza całkowity ładunek zawarty w objętości ograniczonej zamknietą

powierzchnią S. W postaci różniczkowej

∇ · E =

ρ

εε

0

.

Przykład - pole ładunku punktowego Q Łatwo wykazać związek prawa
Gaussa z prawem Coulomba:

F

C

=

Qq

4πr

2

.

Otaczając ładunek sferą o promieniu r i wprowadzając natężenie pola E =
F

C

/q, mamy

4πr

2

E =

Qq

εε

0

,

co jest zgodne z prawem Gaussa.

Przykład - pole w otoczeniu płaskiej, naładowanej płyty. Natężenie
pola w pobliżu płaskiej, naładowanej płyty o gęstości powierzchniowej ładunku
ρ

S

= Q/S

P

wyznaczamy otaczając fragment płyty np. cylindrem o podstawie

4πR. Widzimy (rys. ), że na bocznych powierzchniach walca E ·dA = 0, stąd po

lewej stronie prawa Gaussa uzyskujemy po scałkowaniu 2πR

2

E.ładunek zawarty

wewnątrz objętości walca πR

2

ρ

S

. Wyznaczamy wartość pola z prawa Gaussa

E =

ρ

S

2εε

0

.

5.1. PODSTAWY MATEMATYCZNE

61

Rysunek 5.2: Pole elektryczne w otoczeniu naładowanej płyty. Pole
kondensatora.

Uwaga: Zwróćmy uwagę, że wynik nie zależy od odległości od płyty. (Tak
byłoby w granicznym przypadku płaskiej płyty o nieskończonych rozmiarach.
W praktyce wynik ten stosować możemy gdy odległość punktu obserwacji od
powierzchni płyty jest zancznie mniejsza od jego odległości od jej brzegów).

Analogicznie wykazać można, że pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego

E =

ρ

S

εε

0

,

(5.5)

a na zewnątrz

E = 0.

Komentarz: Pole kondensatora jest sumą wektorową pól pochodzących od dwu
płyt naładowanych ładunkami o przeciwnym znaku. Pomiędzy okładkami pola
te sumują się, a poza znoszą (rys.

5.2

). Można też krótko stwierdzić, że całkowity

ładunek zawarty w cylindrze, obejmującym obie okładki kondensatora, jest
zerowy i zgodnie z prawem Gaussa całkowity strumień pola elektrucznego przechodzącego
przez powierzchnię walca też musi być zerowy, a stąd i z symetrii zagadnienia
wynika wniosek, że pole elektryczne na zewnątrz E = 0.

text

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego:

I

S

B

· dA = 0.

∇ · B = 0.

Po prawej stronie mamy tym razem zero, bo nie istnieje separowany, jednoimienny
ładunek magnetyczny. Ćwiczenie: Narysuj magnes oraz linie jego pola magnetycznego
i próbuj wyrysować ( i wyobrazić sobie) powierzchnie zamknięte otaczające
magnes oraz takie które go nie zawierają. Zastanów się jak to możliwe, że w
każdym przypadku całkowity strumień magnetyczny, określony całką po lewej

62

ROZDZIAŁ 5. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

stronie prawa Gaussa, jest zerowy.

text

Prawo indukcji Faradaya

I

L

E

· dl = −

dΦ

B,S

dt

(5.6)

∇ × E = −

∂B

∂t

text

Prawo Ampera (z korektą Maxwella)

I

L

B

· dl = µµ

0

I

S

+ µµ

0

εε

0

dΦ

E,S

dt

(5.7)

∇ × B = µ

0

J

+ µµ

0

εε

0

∂E

∂t

Korekta Maxwella dotyczy tzw. prądu przesunięcia εε

0

∂E

∂t

.

Rysunek 5.3: Kondensator zasilany prądem I. Zaznaczone okręgi mają ten sam
promień r.

Przykład - Prąd przesunięcia kondensatora Z prawa ampera (

5.1.3

),

biorąc pod uwagę przekroje prostopadłe do odpowiednich okręgów, widzimy że

B

1

= B

3

=

µµ

0

I

S

2πr

.

