Transformata Fouriera – wzory i własności Definicja: Jeśli f ∈ L 1( 1
R ), to
transformata Fouriera
ˆ
f ( ξ) = R f ( x) e− 2 iπξx dx, R
transformata odwrotna
ˇ
f ( ξ) = R f ( x) e 2 iπξx dx.
R
ˇ
f ( ξ) = ˆ
f ( −ξ)
Własności: ( λ 6= 0) g( x)
ˆ
g( ξ)
f ( λx)
1 ˆ
f
ξ
|λ|
λ
f ( x − a)
e− 2 iπaξ ˆ
f ( ξ)
f ( λx − a)
1 e− 2 iπξ a ˆ ξ
λ f
|λ|
λ
Definicja splotu:
( f ∗ g)( x) = R f ( x − t) g( t) dt.
R
Transformata splotu:
\
( f ∗ g)( ξ) = ˆ
f ( ξ) · ˆ
g( ξ) .
Transformata a różniczkowanie: Jeśli f ∈
k
1
1
C (R ) ∩ L 1(R ) oraz
f 0, f 00, . . . , f ( k) ∈ L 1( 1
R ), to dla każdego 1 ¬ j ¬ k d
f ( j)( ξ) = (2 iπξ) j ˆ
f ( ξ) .
Jeśli xkf ( x) ∈ L 1( 1
R ), k = 0 , 1 , . . . , n, to ˆ
f jest n-krotnie różniczkowalna i ˆ
f ( k)( ξ) = ( − 2 \
iπx) kf ( x) , k = 1 , 2 , . . . , n.
Przemienność:
R f ( x)ˆ
g( x) dx = R ˆ
f ( x) g( x) dx.
ˇ
Twierdzenie o odwracaniu:
ˆ
f ( ξ) = f ( ξ) we wszystkich punktach ciągłości funkcji f .
Twierdzenie Plancherela: Jeżeli f ∈ L 1( 1
1
1
R ) ∩ L 2(R ), to ˆ
f ∈ L 2(R ) i
|| ˆ
f || 2 = ||f || 2 .
Transformaty wybranych funkcji z L 1( 1
R )
Funkcja
Transformata
Uwagi
sin π( b−a) ξ
e−iπ( a+ b) ξ
dla ξ 6= 0
1I[ a, b]( x)
πξ
b − a
dla ξ = 0
xk e−axu( x)
1
a ∈
k!
( a+2 iπξ) k+1
C, Re( a) > 0, k = 0 , 1 , 2 , . . .
xk eaxu( −x)
− 1
a ∈
k!
( −a+2 iπξ) k+1
C, Re( a) > 0, k = 0 , 1 , 2 , . . .
e−a|x|
2 a
a ∈
a 2+4 π 2 ξ 2
C, Re( a) > 0
sgn( x) e−a|x|
− 4 iπξ
a ∈
a 2+4 π 2 ξ 2
C, Re( a) > 0
e−ax 2
q π e−π 2 ξ 2
a
a ∈
a
R, a > 0
1I[ −a,a]( x)
sin 2 aπξ
a ∈
πξ
R, a > 0
1
Wzory uzyskane z formuły na odwrócenie (funkcje z L 1( 1
R ))
Funkcja
Transformata
Uwagi
1
( −ξ) k eaξu( −ξ) a ∈
( a+2 iπx) k+1
k!
C, Re( a) > 0, k = 1 , 2 , . . .
− 1
( −ξ) k e−aξu( ξ) a ∈
( −a+2 iπx) k+1
k!
C, Re( a) > 0, k = 1 , 2 , . . .
1
π e− 2 πa|ξ|
a ∈
a 2+ x 2
a
C, Re( a) > 0
q π e−π 2 x 2
a
e−aξ 2
a ∈
a
R, a > 0
Definicja: Transformatą Fouriera na L 2( 1
R ) nazywamy izometryczne rozszerzenie transformaty Fouriera z L 1( 1
1
1
R ) ∩ L 2(R ) na L 2(R ).
Z
n
ˆ
f ( ξ) = L 2 − lim f ( x) e− 2 iπξx dx n→∞
−n
Z
n
ˇ
f ( ξ) = L 2 − lim f ( x) e 2 iπξx dx n→∞
−n
Tożsamość Parsevala: Dla dowolnych funkcji f, g ∈ L 2( 1
R )
Z
Z
f ( x) g( x) dx =
ˆ
f ( x)ˆ
g( x) dx
hf, giL 2 = h ˆ
f , ˆ
giL 2
||f || 2 = || ˆ
f || 2
Transformaty wybranych funkcji z L 2( 1
R )
Funkcja
Transformata
Uwagi
1
eaξu( −ξ)
a ∈
a+2 iπx
C, Re( a) > 0
1
e−aξu( ξ)
a ∈
a− 2 iπx
C, Re( a) > 0
sin x
π 1I
x
[ − 1 , 1 ]
2 π 2 π
2