Przekształcenie Fouriera. Różne postaci szeregu Fouriera. Przykłady i właściwości.

Szereg trygonometryczny Fouriera

Trygonometryczny szereg Fouriera dla przebiegów okresowych ma postać:

- współczynniki widma parzystego

- współczynniki widma nieparzystego

Trygonometryczny szereg Fouriera jest równoważny wykładniczemu szeregowi Fouriera i zawsze postać wykładniczą można przekształcić do postaci trygonometrycznej i odwrotnie. Wynika to z faktu, że każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci wykładniczej lub trygonometrycznej.

Amplituda i faza harmonicznej

gdzie:

lub

gdzie:

podstawiając za

otrzymamy inną postać szeregu trygonometrycznego Fouriera:

h_k - amplituda k-tej harmonicznej, ၹ_k, ၊_k - faza początkowa k-tej harmonicznej, ၷ₀-pulsacja podstawowa

Widmo sygnału

Funkcja okresowa o okresie T rozłożona w szereg Fouriera zawiera składowe o częstotliwościach ၷ0, 2 ၷ0, 3 ၷ0...Wartości poszczególnych składowych są równe współ-czynnikom szeregu Fouriera. Układ współczynników odpowiadających poszczególnym częstotliwościom tworzy tzw. widmo częstotliwościowe. Istnieją więc dwa sposoby przedstawiania funkcji: w dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości.

Dla przedstawienia funkcji w dziedzinie częstotliwości potrzebne są dwa widma: widmo amplitudowe i widmo fazowe.

Widmo amplitudowe rzeczywistej funkcji okresowej jest symetryczne względem osi pionowej przechodzącej przez początek układu (jest to funkcja parzysta). Widmo fazowe jest funkcją symetryczną względem początku układu (funkcja nieparzysta).

Widmo amplitudowe i fazowe wyprostowanego sygnału sinusoidalnego

Szereg wykładniczy Fouriera

Warunki Dirichleta dla funkcji f(t):

1. funkcja f(t) musi posiadać skończone wartości maksimów i minimów w każdym skończonym przedziale

2. funkcja f(t) musi posiadać skończoną liczbę punktów nieciągłości w każdym skończonym przedziale

3. funkcja f(t) musi być bezwzględnie całkowalna

Dowolną, spełniającą warunki Dirichleta funkcję f(t) w przedziale (t₀, t₀+T) można przedstawić za pomocą sumy funkcji wykładniczych:

dla t₀ < t < t₀+T

Na podstawie optymalnej wartości współczynnika c:

otrzymujemy szereg nazywany wykładniczym

szeregiem Fouriera

Współczynniki c_k szeregu Fouriera przyjmują postać:

Współczynnik c_k otrzymujemy poprzez aproksymację funkcji zespolonych w określonym przedziale. Współczynniki c_k wyznaczone zostały z warunku minimalizacji błędu średniokwadratowego.

Szereg zespolony Fouriera

Wzory Eulera:

Postać zespolonego szeregu Fouriera:

gdzie c_n - amplituda zespolona

Ciąg A_n =
nazywamy widmem amplitudowym funkcji f(x).

Ciąg ၪn nazywamy widmem fazowym funkcji f(x):

Transformacja Fouriera

Transformacja Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy częstotliwościowej

sygnałów.
Prosta i odwrotna transformata Fouriera zdefiniowane są przez parę równań:

X(f) jest to zespolone widmo Fouriera sygnału, x(t) - zawiera informację o jego „zawartości częstotliwościowej”. Powstaje ono w wyniku wyznaczania miary korelacji (podobieństwa) sygnału do poszczególnych funkcji harmonicznych.

Ponieważ funkcje harmoniczne są zespolone, amplitudowe widmo Fouriera X(f) jest również zespolone:

W wyniku prostej transformacji Fouriera dokonujemy rozłożenia sygnału na jego składowe o różnych częstotliwościach. Z widma Fouriera sygnału można zsyntetyzować zdekompowany sygnał za pomocą odwrotnej transformacji Fouriera - należy wówczas zsumować (scałkować) wszystkie sygnały harmoniczne.

Sygnały okresowe o okresie T przedstawia się za pomocą szeregu Fouriera:

Właściwości transformacji Fouriera

• Liniowość

• Przesunięcie w czasie

• Przesunięcie w częstotliwości

po dodaniu stronami:

Pomnożenie sygnału harmonicznego przez sygnał x(t) powoduje rozdzielenie widma na dwie części przemieszczone w lewo i prawo o wartość ၷ0. Operacja ta nazywana jest modulacją. Sygnałem modulowanym jest sygnał harmoniczny, a sygnałem modulującym sygnał x(t).

• Odwrócenie w czasie

• Skalowanie w czasie

• Splot sygnałów

• Iloczyn sygnałów

• Zależność Parsevala

Bibliografia:

[1] http://gkrol.nex.com.pl/falki/

[2] http://imc.pcz.czest.pl/imtits/pliki_KUA/KUAcw4teoria.pdf

[3] http://www.kali.piasta.pl/naukaf/SEM7/semVIIfile/Elektrotechnika/wyklad/WeET7.pdf

[4] http://wms.mat.agh.edu.pl/~wojda/zbior/node17.html

[5] http://wms.mat.agh.edu.pl/~wojda/zbior/node18.html

[6] Mikołajuk K., Trzaska Z.: Elektrotechnika teoretyczna. Analiza i synteza elektrycznych obwodów liniowych, PWN, Warszawa 1984

[7] Musielak J.: Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976

[8] Zieliński T.: Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WYDZIAŁ EAIiE AGH, Kraków 2002

---