6 i 7 Właściwości przekształcenia Fouriera

background image

Właściwości
przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Liniowość

Sprzężenie

Charakterystyki a-cz i f-cz

Zmiana skali

Symetria

Przesunięcie w czasie

Przesunięcie w częstotliwości

Modulacja

Splot w czasie

„Pole” sygnału

background image

Właściwości
przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Różniczkowanie w dziedzinie czasu

Całkowanie w dziedzinie czasu

Część rzeczywista i urojona sygnału

Sygnał parzysty i nieparzysty

Składowa parzysta i nieparzysta
sygnału

Właściwości graniczne transformaty
Fouriera

Twierdzenie Parsevala i Rayleigha

Widmo gęstości energii; energia
ułamkowa

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

Założenia podstawowe

 

 

 

 

Y

t

y

X

t

x

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

LINIOWOŚĆ

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

X

t

y

t

x

t

y

t

x

t

y

t

x

F

F

F

F

F

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

SPRZĘŻENIE

 

 

*

*

X

t

x

Dla sygnału rzeczywistego zachodzi związek:

 

 

 

 

 

*

*

,

X

X

t

x

t

x

t

x

R

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

CHARAKTERYSTYKI A-CZ i F-CZ

 

 

 

 

 

 

cz

-

f

ka

-

cha

-

cz

-

a

ka

-

cha

-

e

A

A

X

t

x

j

Dla sygnału rzeczywistego zachodzi związek:

 

 

 

 

a

nieparzyst

ka

-

cha

-

parzysta

ka

-

cha

-

A

A

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

CHARAKTERYSTYKI A-CZ i F-CZ

 

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

j

j

j

e

t

t

1

 

 

 

arctg

1

1

2

A

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

ZMIANA SKALI

 

0

,

1

1

e

1

j

j

t

t

1

 

X

t

x

1

„Ścieśnianie” sygnału w dziedzinie czasu powoduje
rozszerzanie jego widma; „rozciąganie” sygnału skutkuje
zawężaniem widma.

Im krócej trwa sygnał, tym szersze jest jego widmo.

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

SYMETRIA

 

 

 

 

x

t

X

X

t

x

2

 

 

 

 

W

T

T

W

Wt

tT

T

T

T

t

2

Sa

2

2

/

Sa

2

Sa

W

T

2

 

 

W

W

Wt

2

Sa

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

SYMETRIA

 

 

 

 

x

t

X

X

t

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

t

X

d

e

x

d

e

x

t

X

d

e

x

t

X

t

dt

e

t

x

X

t

j

t

j

t

j

t

j

2

2

2

1

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

PRZESUNIĘCIE W CZASIE

Wpływ na charakterystykę f-cz

 

 

 

 

 







j

j

j

j

A

A

X

e

e

e

e

 



j

e

X

t

x

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

PRZESUNIĘCIE W CZĘSTOTLIWOŚCI

 

o

o

e

X

t

x

t

j

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

MODULACJA

  

  

 

o

o

o

o

o

o

o

2

1

cos

exp

exp

X

X

t

t

x

X

t

j

t

x

X

t

j

t

x

X(

)

X(

-

o

)/2

X(

+

o

)/2

-

o

+

o

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

SPLOT W CZASIE

   

  



d

t

y

x

t

y

t

x

WŁAŚCIWOŚCI

Przemienność

   

   

t

x

t

y

t

y

t

x

Łączność

   

 

 

   

t

z

t

y

t

x

t

z

t

y

t

x

Rozdzielność względem
dodawania

 

   

       

t

z

t

x

t

y

t

x

t

z

t

y

t

x

background image

Przemienność splotu

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

   

  

d

t

y

x

t

y

t

x

   

   

t

x

t

y

t

y

t

x

)

(

)

(

t

y

t

x

d

t

y

x

)

(

)

(

dz

d

z

t

   

t

x

t

y

dz

z

y

z

t

x

)

(

)

(

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

SPLOT W CZASIE

   

  



d

t

y

x

t

y

t

x

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

SPLOT w CZASIE

określa stopień „pokrywania” się

wykresów funkcji w zależności od ich przesunięcia.

