Elementy teorii szeregów Fouriera
Definicja. Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny postaci
(
)
0
1
1
cos
sin
2
n
n
n
a
a
nx b
nx
∞
=
+
+
∑
(
, gdzie a b
.
)
∗
,
n
n
∈ \
Zał, że szereg trygonometryczny
(
jest zbieżny jednostajnie,
jest sumą tego szeregu, jest
R-całkowalna. Wtedy
.
)
∗
a
π
( )
f x
sin
n
n
b
n
f
( )
0
1
cos
n
f x dx
a
nx dx
x dx
π
π
π
π
π
π
∞
=
−
−
−
=
+
+
∑
∫
∫
∫
Lemat.
.
0
cos
sin
0
n
n
n
a
nx dx
b
nx dx
π
π
π
π
>
−
−
∀
+
∫
∫
=
Uwaga. Dla
,
.
0
n
=
sin
0
nx dx
π
π
−
=
∫
cos
2
nx dx
π
π
π
−
=
∫
Wniosek.
( )
( )
0
0
1
f x dx
a
a
f x dx
π
π
π
π
π
π
−
−
=
⇒
=
∫
∫
.
Lemat. (1)
;
,
0
cos
cos
n m
n m
nx
mx dx
n m
π
π
π
∈
−
∧ ≠
∀
=
∧ =
∫
`
(2)
;
,
sin
cos
0
n m
nx
mx dx
π
π
∈
−
∀
=
∫
`
(3)
n m
.
,
0
sin
sin
n m
nx
mx dx
n m
π
π
π
∈
−
∧ ≠
∀
=
∧ =
∫
`
Wniosek. Jeżeli
jest sumą jednostajnie zbieżnego szeregu trygonometrycznego, to
( )
f x
( )
cos
x
1
n
n
a
f
n
π
π
π
∈
−
∀
=
∫
`
x dx , oraz
( )
1
sin
n
n
b
f x
n
π
π
π
∈
−
∀
=
∫
`
x dx .
Definicja. Zał, że jest R-całkowalna,
są zdefiniowane powyższymi wzorami. Wtedy szereg
f
,
n
n
a b
(
)
0
1
1
cos
sin
2
n
n
n
a
a
nx b
nx
∞
=
+
+
∑
nazywamy szeregiem Fouriera dla .
f
Uwaga. Nie każda funkcja jest sumą swojego szeregu Fouriera, ponieważ suma szeregu jest
okresowa.
f
Twierdzenie. Zał, że
są ciągłe, oraz ma stały znak. Wtedy
.
[ ]
, : ,
f g a b
→ \
( ) ( )
b
b
a
a
f c
g x dx
=
∫
∫
g
[ ]
( ) ( )
,
c a b
f x g x dx
∈
∃
Twierdzenie. Zał, że
są ciągłe,
, oraz jest monotoniczna. Wtedy
.
[ ]
, : ,
f g a b
→ \
( ) ( )
b
c
a
a
g a
f x dx
∫
∫
1
g C
∈
)
b
c
f x dx
∫
g
[ ]
( ) ( )
( ) (
,
c a b
f x g x dx
g b
∈
∃
=
+
Lemat (1)
0
sin
lim
0
b
a b n
a
nx
dx
x
< <
→∞
∀
=
∫
;
1
