CAŁKA NIEOZNACZONA

Z

f (x)dx = F (x) ⇔ F

0

(x) = f (x)

f (x) - funkcja podcałkowa
F (x) - funkcja pierwotna funkcji f

WZORY PODSTAWOWE

1.

R

x

α

dx =

1

α+1

x

α+1

+ c, α 6= −1

R

dx =

R

1dx = x + c (Dla α = 0)

2.

R

1

x

dx =

R

dx

x

= ln |x| + c

3.

R

a

x

dx =

a

x

ln a

+ c, a > 0, a 6= 1

4.

R

e

x

dx = e

x

+ c

5.

R

sin xdx = − cos x + c

6.

R

cos xdx = sin x + c

7.

R

1

sin

2

x

dx =

R

dx

sin

2

x

= − ctg x + c

8.

R

1

cos

2

x

dx =

R

dx

cos

2

x

= tg x + c

9.

R

1

√

1−x

2

dx =

R

dx

√

1−x

2

= arcsin x + c

10.

R

1

x

2

+1

dx =

R

dx

x

2

+1

= arctg x + c

WŁASNOŚCI

1. Stała całkowania:

Jeżeli funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x),
to każda funkcja postaci F (x) + c, gdzie c ∈ R jest również funkcją pierwotną funkcji f (x).
Liczbę c ∈ R nazywamy stałą całkowania.

2. Działania:

R

(f (x) + g(x))dx =

R

f (x)dx +

R

g(x)dx

R

k · f (x)dx = k ·

R

f (x)dx

3. Całkowanie przez części:

R

u(x) · v

0

(x)dx = u(x) · v(x) −

R

u

0

(x) · v(x)dx

4. Całkowanie przez podstawianie:

R

f (g(x))g

0

(x)dx =

(

t = g(x)
dt = g

0

(x)dx

)

=

R

f (t)dt

5. Całka logarytmiczna:

R

f

0

(x)

f (x)

dx = ln |f (x)| + c

mgr Dorota Grott SNM PG