Szereg Fouriera

Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg postaci

(1)

gdzie
są pewnymi stałymi.

Szeregiem Fouriera odpowiadającym danej funkcji f całkowalnej w przedziale
nazywamy taki szereg trygonometryczny, którego współczynniki zwane współczynnikami Eulera-Fouriera obliczono wg wzorów:

(2)

dla

Szereg Fouriera odpowiadający danej funkcji f może być zbieżny (i to niekoniecznie do
) lub rozbieżny.

Poniżej podamy dwa przykłady rozwinięcia pewnej funkcji w szereg Fouriera w oparciu o następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcja f jest przedziałami klasy C₁ i ma okres 2π, to szereg Fouriera odpowiadający tej funkcji jest zawsze zbieżny.

Suma
tego szeregu określona jest przy tym następująco:

1⁰
gdy x jest punktem ciągłości funkcji f,

2⁰
gdy x jest punktem nieciągłości funkcji f takim, że granice lewostronne
i prawostronne
są skończone i różne.

Uwaga. Wszystkie rysunki oraz rachunki związane z obliczaniem całek oznaczonych wykonamy za pomocą kalkulatora graficznego ClassPad 300 Plus.

Przykład 1. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
.

Zauważmy, że
jest klasy C₁, natomiast funkcja nie jest okresowa. Aby więc były spełnione oba założenia twierdzenia, należy przedłużyć naszą funkcję w sposób okresowy.

Można to zrobić na przykład tak:

Liczymy kolejno wg (2):

Zauważmy, że dla dowolnego naturalnego n zachodzą tożsamości:

Wobec tego
. Wstawiając obliczone współczynniki do (1), otrzymujemy:

Na mocy naszego twierdzenia dla
mamy
,

zaś dla
mamy
oraz
, więc
.

Podobnie rozumujemy dla
. Ostatecznie

W szczególności, dla
mamy

czyli

(3)

Wzór (3) może nam posłużyć do obliczenia przybliżonej wartości liczby π. Mianowicie, wzór (3) można zapisać w postaci

Przykład 2. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
.

Przedłużając w sposób 2π-okresowy naszą funkcję, otrzymujemy funkcję spełniającą założenia twierdzenia.

Liczymy kolejno wg (2):

Zatem, zgodnie z (1), dostajemy dla każdego

Kładąc
otrzymujemy po prostych przekształceniach ciekawy wynik:

---