Metoda Fouriera

W obwodach prądu odkształconego źródła energii elektrycznej wytwarzają napięcia i prądy niesinusoidalne, na który składa się nieskończony szereg napięć lub prądów sinusoidalnych o różnych częstotliwościach, które są wielokrotnościami częstotliwości podstawowej. Nie można dodawać do siebie napięć lub prądów o różnych częstotliwościach, więc analizę takich obwodów wykonuje się dla każdej częstotliwości oddzielnie.

Analiza prądów i napięć odkształconych opiera się na rozkładzie krzywych odkształconych na szereg Fouriera i w ten sposób badanie tych przebiegów sprowadza się do analizy obwodów sinusoidalnych.

Zakładamy, że krzywe przedstawiające przebiegi napięć i prądów są funkcjami okresowymi, tzn. spełniają warunek:

Ponadto funkcja okresowa musi spełniać tzw. warunki Dirichleta:

1. funkcja f(t) w przedziale T jest ciągła lub wewnątrz tego przedziału ma skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieje granica lewostronna i prawostronna, a wartość funkcji jest równa średniej arytmetycznej obu granic.

2. funkcja f(t) w przedziale T ma skończoną liczbę maksimów i minimów.

W praktyce przy rozwijaniu funkcji w szereg nie sprawdza się tych warunków, ponieważ warunki te spełniają niemal wszystkie sygnały występujące w obwodach elektrycznych.

Funkcję okresową odkształconą można przedstawić za pomocą nieskończonego szeregu trygonometrycznego Fouriera:

Szereg składa się ze stałej wartości A₀/2 oraz nieskończonej liczby funkcji sinusoidalnych o różnych amplitudach A_mk i fazach początkowych _k, których częstotliwości tworzą postęp arytmetyczny.

A₀/2 nazywana jest składową stałą szeregu zwana jest też harmoniczną zerową. Sinusoidę o pulsacji  nazywamy sinusoidą podstawową lub pierwszą harmoniczną. Pozostałe sinusoidy o pulsacjach 2, 3, k itd. nazywane są kolejno drugą, trzecią, k-tą harmoniczną. O harmonicznych tych mówimy że są to wyższe harmoniczne. Harmoniczne występujące w szeregu Fouriera dzielimy na nieparzyste (dla k=1,3,5,..) i parzyste (dla k=2,4,6,..).

Szereg Fouriera zawiera teoretycznie nieskończoną liczbę składowych harmonicznych, ale jest to szereg szybko zbieżny. W praktycznych obliczeniach uwzględnia się niewielką liczbę początkowych harmonicznych.

Pod względem elektrycznym rozkład funkcji odkształconej na szereg Fouriera oznacza, że zamiast zasilić dany obwód liniowy napięciem źródłowym odkształconym, możemy go zasilić układem szeregowym źródeł napięcia sinusoidalnego o częstotliwościach kf, gdzie k=0,1,2,3,...

Istnieje też inna postać tego szeregu:

Druga postać szeregu ma następujące zależności z pierwszą:

Szereg trygonometryczny Fouriera w tej drugiej postaci składa się z wartości stałej a₀/2, nieskończonej liczby funkcji sinusoidalnych o różnych amplitudach a_k o fazach początkowych zerowych oraz nieskończonej liczby funkcji cosinusoidalnych o różnych amplitudach b_k o fazach początkowych zerowych, przy czym częstotliwości tych funkcji tworzą postęp arytmetyczny.

Współczynniki szeregu Fuoriera w drugiej postaci oblicza się ze wzorów:

W pewnych przypadkach dogodniejszych do całkowania można zmienić granice całkowania w powyższych wzorach na od 0 do 2 lub od - do  albo -T/2 do +T/2.

 

Wyższe harmoniczne w obwodach trójfazowych

W układach trójfazowych symetrycznych warunki powstawania i istnienia wyższych harmonicznych są jednakowe dla każdej fazy. Funkcje czasowe napięć i prądów są jednakowe co do wartości, lecz przesunięte względem siebie o kąt 120 .

Układ równań dla k-tej harmonicznej napięcia różni się od układu dla pierwszej harmonicznej tym, że argument funkcji sinusoidalnej powiększony jest k razy:

przy uwzględnieniu, że

• jeżeli k=3, 6, 9, ... (ogólnie k=3n, n jest liczbą naturalną), wtedy k-te harmoniczne napięć we wszystkich trzech fazach są z sobą w fazie,

• jeżeli k=1, 4, 7, ... (ogólnie k=3n+1), wtedy k-ta harmoniczna napięcia fazy B spóźnia się za k-tą harmoniczną fazy A o kąt 120 , a k-ta harmoniczna napięcia fazy C wyprzedza k-tą harmoniczną fazy A o kąt 120 ,

• jeżeli k= 2, 5, 8, ... (ogólnie k=3n-1), wtedy k-ta harmoniczna napięcia fazy B wyprzedza k-tą harmoniczną fazy A o kąt 120 , a k-ta harmoniczna napięcia fazy C spóźnia się za k-tą harmoniczną fazy A o kąt 120 .