Pamiętajmy, że dla krzywej L wolno nam wybrać inną powierzchnię. Niech to np.
będzie powierzchnia o kształcie garnka o brzegu wyznaczonym przez krzywą L,
o powierzchni dna przechodzącej pomiędzy powierzchniami kondensatora. Jak
widać przez tę powierzchnię nie przechodzi żaden przewodnik z prądem. Żeby
uzyskać tę samą wartość B

1

wprowadzono po prawej stronie prawa Ampera

drugi wyraz, w którym

εε

0

dΦ

E,S

dt

5.1. PODSTAWY MATEMATYCZNE

63

reprezentuje gęstość prądu przesunięcia. Porównując z równaniem określającym
pole w kondensatorze (

5.5

) widzimy, że wartość prądu przesunięcia równa jest

wartości prądu przewodnictwa I. Mamy więc B

1

= B

2

= B

3

. Zauważmy,że

jeżeli płynie prąd I, to kondensator jest ładowany i zmienia się stan polaryzacji
dielektryka. Możemy argumentować, że polaryzacja oznacza lokalny ruch ładunków
cząstek dielektryka, co w efekcie odpowiada przepływowi prądu. Zwróćmy uwagę,
że analogiczny efek występuje także jeżeli pomiędzy okładkami kondensatora
występuje próżnia.

text

5.1.3

Równania Maxwella dla dielektryka

W dielektryku, w którym brak wolnych ładunkó i w związku z tym brak przepływu
prądów, mamy następujące równania materiałowe

D

= εε

0

E

,

B

= µµ

0

H

,

gdzie εε

0

i µµ

0

- odpowiednio przenikalność dielektryczna i magnetyczna dielektryka.

W dielektryku brak wolnych ładunków i prądów, stąd mamy

∇ · E = 0

(5.8)

∇ · B = 0

(5.9)

∇ × E = −

∂B

∂t

(5.10)

∇ × B = µ

0

ε

0

∂E

∂t

(5.11)

Zadziałamy lewostronnie operatorem rotacji na równanie

5.10

∇ × (∇ × E) = ∇ ×



−

∂B

∂t



.

Odwołując się do własności podwójnego iloczynu wektorowego

∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∇

2

E

,

do równania Gaussa

5.8

oraz równania Ampera , uzyskujemy

−∇

2

E

= −µ

0

ε

0

∂

2

E

∂t

2

,

lub

∇

2

E

− µ

0

ε

0

∂

2

E

∂t

2

= 0.

64

ROZDZIAŁ 5. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

 ∂

2

∂x

2

+

∂

2

∂y

2

+

∂

2

∂z

2



E

− µ

0

ε

0

∂

2

E

∂t

2

= 0.

Powyższe równanie ma postać analogiczną do wyprowadzonego wcześniej równania
falowego struny. Dla pełnej analogii wypadałoby przyjąć prędkość fali

c

0

=

1

√

µ

0

ε

0

.

Sprawdzenie:

ε

0

= 8, 854 · 10

−12

F · m

−1

µ

0

= 4π · 10

−7

H · m

−1

Najpierw zajmiemy się jednostkami

F

m

H

m

=

C

V m

V s

A m

=

s

2

m

2

Po podstawieniu

c = 2, 998 · 10

8

m · s

−1

.

Pytanie: Skąd wiemy, że światło o różnych barwach (ogólniej - wszystkie

fale elektromagnetyczne) rozchodzą sie w próżni z tą samą prędkością? Jaka jest
historia pomiarów prędkości światła?

5.2. PŁASKA FALA ELEKTROMAGNETYCZNA

65

Historia wyznaczania prędkości światła:
1667 Galileo Galilei: przynajmniej 10 razy szybsze od dźwięku. Metoda -

on zasłaniał lampę, a asystent w możliwie znacznej odległości zasłaniał swoją,
po dostrzeżeniu ruchu Galileusza.

1675 Ole Roemer: 200,000 km/s Obserwacja nieregularności okresu zaćmień

księżyców jowisza.

1728 James Bradley: 301,000 km/s. Obserwacja aberracji gwiazd. (Zmiana

kierunku obserwacji gwiazd w efekcie ruchu orbitalnego Ziemi).

1849 Hippolyte Louis Fizeau: 313,300 Km/s Światło przepuszczane pomiędzy

zębami wirującej tarczy i odbijane od oddalonego zwierciadła.

1862 Leon Foucault: 298,000 km/s Metoda wirującego zwierciadła.
1926 Michelson: 299,796 Wirujące zwierciadło z odbiciem od zwierciadła

umieszczonego w odległości 36 km.

