Szeregi Fouriera

W tym artykule chciałbym przedstawić Ci pojęcie “szeregu Fouriera”. Mam nadzieję, że pomoże Ci on w zrozumieniu danego zagadnienia. Nie będzie to jednak “zwykły” wykład z analizy matematycznej (nie jestem na tyle kompetentny ) Znajdują się tutaj głównie przykłady, które mam nadzieję, w dość przystępny sposób zaprezentują Ci działanie szeregów Fouriera (Głównym wymaganiem od czytelnika jest umiejętność liczenia całek).

Definicja:

Wypadałoby zacząć od definicji. Szeregiem Fouriera nazywamy nieskończony szereg funkcyjny w postaci:

Szereg Fouriera pozwala funkcję okresową o okresie przedstawić za pomocą sumy funkcji trygonometrycznych.

Współczynniki (wzory Eulera-Fouriera) i dla funkcji określonej na przedziale definiowane są w następujący sposób:

Wzory Eulera-Fouriera przybierają prostszą postać w dwóch przypadkach, gdy rozwijana w szereg funkcja jest parzysta albo nieparzysta ( albo ).

Funkcje parzyste:

Funkcje nieparzyste:

Jak widać, powyższe wzory znacznie ułatwiają obliczenie współczynników. Zmienia się przede wszystkim przedział całek oznaczonych.

Przykład 1:

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję: na przedziale .

Funkcja liniowa jest nieparzysta, potrzebny jest więc tylko współczynnik .

.

Zanim przejdziemy do właściwych obliczeń warto obliczyć sobie najpierw całki nieoznaczone:

.

Całki te obliczymy metodą “przez podstawianie”:

,

.

Zabierzmy się za współczynnik , obliczmy najpierw całkę nieoznaczoną:

Kończymy “oznaczając całkę”:

.

W powyższym równaniu (lewa strona) sinus zawsze będzie równy 0, cosinus z kolei  przyjmuje kolejno wartości: -1, 1, -1, 1… itd.. Stąd takie uproszenie.

Wracamy teraz do definicji szeregu, współczynnik jest równy 0 dla dowolnego n więc wystarczy podstawić współczynnik :

.

Przykład 2:

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję: na przedziale .

Funkcja ta jest parzysta, więc od razu wiadomo z jakich wzorów na współczynniki będziemy korzystać. Nasuwa się tylko jedno pytanie: Skąd wziąć całkę z ?

Spójrzmy na tą funkcję w inny sposób, na przedziale jest to funkcja liniowa. W poprzednim przykładzie rozwijaliśmy tą funkcję według sinusów (Funkcja liniowa i funkcja sin są nieparzyste). Jako, że jest parzysta, funkcja liniowa po odbiciu względem OY będzie również parzysta, wystarczy więc tylko rozwinąć funkcję liniową według kosinusów.

Potrzebna nam będzie następująca całka:

.

.

Uwzględniamy przedział :

.

Z powyższego wzoru niestety nie obliczymy współczynnika . Należy więc policzyć całkę:

.

Podstawiamy teraz współczynniki i mamy gotowy szereg:

.

Przykład 3:

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję: na przedziale .

Niestety ta funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta, do rozwinięcia funkcji w szereg potrzebne będą wszystkie współczynniki.

Zacznijmy od współczynnika :

Kolejna całka:

.

Zabierzmy się za pierwszą z całek:

.

Druga całka na przedziale jest równa zero, więc współczynnik znajduje się linijkę wyżej.

Jeżeli chodzi o współczynnik to obliczenie całki jest analogiczne jak w poprzednim przykładzie, dlatego po prostu podam wynik.

.

Tak wygląda szereg:

.

Przykład 4:

Rozłożyć w szereg Fouriera funkcję: na przedziale . Całkując, wykorzystać to rozłożenie, aby otrzymać rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji: .

Rozwinięcie funkcji liniowej jest znane z pierwszego przykładu.

Wystarczy teraz skorzystać z twierdzenia o całkowalności sumy szeregu funkcyjnego, które mówi (w skrócie): Całka sumy równa się sumie całek (Patrz również: twierdzenie o różniczkowaniu sumy szeregu funkcyjnego). Uwaga: Szereg funkcyjny, który chcemy całkować (różniczkować) wyraz po wyrazie musi być jednostajnie zbieżny do swojej funkcji!

Czyli zachodzi następująca równość:

.

Zaczynamy od szeregu z przykładu pierwszego:

.

Ułamek można przenieść przed całkę, zostanie nam proste do scałkowania wyrażenie:

.

Teraz zajmijmy się drugą stroną równości (należy pamiętać o całkowaniu obu stron!):

Mamy już gotowy szereg…

.

No ale jeszcze tu czegoś brakuje… należy zauważyć, że funkcja jest parzysta (Patrz: definicja szeregu Fouriera). W związku z tym należy obliczyć jeszcze współczynnik .

.

Kompletny szereg wygląda następująco:

.

Przykład 5:

Korzystając z rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera uzasadnić równość:

.

Rozwinięcie funkcji liniowej jest znane z pierwszego przykładu.

Na potrzeby szeregu w treści zadania dokonajmy małego przekształcenia:

.

Zadanie polega na odpowiednim doprowadzeniu postaci powyższego szeregu do tego z treści zadania i sprawdzeniu czy taka równość rzeczywiście zachodzi.