0

1

 

x

1

0

2

 

y

1

0

-2

 

y

1

t

y

1

t

1

t

y

1

2

t

  

2

2

t

t

S

d

t

y

x

S



t - 2

t

0

S

background image

Splot w czasie

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

dt

d

y

t

x

t

j

e

)

(

)

(

)

(

)

(

t

y

t

x

 

d

y

dt

e

t

x

t

j

)

(

)

(

dz

dt

z

t

 

d

y

dz

e

z

x

z

j

)

(

)

(

)

(

background image

Splot w czasie

 

d

y

dz

e

z

x

z

j

)

(

)

(

)

(

 



d

y

dz

e

z

x

j

z

j

e

)

(

)

(



d

y

X

j

e

)

(

)

(

)

(

)

(

Y

X

)

(

)

(

t

y

t

x

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

SPLOT W CZĘSTOTLIWOŚCI

   

   

   

  

d

Y

X

t

y

t

x

Y

X

t

y

t

x

2

1

2

1

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

„POLE” SYGNAŁU (składowa stała sygnału)

 

 

 

0

0

0

X

X

dt

e

t

x

dt

t

x

t

j





 

 

W

W

dt

Wt

Wt

W

Wt

Wt

Wt

W

W

0

sin

sin

Sa

2

2

background image

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

W

W

W

W

W

W

W

dt

Wt

Wt

sgn

0

,

0

,

sin



 

 

 

sgn

0

,

0

,

1

sin

sin

1

j

j

j

j

t

dt

t

t

j

dt

t

t

j

dt

t

e

t

t

j

F

F

 

 

j

t

j

t

2

sgn

sgn

1

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

RÓŻNICZKOWANIE W DZIEDZINIE CZASU

 

 

 

 

 

0

lim

,



t

x

X

j

dt

t

dx

X

t

x

t

 

 

 

 

 

 

 

 





X

j

dt

e

t

x

j

e

x

e

x

dt

e

t

x

j

e

t

x

dt

e

t

x

dt

t

dx

t

j

j

j

t

j

t

j

t

j



lim

lim

F

Różniczkowanie w dziedzinie czasu uwypukla szybkie
zmiany sygnału, a więc uwypukla również wyższe
częstotliwości.

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE CZASU

 

 

 

   

 

j

X

X

d

x

X

t

x

t

0

Całkowanie w dziedzinie czasu wygładza szybkie
zmiany sygnału, a więc uwypukla również niższe
częstotliwości.

Jeżeli sygnał nie zawiera składowej stałej, X(

= 0) = 0,

wtedy:

 

 

 

 

j

X

d

x

X

t

x

t

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE CZASU

 

   

  

 

 

 

 

t

X

d

x

t

t

t

d

t

x

t

t

x

d

x

t

t

1

1

1

1

F

,

0

,

1

Dowód właściwości „całkowanie w dziedzinie czasu”
opiera się na przedstawieniu
całki w postaci splotu.

 

0

,

1

0

,

0

t

t

t

1

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

CZĘŚĆ RZECZYWISTA I UROJONA SYGNAŁU

 

 

 

 

 

 

 

 

j

X

X

t

x

X

X

t

x

2

2

*

*

Im

Re

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

SYGNAŁY PARZYSTE i NIEPARZYSTE

     

 

 

R

R

dt

t

t

x

X

t

x

t

x

t

x

0

cos

2

,

sygnał parzysty transformata Fouriera rzeczywista

 

   

 

 

dt

t

t

x

j

X

t

x

t

x

t

x

0

sin

2

,

R

sygnał nieparzysty urojona transformata Fouriera

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

SKŁADOWA PARZYSTA i NIEPARZYSTA SYGNAŁU

 

 

 

 

   

 

   

2

2

n

p

p

n

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

x

 

 

 

 

X

j

t

x

X

t

x

Im

Re

n

p

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

WŁAŚCIWOŚCI GRANICZNE
TRANSFORMATY FOURIERA (Riemann)

 

0

lim

X

W miarę wzrostu częstotliwości „wartość”
transformaty Fouriera maleje do zera:

Transformata Fouriera (dla impulsów o czasie trwania T)
zanika, X
(ω) 0, z szybkością:

jeżeli tylko istnieją ciągłe pochodne

 

2

2

T

x

T

x

n

 

 

const

X

X

n

n

n

2

2

2

lim

1

lim

0

1

lim

background image

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

WŁAŚCIWOŚCI GRANICZNE
TRANSFORMATY FOURIERA

 

