AM semestr II wykład 3 7.03.2012
10
S
ZEREGI
F
OURIERA
Zakładamy, że funkcja f jest całkowalna w przedziale
l
l,
, gdzie l jest pewną liczbą dodatnią.
D
EF
:
Szeregiem Fouriera funkcji f nazywamy szereg trygonometryczny
1
0
sin
cos
2
1
n
n
n
x
l
n
b
x
l
n
a
a
gdzie współczynniki
0
a ,
n
a ,
n
b dla
N
n
są określone wzorami
l
l
dx
x
f
l
a
)
(
1
0
l
l
n
xdx
l
n
x
f
l
a
cos
)
(
1
N
n
l
l
n
xdx
l
n
x
f
l
b
sin
)
(
1
N
n
.
Fakt, że szereg odpowiada funkcji f zapisujemy
1
0
sin
cos
2
1
~
)
(
n
n
n
x
l
n
b
x
l
n
a
a
x
f
.
Interesuje nas czy szereg odpowiadający danej funkcji f jest zbieżny, a jeżeli jest zbieżny to czy jego
suma jest równa funkcji f.
U
WAGI
Jeżeli funkcja f jest parzysta, to
l
dx
x
f
l
a
0
0
)
(
2
l
n
xdx
l
n
x
f
l
a
0
cos
)
(
2
N
n
.
0
n
b
N
n
.
Jeżeli funkcja f jest nieparzysta, to
0
0
a
0
n
a
N
n
l
n
xdx
l
n
x
f
l
b
0
sin
)
(
2
N
n
.
W celu skrócenia zapisu jednostronne granice funkcji w punkcie oznaczymy dalej symbolami
)
(
lim
)
(
x
f
c
f
c
x
,
)
(
lim
)
(
x
f
c
f
c
x
.
Załóżmy, że funkcja f jest ograniczona na przedziale
b
a,
.
Mówimy, że funkcja f jest przedziałami ciągła i monotoniczna na przedziale
b
a,
wtedy i tylko
wtedy, gdy albo funkcja f jest ciągła i monotoniczna wewnątrz przedziału
b
a,
, albo gdy można
podzielić przedział
b
a,
na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja f jest ciągła
i monotoniczna.
AM semestr II wykład 3 7.03.2012
11
Tw:
Jeżeli funkcja f jest przedziałami ciągła i monotoniczna na przedziale
l
l,
, to szereg Fouriera
funkcji f jest zbieżny dla każdej rzeczywistej liczby x.
Suma S tego szeregu jest funkcją okresową o okresie 2l i w przedziale
l
l,
przyjmuje wartości
)
(
)
(
x
f
x
S
gdy x jest punktem ciągłości funkcji f
)
(
)
(
2
1
)
(
x
f
x
f
x
S
gdy x jest punktem nieciągłości funkcji f
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
l
f
l
f
l
S
l
S
.
zadanie
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję
0
1
0
0
0
1
sgn
)
(
x
gdy
x
gdy
x
gdy
x
x
f
w przedziale
,
.
Odp
x
x
x
x
5
sin
5
4
3
sin
3
4
sin
4
sgn
dla
)
,
(
x
.
Uwagi: W punkcie nieciągłości
0
x
mamy
)
0
(
0
1
1
2
1
)
0
(
)
0
(
2
1
)
0
(
f
f
f
S
Na krańcach przedziału w punktach
oraz
suma szeregu przyjmuje wartość 0.
1
)
(
0
1
1
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
f
f
f
S
1
)
(
0
1
1
2
1
)
(
)
(
2
1
)
(
f
f
f
S
)
(
)
2
(
x
S
x
S
dla
R
x
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Szeregi Fouriera
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
Szereg Fouriera przyklady, SiMR, Studia inżynierskie, Semestr II 2, Równania różniczkowe, 2012 13
całki Szereg Fouriera
24 ciagi i szeregi funkcyjne 6 3 szeregi fouriera
cw12 Przebiegi niesinusoidalne Szeregi Fouriera
am2 1 Szeregi liczbowe id 58796 Nieznany (2)
8) Szeregi Fouriera, sPRAWOZDANIE8, Jelenia Góra, 22
Szereg Fouriera przyklady, SiMR, Równania różniczkowe
Szeregi Fouriera
AM2 2 Szeregi potęgowe
laborki z elektry, HARMONIC, Szereg Fouriera dla przebiegu prostokątnego :
Szeregi fouriera wykład szereg fouriera furiera, Elektrotechnika
Elementy teorii szeregów Fouriera
8) Szeregi Fouriera, sPRAWOZDANIE8-kopia, Jelenia Góra, 22
4 Zbieżność szeregu Fouriera
ZBIENO SZEREGU FOURIERA
więcej podobnych podstron