Na początek dzielimy obustronnie przez 2:

.

Rozbijmy teraz szereg na wyrazy parzyste i nieparzyste:

,

gdzie:

.

Spójrzmy na prawą stronę tego równania, wystarczy teraz dokonać podstawienia:

, aby pojawiła się nam po prawej żądana suma…

,

gdzie:

.

Po wymnożeniu i skróceniu (i wzięciu pod uwagę, że ) n-ty wyraz szeregu wygląda następująco:

.

Wszystkie wyrazy parzyste nam się wyzerowały. W przypadku wyrazów nieparzystych musimy skorzystać ze wzoru na różnicę kątów sinusa (możemy wrócić również do “normalniej” postaci szeregu):

,

.

Po uproszczeniu…

.

Trójka w wykładniku w żaden szczególny sposób nie zmienia znaku więc można ją spokojnie usunąć (Iloczyn liczby parzystej i nieparzystej daje parzystą, iloczyn nieparzystej i nieparzystej daje nieparzystą – prosty dowód “wprost” załatwi sprawę).

W ten oto sposób pokazaliśmy, że równość ta jest prawdziwa.

Przykład 6:

Obliczyć sumę następującego szeregu:

.

Tematem tego artykułu są szeregi Fouriera. Wiec odpowiedź na pytanie “Z jakiego szeregu funkcyjnego skorzystać przy obliczeniu sumy?” nasuwa się sama. Spójrzmy na przykład czwarty, szeregi są dość do siebie podobne, a więc zabierzmy się do przekształcania równania:

,

,

.

Podstawmy x=0:

.

Szeregi są identyczne, mamy gotową odpowiedź.

Idea tego typu zadań polega na znalezieniu odpowiedniego rozwinięcia funkcji i w szereg Fouriera, później po odpowiednich przekształceniach dopasowania x-em do właściwego szeregu. Bardzo przydatne są twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregu funkcyjnego. W znaczny sposób skracają obliczenia (np. Przykład 4 i Przykład 6).

Temat szeregów Fouriera w tym artykule oczywiście nie został całkowicie wyczerpany, zamierzam w oddzielnym artykule wspomnieć co nieco o współczynnikach zespolonych. W razie jakichkolwiek wątpliwości związanych z powyższymi przykładami proszę o kontakt e-mailowy. Postaram się skrupulatniej wytłumaczyć dane zadanie (+update na tej stronie).

Literatura:

• M. Gewert, Z. Skoczylas – “Analiza matematyczna 2 – Definicje, Twierdzenia, Wzory”, Wyd. 13, Wrocław: GIS 2005,

• A. Sołtysiak – “Analiza matematyczna Część II”, Poznań: Wydawnictwo naukowe UAM 1996.

14 Responses to Szeregi Fouriera

← Previous postNext post →

1. Agata mówi:

%A, 12UTCMon, 12 Jan 2009 06:50:56 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

Strona jest świetna!

1. Jaras mówi:

%A, 24UTCSat, 24 Jan 2009 22:59:14 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

You can dance …

1. KW mówi:

%A, 24UTCSat, 24 Jan 2009 23:09:19 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

Widzę, że zacząłeś się uczyć Jarku.

1. Agata mówi:

%A, 25UTCSun, 25 Jan 2009 12:55:04 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

I znowu muszę się pouczyć…

1. Mateusz P. mówi:

%A, 25UTCSun, 25 Jan 2009 13:44:51 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

ciekawie opisane zagadnienie, jednak uwazam ze powinno byc trozke wiecej pokomentowane

1. Jaras mówi:

%A, 25UTCSun, 25 Jan 2009 13:46:24 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

zaczalem sie uczyc kiedys trzeba

1. mati343424 mówi:

%A, 19UTCTue, 19 Jan 2010 23:44:58 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

spoko

1. 1946wolsztyn mówi:

%A, 14UTCSat, 14 May 2011 07:52:31 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

To jest piękne , zawsze lubiłem m. teraz przedarłem sie przez wzór całego twierdzenia.PIĘKNE

1. Anna mówi:

%A, 15UTCThu, 15 Sep 2011 01:34:09 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

czy w przykładzie pierwszym nie ma błędu? Całka jest oznaczona od zera do pi a cosinus w zerze wychodzi jeden, w obliczeniach nie ma tego uwzględnionego. Czy po prostu jest to tak mega uproszczone, że tego nie dostrzegłam? xD
Dzięki, całość świetnie opisana, bardzo mi pomogłeś!

1. M mówi:

%A, 13UTCThu, 13 Oct 2011 23:31:29 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

całka jest od -pi do pi…

1. Blondas mówi:

%A, 24UTCTue, 24 Jan 2012 22:51:39 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

Dzięki, dobra pomoc i ciekawe przykłady. Zapraszam na mój kanał jak już zrobicie całki

1. Tomasz mówi:

%A, 19UTCMon, 19 Mar 2012 11:29:10 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

Dobra robota!

1. Pan Konop mówi:

%A, 16UTCWed, 16 May 2012 22:12:59 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

Fajnie, dzięki.

1. Mira mówi:

%A, 23UTCWed, 23 May 2012 07:51:42 +0000 %e. %B %Y o %H:%M

Za-rą-bis-ta. Jestem fanką. Naprawdę. Moje dzieci, jeśli się takowych dorobię, będą się nazywać Twoim imieniem. Wszystkie. Nawet dziewczynki