Wynika stąd, że harmoniczne rzędu k=3, 6, 9, ... tworzą układ symetryczny zerowej kolejności, harmoniczne rzędu k=1, 4, 7, ... tworzą układ symetryczny zgodnej kolejności, a harmoniczne rzędu k= 2, 5, 8, ... tworzą układ symetryczny niezgodnej kolejności. Wynikają stąd specyficzne własności obwodów trójfazowych przy różnych układach połączeń.

Układ trójkątowy symetryczny

Jeżeli napięcia źródłowe generatora trójfazowego są odkształcone i zawierają harmoniczne wielokrotności trzech, wtedy wypadkowe napięcie w obwodzie trójkąta wynosi

Ponieważ suma pozostałych harmonicznych wynosi zero. Pod wpływem tego napięcia w uzwojeniu generatora popłynie tzw. prąd wyrównawczy

.

Prąd ten może osiągnąć duże wartości i płynie przez uzwojenie generatora nawet przy nie załączonym odbiorniku i powoduje nagrzanie uzwojeń (straty). Prąd ten również wywołuje w każdej fazie generatora spadek napięcia równy napięciu źródłowemu i skierowany przeciwnie do niego. Wobec czego napięcia fazowe generatora równe napięciom liniowym nie zawierają harmonicznych będących wielokrotnością trzech, bo znoszą się one

.

Jeżeli do takiego generatora przyłączymy odbiornik trójfazowy symetryczny, to prądy fazowe odbiornika możemy obliczyć znając napięcia fazowe generatora oraz impedancje faz odbiornika. Prądy fazowe generatora zawierają wszystkie harmoniczne

.

Prądy liniowe znajdujemy jako różnicę odpowiednich prądów fazowych, wobec tego nie zawierają one składowych harmonicznych będących wielokrotnością trzech, które znoszą się

.

Wobec czego
.

Układ gwiazdowy symetryczny bez przewodu neutralnego

Jeżeli napięcia fazowe generatora są odkształcone i zawierają harmoniczne wielokrotności trzech, wtedy ich skuteczne wartości wynoszą

.

Ponieważ napięcia liniowe są równe różnicy odpowiednich napięć fazowych, więc nie zawierają one składowych harmonicznych będących wielokrotnością trzech, które znoszą się

.

Wobec tego
. Prądy liniowe nie zawierają harmonicznych będących wielokrotnością trzech, ponieważ suma chwilowych wartości prądów liniowych w układzie gwiazdowym trójprzewodowym musi być równa zeru

.

Wobec tego napięcia fazowe odbiornika nie zawierają harmonicznych krotności trzy. Dla prądów zerowej kolejności brak przewodu neutralnego oznacza przerwanie obwodu między punktami zerowymi generatora i odbiornika. Między tymi punktami powstaje napięcie pochodzące od każdej harmonicznej wielokrotności trzech, przy czym wielkość tego napięcia równa się wartości tej harmonicznej w napięciu fazowym generatora. Napięcie między punktami zerowymi generatora i odbiornika wynosi

.

Układ gwiazdowy symetryczny z przewodem neutralnym

Napięcia liniowe nie zawierają harmonicznych rzędów podzielnych przez trzy. Prądy liniowe zawierają wszystkie harmoniczne. Prąd w przewodzie neutralnym zawiera tylko harmoniczne rzędów podzielnych przez trzy, które mają w każdej chwili tę samą wartość i zwrot

.

Wszystkie pozostałe harmoniczne tworzą układy zgodnej lub niezgodnej kolejności, więc w sumie dają zero.

 

Straty mocy w przebiegach odkształconych

Dla funkcji okresowych odkształconych wprowadzamy pojęcie wartości średniej funkcji mocy za jeden okres (podobnie jak dla prądów sinusoidalnych):

Po odpowiednich przekształceniach uwzględniając wzory na drugą postać szeregu Fouriera otrzymujemy:

gdzie _k oznacza przesunięcie między prądem a napięciem dla k-tej harmonicznej.

Powyższy wzór określa moc czynną prądu okresowego odkształconego, który jest wartością średnią funkcji mocy. Moc ta jest równa sumie mocy czynnych wszystkich składowych harmonicznych łącznie z harmoniczną zerową. Jak wynika z tego wzoru przy przebiegach odkształconych napięć i prądów każda harmoniczna napięcia daje moc czynną z odpowiadającą jej harmoniczną prądu, natomiast harmoniczne napięcia innego rzędu aniżeli harmoniczne prądu nie wytwarzają mocy czynnej.

Moc bierna Q określona jest wzorem

Moc pozorna S określona jest wzorem

gdzie U oraz I oznaczają wartości skuteczne prądu odkształconego.

Ponieważ S² nie równa się P²+Q², w związku z tym wprowadza się nowy rodzaj mocy zwanej mocą deformacji D lub mocą odkształcenia. Moc ta jest związana z pozostałymi mocami zależnością:

W szczególnych przypadkach moc bierna tracona na rezystancji jest równa zeru, a moc czynna przy wykorzystaniu wzoru P=I²R wynosi:

co jest równoważne

Dla reaktancji sin=sin/2 jest równy 1 w zależności czy jest to cewka czy kondensator. Korzystając ze wzoru Q=I²X otrzymujemy:

Dla reaktancji indukcyjnej moc bierna jest dodatnia, a dla reaktancji pojemnościowej ujemna.

---