Metoda Fouriera 1

Zadanie 1. Rozwi¡za¢ zagadnienie brzegowo-pocz¡tkowe:

u

t

= a

2

u

xx

,

u(0, t) = u

x

(l, t) = 0,

u(x, 0) = 2 sin(

5π

2l

x) + 3 sin(

7π

2l

x),

gdzie a i l s¡ staªymi dodatnimi.
Zadanie 2. Rozwi¡za¢ zagadnienie brzegowo-pocz¡tkowe:

u

t

= a

2

u

xx

− bu + sin

πx

l

,

u(0, t) = u(l, t) = 0,

u(x, 0) = 0,

gdzie a i l s¡ staªymi dodatnimi.
Odp. u(x, t) =

sin(

πx

l

)

(

aπ

l

)

2

+ b

(1 − e

−((

aπ

l

)

2

+b)t

)

.

Zadania do samodzielnego rozwi¡zania

Zadanie 1. Niech ϕ : [0, l] → R, l > 0 i

e

ϕ

oznacza przedªu»enie nieparzyste (odp.

parzyste) i 2l- okresowe tej funkcji na R. Pokaza¢, »e

i) Pokaza¢, »e

e

ϕ

jest ci¡gªa, o ile ϕ jest ci¡gªa oraz ϕ(0) = ϕ(l) = 0;

ii) Pokaza¢, »e

e

ϕ

jest klasy C

p

, o ile ϕ jest klasy C

p

(0, l)

i (ϕ

(k)

)

+

(0) = (ϕ

(k)

)

−

(l) = 0

,

k = 1, . . . , p

.

1