Szeregi Fouriera

1768 - 1830

Funkcję okresową

f(t)

o okresie

T

(częstotliwość

f=1/T

)

można przedstawić w postaci szeregu utworzonego
ze

składowej stałej oraz funkcji sinusoidalnych o

częstotliwościach

nf

jeśli funkcja ta spełnia tak

zwane

warunki Dirichleta:







dt

)

t

(

f

T

0

to znaczy, że funkcja jest w przedziale 0-T
bezwzględnie

całkowalna.

Każda funkcja okresowa spełniająca warunki
Dirichleta

może być wyrażona za pomocą nieskończonego,
zbieżnego

szeregu trygonometrycznego Fouriera

:

lub

















1

n

n

n

0

)

t

n

sin(

A

A

)

t

(

f

A

1

sin (t + 

1

)

- podstawowa

harmoniczna

składowa

A

n

sin (nt + 

n

) - n-ta harmoniczna

składowa

gdzie:

n - rząd harmonicznej ( n = 1, 2, 3,...)

A

n

, a

n

- amplituda n-tej harmonicznej

A

0

, a

0

- składowa stała



n

- faza początkowa n-tej harmonicznej



- pulsacja harmonicznej podstawowej

))

t

n

cos(

b

)

t

n

sin(

a

(

a

)

t

(

f

n

1

n

n

0

















Częstotliwość harmonicznej podstawowej

jest

identyczna z częstotliwością funkcji

niesinusoidalnego

f(t)

.

Częstotliwości kolejnych harmonicznych
są

wielokrotnością częstotliwości
harmonicznej

podstawowej, czyli

n

.







T

t

t

0

0

0

dt

)

t

(

f

T

1

a













T

t

t

n

0

0

dt

)

t

n

sin(

)

t

(

f

T

2

a













T

t

t

n

0

0

dt

)

t

n

cos(

)

t

(

f

T

2

b

Współczynniki rozwinięcia trygonometrycznego
Fouriera wyznacza się z następujących wzorów

)

t

n

cos(

b

)

t

n

sin(

a

a

)

t

(

f

n

1

n

n

0

















Obie postacie

szeregu Fouriera

są sobie

równoważne,

jeśli spełnione są następujące warunki:

2

n

2

n

n

b

a

A





n

n

n

b

a

arctg





)

t

n

cos(

b

)

t

n

sin(

a

a

)

t

(

f

n

1

n

n

0

































1

n

n

n

0

)

t

n

sin(

A

A

)

t

(

f

A

0

= a

0

W ogólności szereg Fouriera zawiera
nieskończenie

wiele harmonicznych. W praktyce większość

harmonicznych maleje do zera przy
zwiększającym

się rzędzie tych harmonicznych. Stąd w
obliczeniach

uwzględnia się jedynie niewielką liczbę tych

harmonicznych uzyskując zadowalające
przybliżenie.

-T/2

T/2

-T

1

T

1

f(t
)

-T

T

C

n

T

T

)

1

n

(

t

T

nT

dla

0

T

nT

t

T

nT

dla

A

)

t

(

f

1

1

1

1































A

Przykład:

T

T

A

2

Adt

T

2

dt

)

t

(

f

T

1

a

1

T

0

2

/

T

2

/

T

0

1













0

dt

)

t

n

sin(

A

T

2

dt

)

t

n

sin(

)

t

(

f

T

2

a

1

1

T

T

2

/

T

2

/

T

n



























)

T

T

n

2

sin(

n

A

2

)

T

n

sin(

T

n

A

4

dt

)

t

n

cos(

A

T

4

dt

)

t

n

cos(

)

t

(

f

T

2

b

1

1

T

0

T

t

t

n

1

0

0

















































n

1

1

)

t

n

cos(

)

T

T

n

2

sin(

n

A

2

T

T

A

2

)

t

(

f

Szczególnie prostą formę przyjmuje rozwinięcie w
szereg Fouriera przy wypełnieniu impulsów
prostokątnych w stosunku 1:1. Wtedy a rozwinięcie
f(t) upraszcza się do postaci















































...

)

t

7

cos(

7

1

)

t

5

cos(

5

1

)

t

3

cos(

3

1

)

t

cos(

2

2

1

A

)

t

(

f

T

1

= T/4

0



2



3



4



5



6



7





b

n

2A/

3

A/2

Amplituda składowych harmonicznych

0



2



3



4



5



6



7





()

270

0

90

0

190

0

Faza składowych harmonicznych

Fourier udowodnił, że

każdą

funkcję

f(t)

można

przedstawić jako

superpozycję funkcji

harmonicznych

o rożnych częstotliwościach



.:























d

)

t

i

exp(

)

(

F

2

1

)

t

(

f





















dt

)

t

i

exp(

)

t

(

f

)

(

F

przekształcenie
Fouriera

odwrotne
przekształcenie
Fouriera

widmo funkcji

f(t)

funkcja

f(t)

transformata

F()

F()



f(t
)

t

T

-T



T

2



T