Szeregi Fouriera
1768 - 1830
Szeregi Fouriera
1768 - 1830
Funkcję okresową
f(t)
o okresie
T
(częstotliwość
f=1/T
)
można przedstawić w postaci szeregu utworzonego
ze
składowej stałej oraz funkcji sinusoidalnych o
częstotliwościach
nf
jeśli funkcja ta spełnia tak
zwane
warunki Dirichleta:
dt
)
t
(
f
T
0
to znaczy, że funkcja jest w przedziale 0-T
bezwzględnie
całkowalna.
Każda funkcja okresowa spełniająca warunki
Dirichleta
może być wyrażona za pomocą nieskończonego,
zbieżnego
szeregu trygonometrycznego Fouriera
:
lub
1
n
n
n
0
)
t
n
sin(
A
A
)
t
(
f
A
1
sin (t +
1
)
- podstawowa
harmoniczna
składowa
A
n
sin (nt +
n
) - n-ta harmoniczna
składowa
gdzie:
n - rząd harmonicznej ( n = 1, 2, 3,...)
A
n
, a
n
- amplituda n-tej harmonicznej
A
0
, a
0
- składowa stała
n
- faza początkowa n-tej harmonicznej
- pulsacja harmonicznej podstawowej
))
t
n
cos(
b
)
t
n
sin(
a
(
a
)
t
(
f
n
1
n
n
0
Częstotliwość harmonicznej podstawowej
jest
identyczna z częstotliwością funkcji
niesinusoidalnego
f(t)
.
Częstotliwości kolejnych harmonicznych
są
wielokrotnością częstotliwości
harmonicznej
podstawowej, czyli
n
.
T
t
t
0
0
0
dt
)
t
(
f
T
1
a
T
t
t
n
0
0
dt
)
t
n
sin(
)
t
(
f
T
2
a
T
t
t
n
0
0
dt
)
t
n
cos(
)
t
(
f
T
2
b
Współczynniki rozwinięcia trygonometrycznego
Fouriera wyznacza się z następujących wzorów
)
t
n
cos(
b
)
t
n
sin(
a
a
)
t
(
f
n
1
n
n
0
Obie postacie
szeregu Fouriera
są sobie
równoważne,
jeśli spełnione są następujące warunki:
2
n
2
n
n
b
a
A
n
n
n
b
a
arctg
)
t
n
cos(
b
)
t
n
sin(
a
a
)
t
(
f
n
1
n
n
0
1
n
n
n
0
)
t
n
sin(
A
A
)
t
(
f
A
0
= a
0
W ogólności szereg Fouriera zawiera
nieskończenie
wiele harmonicznych. W praktyce większość
harmonicznych maleje do zera przy
zwiększającym
się rzędzie tych harmonicznych. Stąd w
obliczeniach
uwzględnia się jedynie niewielką liczbę tych
harmonicznych uzyskując zadowalające
przybliżenie.
-T/2
T/2
-T
1
T
1
f(t
)
-T
T
C
n
T
T
)
1
n
(
t
T
nT
dla
0
T
nT
t
T
nT
dla
A
)
t
(
f
1
1
1
1
A
Przykład:
T
T
A
2
Adt
T
2
dt
)
t
(
f
T
1
a
1
T
0
2
/
T
2
/
T
0
1
0
dt
)
t
n
sin(
A
T
2
dt
)
t
n
sin(
)
t
(
f
T
2
a
1
1
T
T
2
/
T
2
/
T
n
)
T
T
n
2
sin(
n
A
2
)
T
n
sin(
T
n
A
4
dt
)
t
n
cos(
A
T
4
dt
)
t
n
cos(
)
t
(
f
T
2
b
1
1
T
0
T
t
t
n
1
0
0
n
1
1
)
t
n
cos(
)
T
T
n
2
sin(
n
A
2
T
T
A
2
)
t
(
f
Szczególnie prostą formę przyjmuje rozwinięcie w
szereg Fouriera przy wypełnieniu impulsów
prostokątnych w stosunku 1:1. Wtedy a rozwinięcie
f(t) upraszcza się do postaci
...
)
t
7
cos(
7
1
)
t
5
cos(
5
1
)
t
3
cos(
3
1
)
t
cos(
2
2
1
A
)
t
(
f
T
1
= T/4
0
2
3
4
5
6
7
b
n
2A/
3
A/2
Amplituda składowych harmonicznych
0
2
3
4
5
6
7
()
270
0
90
0
190
0
Faza składowych harmonicznych
Fourier udowodnił, że
każdą
funkcję
f(t)
można
przedstawić jako
superpozycję funkcji
harmonicznych
o rożnych częstotliwościach
.:
d
)
t
i
exp(
)
(
F
2
1
)
t
(
f
dt
)
t
i
exp(
)
t
(
f
)
(
F
przekształcenie
Fouriera
odwrotne
przekształcenie
Fouriera
widmo funkcji
f(t)
funkcja
f(t)
transformata
F()
F()
f(t
)
t
T
-T
T
2
T