Obcnie: 299792.458 km/s

http://www.bipm.org/utils/common/pdf/

c = c

0

def

= 299, 792, 458 m/s

co wynika z definicji metra: ”‘The metre is the length of the path travelled by
light in vacuum during a time interval of 1/299 792 458 of a second.”’ Z definicji
ampera wynika wartość

µ

0

def

= 4 π × 10

−7

( kg m s

−2

A

−2

, lub N A

−2

),

a z wartości prędkości światła

ε

0

def

=

1

µ

0

c

2

≈ 8.854187817 . . . × 10

−12

( A

2

s

4

kg

−1

m

−3

, lub F m

−1

)

5.2

Płaska fala elektromagnetyczna

Proponujemy rozwiązanie równania

5.1.3

w postaci fali płaskiej

E

0

cos(ωt − k ◦ x) = Re



E

0

e

i(ωt−k◦r)



= Re



E

0

e

i(ωt−k

x

x+k

y

y+k

z

z)



. (5.12)

Dalej wykonujemy działania na funkcji zepolonej, zakładając że dla uzyskania
sensu fizycznego możemy zawsze wyciągnąć z wyniku część rzeczywistą. Uwaga:
Możemy w ten sposób postępować tylko jeżeli stosowane operacje
są liniowe

. Różniczkowanie po zmiennych przestrzennych wyprowadza przed

funkcję falową odpowiednie składowe wektora falowego, np.

∂

∂x

E

0

e

i(ωt−k

x

x+k

y

y+k

z

z)

= −ik

x

E

0

e

i(ωt−k

x

x+k

y

y+k

z

z)

.

Różniczkowanie po czasie

∂

∂t

E

0

e

i(ωt−k

x

x+k

y

y+k

z

z)

= iωE

0

e

i(ωt−k

x

x+k

y

y+k

z

z)

.

66

ROZDZIAŁ 5. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Po obliczeniu drugich pochodnych i podstawieniu powyższego rozwiązania do
równania falowego daje związek

−(k

2

1

+ k

2

2

+ k

2

3

) + µ

0

ε

0

ω

2

= 0,

lub

ω

2

k

2

= c

2

ϕ

=

1

µ

0

ε

0

.

(5.13)

Wektory falowe i częstości przestrzenne tworzą czterowymiarową przestrzeń.
Wydaje się, że możemy napisać równani fali, tworząc kombinacje dowolnego
wektora falowego z dowolną częstością kołową. Okazuje się, że spośród tych
kombinacji, tylko te spełniające związek

5.13

wyznaczają fale propagujące się w

próżni. Dla określonej częstości ω końce wektorów falowych fal k propagujących
w próżni zakreślają sferę o promieniu k = ω√µ

0

ε

0

.

5.2.1

Kierunki pól

Wykazaliśmy, że fala płaska(

5.12

) spełnia równanie falowe. Wybieramy układ

współrzędnych tak, by fala propagowała w kierunku osi OZ

E

0

exp i(ωt − k

z

z).

(5.14)

Zastanawiamy się czy wektor amplitudy E

0

może być dowolnie skierowany.

Zauważmy, że

∂E

0

∂x

=

∂E

0

∂y

= 0.

Odpowiada to faktowi, że w fali płaskiej (w ośrodku izotropowym) powierzchnie
stałej fazy są prostopadłe względem wektora falowego

. Z drugiej strony

z pierwszego z równań Maxwella mamy

divE =

∂E

x

∂x

+

∂E

y

∂y

+

∂E

z

∂z

= 0.

Z połączenia dwu powyższych równań, uzyskujemy warunek

∂E

z

∂z

= 0,

a stąd mamy E

z

≡ 0. Wnioskujemy, że fala opisana równaniem (

5.14

) musi być

falą poprzeczną. Przykłady polaryzacji światła.

Wybierzmy falę spolaryzowaną o kierunku polaryzacji równoległym do osi

0X, opisaną równaniem

E

= ˆiE

x0

exp i(ωt − k

z

z).

(5.15)

Zastosujemy równanie Maxwella, będące odpowiednikiem równania Faradaya,

rotE = −

∂B

∂t

.

(5.16)

5.2. PŁASKA FALA ELEKTROMAGNETYCZNA

67

Ogólnie

rotE = ˆi

 ∂E

x

∂y

−

∂E

y

∂z



+ ˆj

 ∂E

x

∂z

−

∂E

z

∂x



+ ˆ

k

 ∂E

y

∂x

−

∂E

x

∂y



.

W naszym przypadku

5.15

, z wyrażenia na rotację pozostaje tylko jeden wyraz

rotE = ˆj

∂E

x

∂z

.