,

1

4

4

sin

2

1

4

Sa

2

1

2

2

2

2

T

T

T

T

T

t

T

T/2

-T/2

 

t

T

T/2

-T/2

 

 

t

T

1

 

 

t

T

2

4

Sa

2

1

2

T

T

2

1

background image

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

WŁAŚCIWOŚCI GRANICZNE
TRANSFORMATY FOURIERA

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0

+T/2

-T/2

Impuls „podniesiony kosinus”
(raised cosine
)

 

 

3

2

2

2

1

~

2

2

sin

2

,

2

,

2

cos

1

2

1

T

T

X

T

T

t

t

T

t

x

T

T



background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

TWIERDZENIE PARSEVALA

 

 

 

 

0

2

2

2

1

2

1

d

X

d

X

dt

t

x

E

t

x

R

i(t) = x(t)

u(t) = x(t)

E

   

 





dt

t

x

dt

t

i

t

u

E

2

R = 1

background image

TWIERDZENIE PARSEVALA

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

dt

t

x

2

)

(

dt

t

x

t

x

)

(

)

(

*

dt

d

e

X

t

x

t

j

)

(

2

1

)

(

*

d

dt

e

t

x

X

t

j

)

(

)

(

2

1

*

d

X

X

)

(

)

(

2

1

*

d

X

2

)

(

2

1

background image

Marc-Antoine PARSEVAL (1755 - †1836)

Very little is known of Antoine Parseval's life.

Parseval had only
five publications, all presented to the Académie des
Sciences.
The second was Mémoire sur les séries et sur
l'intégration complète
d'une équation aux differences partielle linéaires du
second ordre,
à coefficiens constans
dated 5 April 1799, contains the
result known
today as Parseval's theorem.

Parseval's result was not published until his five

papers were all
published by the Académie des Sciences in 1806.
Before that it was
known by members of the Academy and appeared in
works by Lacroix
and Poisson before Parseval's papers were printed.

Parseval was never honoured with election to

the Académie
des Sciences. He remains a somewhat shadowy figure
and it is hoped
that research will one day provide a better
understanding of his life
and achievements.

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

 





d

X

dt

t

x

2

2

2

1

(no picture available)

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

TWIERDZENIE RAYLEIGHA

   

   

   

d

Y

X

dt

t

y

t

x

t

y

t

x

*

*

2

1

,

C

Twierdzenie Rayleigha stanowi
uogólnienie twierdzenia Parsevala
dla dwóch różnych sygnałów.

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

ENERGIA UŁAMKOWA

WIDMOWA GĘSTOŚĆ ENERGII

 

 

 

 

 

2

2

2

1

1

,

X

S

X

dv

v

X

E

E

 

 

 

 

 

E

E

E

dv

v

X

E

dv

v

X

E

E

u

o

2

o

2

1

0

,

1

,

0

background image

Właściwości przekształcenia
Fouriera

„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir

 

2

Sa

T

T

t

T

 

 

0

,

Sa

2

o

2

u

f

dv

v

f

E

fT

ENERGIA UŁAMKOWA

background image

Podsumowanie

W większości przypadków transformaty Fouriera

wyznaczamy korzystając z udowodnionych właściwości
przekształcenia Fouriera oraz wyliczonych wcześniej
par transformat.
Nie korzystamy z definicji przekształcenia Fouriera.

Twierdzenie o splocie oraz twierdzenie Parsevala są

właściwościami przekształcenia Fouriera
o najbardziej doniosłym znaczeniu.

Splot jest wykorzystywany do opisu filtracji sygnałów.

Twierdzenie Parsevala jest punktem wyjściowym dla

analizy spektralnej procesów losowych.


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
5 Przekształcenie Fouriera
Przekształcenie Fouriera narzedzie nie tylko analizy przebiegów schodkowych
Dyskretne przekształcenie Fouriera
Dyskretne Przekształcenie Fouriera, WAT, SEMESTR V, Cfrowe przetwarzanie sygnałów, Cps, od borysa, C
Przekształcenie Fouriera obrazów
5 Przekształcenie Fouriera
Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz 1
Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz 4
Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz 2
Dyskretne przekształcenie Fouriera, cz 3
Dyskretne przeksztaĹ'cenie Fouriera
Dyskretne przeksztaĹ'cenie Fouriera
Zarządzanie w Administracji Publicznej Rzeszów właściwe
Przeksztalcanie wzorow
Szeregi Fouriera

więcej podobnych podstron