CAŁKA NIEOZNACZONA
Z
f (x)dx = F (x) ⇔ F
0
(x) = f (x)
f (x) - funkcja podcałkowa
F (x) - funkcja pierwotna funkcji f
WZORY PODSTAWOWE
1.
R
x
α
dx =
1
α+1
x
α+1
+ c, α 6= −1
R
dx =
R
1dx = x + c (Dla α = 0)
2.
R
1
x
dx =
R
dx
x
= ln |x| + c
3.
R
a
x
dx =
a
x
ln a
+ c, a > 0, a 6= 1
4.
R
e
x
dx = e
x
+ c
5.
R
sin xdx = − cos x + c
6.
R
cos xdx = sin x + c
7.
R
1
sin
2
x
dx =
R
dx
sin
2
x
= − ctg x + c
8.
R
1
cos
2
x
dx =
R
dx
cos
2
x
= tg x + c
9.
R
1
√
1−x
2
dx =
R
dx
√
1−x
2
= arcsin x + c
10.
R
1
x
2
+1
dx =
R
dx
x
2
+1
= arctg x + c
WŁASNOŚCI
1. Stała całkowania:
Jeżeli funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x),
to każda funkcja postaci F (x) + c, gdzie c ∈ R jest również funkcją pierwotną funkcji f (x).
Liczbę c ∈ R nazywamy stałą całkowania.
2. Działania:
R
(f (x) + g(x))dx =
R
f (x)dx +
R
g(x)dx
R
k · f (x)dx = k ·
R
f (x)dx
3. Całkowanie przez części:
R
u(x) · v
0
(x)dx = u(x) · v(x) −
R
u
0
(x) · v(x)dx
4. Całkowanie przez podstawianie:
R
f (g(x))g
0
(x)dx =
(
t = g(x)
dt = g
0
(x)dx
)
=
R
f (t)dt
5. Całka logarytmiczna:
R
f
0
(x)
f (x)
dx = ln |f (x)| + c
mgr Dorota Grott SNM PG