Podstawiając do rónania (

5.16

) mamy

∂B

∂t

= −ˆj

∂E

x

∂z

.

lub po zróżniczkowaniu E

x

z równania (

5.15

)

∂B

∂t

= ˆjik

z

E

x0

exp i(ωt − k

z

z).

Całkowanie po czasie daje

B

= ˆj

k

z

ω

E

x0

exp i(ωt − k

z

z) = ˆjB

y0

exp i(ωt − k

z

z).

W powyższym wzorze pojawił się ważny związek pomiędzy amplitudami pól
magnetycznego i elektrycznego płaskiej fali harmonicznej

B

0y

=

k

ω

E

0x

=

1

c

E

0x

.

(5.17)

Drgania wektora B są prostopadłe do drgań wektora E i są z nimi zgodne

w fazie. Ogólnie

B

=

1

ω

k

× E =

1

c

ˆ

k

× E,

gdzie ˆk =

k
k

- wektor jednostkowy o kierunku wektora falowego.

5.2.2

Energia zawarta w polu EM

Gęstość energii pola elektrycznego

1

w

e

=

E

◦ D

2

.

(5.18)

Gęstość energii pola magnetycznego

w

m

=

B

◦ H

2

.

(5.19)

text

Przykład - obieg energii w układzie LC.

1

R. Matusiak ”‘Teoria Pola Elektromagnetycznego”’ PWN 1976

68

ROZDZIAŁ 5. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Rysunek 5.4: Fala elektromagnetyczna. Pola elektryczne i magnetyczne są
wzjemnie prostopadłe i prostopadłe do kierunku propagacji fali.

Aby oswoić się z powyższymi wzorami, rozważymy przepływ energii w układzie rezonansowym

LC. Zakładając, że występująca w układzie indukcyjność charakteryzuje cewkę o n zwojach, powierzchni
przekroju S

L

i długości l, mamy natężenie pola magnetycznego w cewce

H = n

I

l

.

Energia pola magnetycznego zawartego w cewce

W

m

=

1
2

µµ

0

H

2

S

L

l =

1
2

µµ

0

n

2

I

2

l

S

L

=

1
2

LI

2

.

(5.20)

Energia pola elektrycznego kondensatora o powierzchni okładek S

C

i odległości pomiedzy nimi d

W

e

=

1
2

ǫǫ

0

E

2

S

C

d =

1
2

ǫǫ

0

U

2

d

2

S

C

d =

1
2

CU

2

.

Zwróćmy uwagę jak wzory te podobne są do występujących w modelu ciężarka na sprężynie. Cewka
odpowiada za bezwładność, a samoindukcja podtrzymuje stan ruchu - prąd. Kondensator spełnia rolę
sprężyny, a nagromadzona w nim energia jest energią potencjalną.

Wiemy,że układ LC jest układem

rezonansowym, którego drgania opisują fluktuacje napięcia

U(t) = U

max

sin(ω

0

t),

gdzie częstość kołowa drgań własnych ω

0

= 1/

√

LC. Ładunek na okładkach kondensatora Q(t) =

CU(t), a prąd jest pochodną tego ładunku po czasie, stąd

I(t) = I

max

cos(ω

0

t),

gdzie I

max

= CωU

max

. Podstawienie tej wartości do rówanania (

5.20

) na maksymalną energię pola

zawartego w cewce prowadzi do związku

W

max

m

=

1
2

LI

2

max

=

1
2

LC

2

U

m

ax

2

LC

.

Porównanie wzoru na maksymalną energię pola magnetycznego ze wzorem na maksymalną energię
zawarą w kondensatorze

W

max

e

=

1
2

CU

2

max

,

5.2. PŁASKA FALA ELEKTROMAGNETYCZNA

69

Rysunek 5.5:

Układ zawierający kondensator o pojemności C i cewkę o współczynniku

samoindukcji L.

pokazuje, że są one sobie równe. Przy czym jedna z nich związana jest z prądem, a druga z napięciem.
Ich maksima są więc przesuniete w czasie o jedną czwartą okresu.

—————

Zastosujemy wzory na gęstość energii (

5.18

,

5.19

) do próżni.

w

e

=

E

◦ D

2

=

ǫ

0

E

2

2

.

Gęstość energii pola magnetycznego

w

m

=

B

◦ H

2

=

µ

0

H

2

2

.

Gęstość energii pola elektromagnetycznego

w

E

= w

e

+ w

m

=

ǫ

0

E

2

2

+

µ

0

H

2

2

.

W przypadku fali elektromagnetycznej wykazaliśmy, że

B =

1

c

E =

√

µ

0

ǫ

0

E.

Podnosząc powyższe do kwadratu mamy

µ

2

0

H

2

= µ

0

ǫ

0

E

2

,

a po podzieleniu prze µ

0

µ

0

H

2

= ǫ

0

E

2

.

Oznacza to, że gęstość energii pola magnetycznego fali jest równa gęstości energii
elektrycznej. Możemy więc zapisać

w

E

= µ

0

H

2

= BH = EH/c.

70

ROZDZIAŁ 5. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Rysunek 5.6: Energia przechodząca przez powierzchnię S w czasie t.

Natężenie przepływu energii przez powierzchnię definiowane jest poprzez iloraz

I =

energia

powierzchnia · czas

.

Zauważmy (rys.

5.6

), że w czasie t, przez powierzchnię S przepływa energia

zawarta w objętości Sct. Stąd

I =

w

E

Sct

St

= w

E

c = EH.

Przepływ energii ma kierunek zgodny z kierunkiem propagacji fali i może być
określony jako wektor

I

= E × H.

Jest to wyrażenie na wektor Poyntinga fali elektromagnetycznej. Zwróćmy
uwagę, że I wiąże się z chwilową wartością natężenia przepływu energii.

I

= E × (ˆk × E)

√

µ

0

ǫ

0

µ

0

= ˆ

k

E

2

r

ǫ

0

µ

0

Średnia wartość natężenia dla fali harmonicznej jest o połowę mniejsza od
maksymalnej

I

śr

=

1
2

ˆ

k

E

2

0

r

ǫ

0

µ

0

.

Przykład

Przykład: Fala o amplitudzie pola elektrycznego rzędu 1V m

−1

niesie strumień

mocy w próżni (i powietrzu)

1
2

pǫ

0

/µ

0

= 1, 4 · 10

−3

W · m

−2

.

Przykład Oszacujemy ubytek masy Słońca związany z wytwarzaniem promieniowania

w czasie 1s.

5.3. ZAKRESY FAL EM I ICH ZASTOSOWANIA.

71

Dane:
R=150 mln km=1.5*10

11

m - promień orbity Ziemi,

I=1kW/m

2

- natężenie promieniowania Słońca na powierzchni Ziemi.

∆t = 1s

Rozwiązanie:

Masę liczymy z ogólnego wzoru

E = mc

2

,

skąd ∆m = ∆E/c

2

. Natomiast całkowita ergia wypromieniowana w czasie ∆t

∆E = IS∆t = I4πR

2

∆t.

Łącząc powyższe wzory mamy

∆m =

I4πR

2

∆t

c

2

.

Podstawiamy

∆m =

10

3

W/m

2

· 12.5 · 1.5

2

· 10

22

· 1s

9 · 10

16

m

2

/s

2

≈

3 · 10

26

10

17

kg = 3 · 10

9

kg = 3mln t

Taka jest wartość defektu masy Słońca przypadającego na każdą sekundę świecenia.

Po wypaleniu wodoru, w zależności od jej rozmiarów, możliwych jest kilka

scenariuszów jej dalszej ewolucji. Jednym z nich jest odrzucenie zewnętrznej
powłoki i uwolnienie promieniowania. Jasność gwiazdy staje się większa od
jasności całej galaktyki - obserwujemy ją jako supernową. Jednoczesne dotarcie
pełnego spektrum światła pokonującego odległości rzędu milionów lat świetlnych
świadczy o tym że prędkość fal elektromagnetycznych nie zależy od długości fali.

Analogicznym, starszym argumentem jest fakt, że Księżyce Jowisza wychodzące

z cienia ukazują się nam jako białe (w tym samym czsie dociera całe spektrum).

5.3

Zakresy fal EM i ich zastosowania.

O zastosowaniach różnych zakresów promieniowania EM będziemy wspominać
w trakcie kolejnych wykładów. Tym razem szerzej powiemy o tomografii, która
w pierwotnej wersji została zrealizowana pzry zastosowaniu promieniowania
rentgenowskiego.

5.4

Tomografia

Tomografia jest techniką stosowaną w medycynie od ok. 30 lat. W tamtej wersji
do rejestracji stosowano promienie Roentgena. Na standardowym obrazie rentgenowskim
nie jesteśmy w stanie odróżnić śladów organów bliższych czy dalszych od kliszy.
Ślady te nakładają się i wzajemnie zacierają. Rozwiązaniem tego problemu stała